Rango (álgebra lineal)

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Dimensión del espacio de columna de una matriz

En álgebra lineal, el rango de una matriz $A$ es la dimensión del espacio vectorial generado (o distribuido) por sus columnas. Esto corresponde al número máximo de columnas linealmente independientes de $A$ . Esto, a su vez, es idéntico a la dimensión del espacio vectorial generado por sus filas. El rango es, por lo tanto, una medida de la "no degeneración" del sistema de ecuaciones lineales y transformación lineal codificado por $A$ . Hay múltiples definiciones equivalentes de rango. El rango de una matriz es una de sus características más fundamentales.

El rango se indica comúnmente con $rank(A)$ o $rk(A)$ ; a veces los paréntesis no se escriben, como en $rango A$ .

Definiciones principales

En esta sección damos algunas definiciones del rango de una matriz. Muchas definiciones son posibles; ver definiciones alternativas para varios de estos.

La clasificación de columna de $A$ es la dimensión del espacio de columna de $A$ , mientras que el rango de fila de $A$ es la dimensión del espacio de fila de $A$ .

Un resultado fundamental en álgebra lineal es que el rango de la columna y el rango de la fila son siempre iguales. (Se dan dos pruebas de este resultado en § Pruebas de que rango de columna = rango de fila, a continuación). Este número (es decir, el número de filas o columnas linealmente independientes) se llama simplemente el rango de $A$ .

Se dice que una matriz tiene rango completo si su rango es igual al mayor posible para una matriz de las mismas dimensiones, que es el menor entre el número de filas y columnas. Se dice que una matriz es deficiente en rango si no tiene rango completo. La deficiencia de rango de una matriz es la diferencia entre el número de filas y columnas, el menor, y el rango.

El rango de un mapa lineal o operador $Phi$ se define como la dimensión de su imagen:

{displaystyle operatorname {rank} (Phi):=dim(operatorname {img} (Phi))}

{displaystyle dim }

{displaystyle operatorname {img} }

Ejemplos

La matriz

{displaystyle {begin{bmatrix}1&0&1\-2&-3&1\3&3&0end{bmatrix}}}

La matriz

{displaystyle A={begin{bmatrix}1&1&0&2\-1&-1&0&-2end{bmatrix}}}

{displaystyle A^{mathrm {T} }={begin{bmatrix}1&-1\1&-1\0&0\2&-2end{bmatrix}}}

A

A

A

rango(A) = rango(A T)

Calcular el rango de una matriz

Clasificación a partir de formularios escalonados por filas

Un enfoque común para encontrar el rango de una matriz es reducirla a una forma más simple, generalmente una forma escalonada de filas, mediante operaciones elementales de filas. Las operaciones de fila no cambian el espacio de la fila (por lo tanto, no cambian el rango de la fila) y, al ser invertibles, asignan el espacio de la columna a un espacio isomorfo (por lo tanto, no cambian el rango de la columna). Una vez en forma escalonada de fila, el rango es claramente el mismo tanto para el rango de fila como para el rango de columna, y es igual al número de pivotes (o columnas básicas) y también al número de filas distintas de cero.

Por ejemplo, la matriz $A$ dada por

{displaystyle A={begin{bmatrix}1&2&1\-2&-3&1\3&5&0end{bmatrix}}}

{displaystyle {begin{aligned}{begin{bmatrix}1&2&1\-2&-3&1\3&5&0end{bmatrix}}&xrightarrow {2R_{1}+R_{2}to R_{2}} {begin{bmatrix}1&2&1\0&1&3\3&5&0end{bmatrix}}xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}to R_{3}} {begin{bmatrix}1&2&1\0&1&3\0&-1&-3end{bmatrix}}\&xrightarrow {R_{2}+R_{3}to R_{3}} ,,{begin{bmatrix}1&2&1\0&1&3\0&0&0end{bmatrix}}xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}to R_{1}} {begin{bmatrix}1&0&-5\0&1&3\0&0&0end{bmatrix}}~.end{aligned}}}

A

Cálculo

Cuando se aplica a cálculos de coma flotante en computadoras, la eliminación gaussiana básica (descomposición LU) puede no ser confiable y, en su lugar, se debe usar una descomposición que revele el rango. Una alternativa eficaz es la descomposición en valores singulares (SVD), pero existen otras opciones menos costosas, como la descomposición QR con pivote (la llamada factorización QR reveladora de rango), que son numéricamente más sólidas que la eliminación gaussiana. La determinación numérica del rango requiere un criterio para decidir cuándo un valor, como un valor singular de la SVD, debe tratarse como cero, una elección práctica que depende tanto de la matriz como de la aplicación.

Prueba que rango de columna = rango de fila

Prueba usando reducción de filas

El hecho de que los rangos de columna y fila de cualquier matriz sean formas iguales es fundamental en álgebra lineal. Se han dado muchas pruebas. Uno de los más elementales se ha esbozado en § Formas escalonadas de filas. Aquí hay una variante de esta prueba:

Es sencillo mostrar que ni el rango de la fila ni el rango de la columna cambian mediante una operación de fila elemental. A medida que la eliminación gaussiana procede mediante operaciones de fila elementales, la forma escalonada de fila reducida de una matriz tiene el mismo rango de fila y el mismo rango de columna que la matriz original. Otras operaciones de columna elementales permiten poner la matriz en forma de una matriz de identidad posiblemente bordeada por filas y columnas de ceros. Nuevamente, esto no cambia ni el rango de la fila ni el rango de la columna. Es inmediato que tanto el rango de la fila como de la columna de esta matriz resultante es el número de sus entradas distintas de cero.

Presentamos otras dos pruebas de este resultado. El primero usa solo propiedades básicas de combinaciones lineales de vectores, y es válido sobre cualquier campo. La prueba se basa en Wardlaw (2005). El segundo usa la ortogonalidad y es válido para matrices sobre los números reales; se basa en Mackiw (1995). Ambas pruebas se pueden encontrar en el libro de Banerjee y Roy (2014).

Prueba usando combinaciones lineales

Sea $A$ un $m \times n$ matriz. Deje que el rango de columna de $A$ sea $r$ , y sea $c 1,..., c r$ sea cualquier base para el espacio de columnas de $A$ . Colóquelos como las columnas de una matriz $m \times r$ $C$ . Cada columna de $A$ se puede expresar como una combinación lineal de $r$ columnas en $C$ . Esto significa que hay una matriz $r \times n$ $R$ tal que $A = CR$ . $R$ es la matriz cuya $i$ th columna se forma a partir de los coeficientes que dan la $i$ th columna de $A$ como una combinación lineal de las columnas $r$ de $C$ . En otras palabras, $R$ es la matriz que contiene los múltiplos de las bases del espacio columna de $A$ (que es $C$ ), que luego se utilizan para formar $A$ como un todo. Ahora, cada fila de $A$ viene dada por una combinación lineal de $r$ filas de $R$ . Por lo tanto, las filas de $R$ forman un conjunto expansivo del espacio de filas de $A$ y, según el lema de intercambio de Steinitz, el rango de fila de $A$ no puede exceder $r$ . Esto prueba que el rango de fila de $A$ es menor o igual que el rango de columna de $A$ . Este resultado se puede aplicar a cualquier matriz, así que aplique el resultado a la transposición de $A$ . Dado que el rango de fila de la transposición de $A$ es el rango de columna de $A$ y el rango de columna de la transposición de $A$ es el rango de fila de $A$ , esto establece la desigualdad inversa y obtenemos la igualdad del rango de fila y el rango de columna de $A$ . (Consulte también factorización de rango).

Prueba usando ortogonalidad

Sea $A$ una $m \times n$ matriz con entradas en los números reales cuyo rango de fila es $r$ . Por lo tanto, la dimensión del espacio de fila de $A$ es $r$ . Sean $x 1, x 2, \dots, x r$ ser una base del espacio de fila de $A$ . Afirmamos que los vectores $A x 1, A x 2, \dots, A x r$ son linealmente independientes. Para ver por qué, considere una relación homogénea lineal que involucre estos vectores con coeficientes escalares $c 1, c 2, \dots, c r$ :

{displaystyle 0=c_{1}Amathbf {x} _{1}+c_{2}Amathbf {x} _{2}+cdots +c_{r}Amathbf {x} _{r}=A(c_{1}mathbf {x} _{1}+c_{2}mathbf {x} _{2}+cdots +c_{r}mathbf {x} _{r})=Amathbf {v}}

v = c 1 x 1 + c 2 x 2 + \dots + c r x r

v

A

v

A

A v = 0

v

A

A

v

v = 0

v

{displaystyle c_{1}mathbf {x} _{1}+c_{2}mathbf {x} _{2}+cdots +c_{r}mathbf {x} _{r}=0.}

x i

A

c 1 = c 2 = c r = 0

A x 1, A x 2,..., A x r

Ahora, cada $A x i$ es obviamente un vector en el espacio de columnas de $A$ . Entonces, $A x 1, A x 2, \dots, A x r$ es un conjunto de $r$ vectores linealmente independientes en el espacio de columnas de $A$ y, por lo tanto, la dimensión del espacio de columna de $A$ (es decir, el rango de columna de $A$ ) debe ser al menos tan grande como $r$ . Esto prueba que el rango de fila de $A$ no es mayor que el rango de columna de $A$ . Ahora aplique este resultado a la transposición de $A$ para obtener la desigualdad inversa y concluir como en la demostración anterior.

Definiciones alternativas

En todas las definiciones de esta sección, la matriz $A$ se toma como una $Matriz m \times n$ sobre un campo arbitrario $F$ .

Dimensión de la imagen

Dada la matriz $A$ , hay una asignación lineal asociada

{displaystyle f:F^{n}mapsto F^{m}}

{displaystyle f(x)=Ax.}

A

f

Rango en términos de nulidad

Dado el mismo mapeo lineal $f$ que el anterior, el rango es $n$ menos la dimensión del kernel de $f$ . El teorema de rango-nulidad establece que esta definición es equivalente a la anterior.

Clasificación de columna: dimensión del espacio de columna

El rango de $A$ es el número máximo de columnas linealmente independientes ${displaystyle mathbf {c} _{1},mathbf {c} _{2},dotsmathbf {c} _{k}}$ de $A$ ; esta es la dimensión del espacio de la columna $A$ (el espacio de la columna es el subespacio de $F m$ generados por las columnas de $A$ , que es de hecho sólo la imagen del mapa lineal $f$ asociados $A$ ).

Rango de fila: dimensión del espacio de fila

El rango de $A$ es el número máximo de filas linealmente independientes de $A$ ; esta es la dimensión del espacio de fila de $A$ .

Rango de descomposición

El rango de $A$ es el más pequeño entero $k$ tales que $A$ se puede considerar como $A = CR$ , donde $C$ es un $m \times k$ matriz $R$ es un $k \times n$ matriz. De hecho, para todos los enteros $k$ , los siguientes son equivalentes:

el rango de columna $A$ es menor o igual a $k$ ,
existe $k$ columnas ${displaystyle mathbf {c} _{1},ldotsmathbf {c} _{k}}$ de tamaño $m$ tal que cada columna de $A$ es una combinación lineal de ${displaystyle mathbf {c} _{1},ldotsmathbf {c} _{k}}$ ,
existe $m times k$ matriz $C$ y a $ktimes n$ matriz $R$ tales que $A = CR$ (cuando $k$ es el rango, esta es una factorización de rango $A$ ),
existe $k$ filas ${displaystyle mathbf {r} _{1},ldotsmathbf {r} _{k}}$ de tamaño $n$ tal que cada fila de $A$ es una combinación lineal de ${displaystyle mathbf {r} _{1},ldotsmathbf {r} _{k}}$ ,
el rango de fila $A$ es menor o igual a $k$ .

De hecho, las siguientes equivalencias son obvias: $(1)Leftrightarrow(2)Leftrightarrow(3)Leftrightarrow(4)Leftrightarrow(5)$ . Por ejemplo, para probar (3) de (2), tomar $C$ ser la matriz cuyas columnas son ${displaystyle mathbf {c} _{1},ldotsmathbf {c} _{k}}$ de (2). Para probar (2) de (3), tome ${displaystyle mathbf {c} _{1},ldotsmathbf {c} _{k}}$ para ser las columnas de $C$ .

Se deriva de la equivalencia $(1)Leftrightarrow(5)$ que el rango de fila es igual al rango de columna.

Como en el caso de la "dimensión de la imagen" caracterización, esto se puede generalizar a una definición del rango de cualquier mapa lineal: el rango de un mapa lineal $f : V \to W$ es la dimensión mínima $k$ de un espacio intermedio $X$ tal que $f$ se puede escribir como la composición de un mapa $V \to X$ y un mapa $X \to W$ . Desafortunadamente, esta definición no sugiere una manera eficiente de calcular el rango (para lo cual es mejor usar una de las definiciones alternativas). Ver factorización de rango para más detalles.

Clasificación en términos de valores singulares

El rango de $A$ igual al número de valores no singulares cero, que es el mismo que el número de elementos diagonales no cero en la bah en la descomposición de valor singular ${displaystyle A=USigma V^{*}}$ .

Rango determinante: tamaño del mayor menor que no desaparece

El rango de $A$ es el orden más grande de cualquier menor distinto de cero en el estilo $A$ . (El orden de un menor es la longitud del lado de la submatriz cuadrada de la que es el determinante). Al igual que la caracterización del rango de descomposición, esto no brinda una forma eficiente de calcular el rango, pero es útil teóricamente: a un solo menor distinto de cero es testigo de un límite inferior (es decir, su orden) para el rango de la matriz, lo que puede ser útil (por ejemplo) para demostrar que ciertas operaciones no reducen el rango de una matriz.

Una $p$ -menor que no desaparece ( $p \times p$ submatriz con determinante distinto de cero) muestra que las filas y columnas de esa submatriz son linealmente independientes y, por lo tanto, esas filas y columnas de la matriz completa son linealmente independientes (en la matriz completa). matriz), por lo que el rango de fila y columna es al menos tan grande como el rango determinante; sin embargo, lo contrario es menos directo. La equivalencia de rango determinante y rango de columna es un refuerzo de la afirmación de que si el intervalo de $n$ vectores tiene dimensión $p$ , luego $p$ de esos vectores el espacio (equivalentemente, que uno puede elegir un conjunto generador que es un subconjunto de los vectores): la equivalencia implica que un subconjunto de las filas y un subconjunto de las columnas definen simultáneamente una submatriz invertible (equivalentemente, si el intervalo de $n$ vectores tiene una dimensión $p$ , luego $p$ de estos vectores ocupan el espacio y hay un conjunto de coordenadas $p$ en las que son linealmente independientes).

Rango de tensores: número mínimo de tensores simples

El rango de $A$ es el número más pequeño $k$ tales que $A$ puede ser escrito como una suma de $k$ grado 1 matrices, donde se define una matriz para tener rango 1 si y sólo si se puede escribir como un producto no cero $c cdot r$ de un vector de columna $c$ y un vector de filas $r$ . Esta noción de rango se llama rango de tensor; se puede generalizar en la interpretación de modelos separables de la descomposición de valor singular.

Propiedades

Suponemos que $A$ es un $m \times n$ , y definimos el mapa lineal $f$ mediante $f (x) = A x$ como arriba.

El rango de un $m \times n$ matriz es un entero no negativo y no puede ser mayor que cualquiera $m$ o $n$ . Eso es, ${displaystyle operatorname {rank} (A)leq min(m,n).}$ Una matriz que tiene rango $min(m, n)$ se dice que rango completo; de lo contrario, la matriz es rango deficiente.
Sólo una matriz cero tiene rango cero.
$f$ es inyectable (o "uno a uno") si y sólo si $A$ tiene rango $n$ (en este caso, decimos que $A$ tiene rango de columna).
$f$ es subjetivo (o "onto") si y sólo si $A$ tiene rango $m$ (en este caso, decimos que $A$ tiene fila completa).
Si $A$ es una matriz cuadrada (es decir, $m = n$ ), entonces $A$ es invertible si y sólo si $A$ tiene rango $n$ (es decir, $A$ tiene rango completo).
Si $B$ es cualquier $n \times k$ matriz, entonces ${displaystyle operatorname {rank} (AB)leq min(operatorname {rank} (A),operatorname {rank} (B)).}$
Si $B$ es un $n \times k$ matriz de rango $n$ , entonces ${displaystyle operatorname {rank} (AB)=operatorname {rank} (A).}$
Si $C$ es un $l \times m$ matriz de rango $m$ , entonces ${displaystyle operatorname {rank} (CA)=operatorname {rank} (A).}$
El rango de $A$ es igual a $r$ si existe un invertible $m \times m$ matriz $X$ y un invertible $n \times n$ matriz $Y$ tales que ${displaystyle XAY={begin{bmatrix}I_{r}&0\0&0\end{bmatrix}},}$ Donde $I r$ denota los $r \times r$ matriz de identidad.
La desigualdad de rango de SylvesterSi $A$ es un $m \times n$ matriz $B$ es $n \times k$ , entonces ${displaystyle operatorname {rank} (A)+operatorname {rank} (B)-nleq operatorname {rank} (AB).}$ Este es un caso especial de la siguiente desigualdad.
La desigualdad debida a Frobenius: si $AB$ , $ABC$ y $BC$ son definidos, entonces ${displaystyle operatorname {rank} (AB)+operatorname {rank} (BC)leq operatorname {rank} (B)+operatorname {rank} (ABC).}$
Subadditividad: ${displaystyle operatorname {rank} (A+B)leq operatorname {rank} (A)+operatorname {rank} (B)}$ cuando $A$ y $B$ son de la misma dimensión. Como consecuencia, un rango... $k$ matriz se puede escribir como la suma de $k$ matrices de rango 1, pero no menos.
El rango de una matriz más la nulidad de la matriz equivale al número de columnas de la matriz. (Este es el teorema de rango anual.)
Si $A$ es una matriz sobre los números reales entonces el rango de $A$ y el rango de su matriz de graduación correspondiente son iguales. Así, para las matrices reales ${displaystyle operatorname {rank} (A^{mathrm {T} }A)=operatorname {rank} (AA^{mathrm {T} })=operatorname {rank} (A)=operatorname {rank} (A^{mathrm {T} }).}$ Esto se puede demostrar demostrando la igualdad de sus espacios nulos. El espacio nulo de la matriz Gram es dado por vectores $x$ para la cual ${displaystyle A^{mathrm {T} }Amathbf {x} =0.}$ Si esta condición se cumple, también tenemos ${displaystyle 0=mathbf {x} ^{mathrm {T} }A^{mathrm {T} }Ax=left|Amathbf {x} right|^{2}.}$
Si $A$ es una matriz sobre los números complejos y ${overline {A}}$ denota el complejo conjugado de $A$ y $A Alternativa$ la transposición conyugal $A$ (es decir, la unión de $A$ ), entonces ${displaystyle operatorname {rank} (A)=operatorname {rank} ({overline {A}})=operatorname {rank} (A^{mathrm {T} })=operatorname {rank} (A^{*})=operatorname {rank} (A^{*}A)=operatorname {rank} (AA^{*}).}$

Aplicaciones

Una aplicación útil para calcular el rango de una matriz es el cálculo del número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Según el teorema de Rouché-Capelli, el sistema es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes. Si por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, entonces el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango es igual al número de variables. De lo contrario, la solución general tiene $k$ parámetros libres donde $k$ es la diferencia entre el número de variables y el rango. En este caso (y asumiendo que el sistema de ecuaciones está en los números reales o complejos) el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

En la teoría de control, el rango de una matriz se puede utilizar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable.

En el campo de la complejidad de la comunicación, el rango de la matriz de comunicación de una función da límites a la cantidad de comunicación necesaria para que dos partes calculen la función.

Generalización

Hay diferentes generalizaciones del concepto de rango a matrices sobre anillos arbitrarios, donde el rango de columna, el rango de fila, la dimensión del espacio de columna y la dimensión del espacio de fila de una matriz pueden ser diferentes de los demás o pueden no existir.

Al considerar las matrices como tensores, el rango del tensor se generaliza a tensores arbitrarios; para tensores de orden mayor que 2 (las matrices son tensores de orden 2), el rango es muy difícil de calcular, a diferencia de las matrices.

Existe una noción de rango para mapas uniformes entre variedades uniformes. Es igual al rango lineal de la derivada.

Matrices como tensores

El rango de matriz no debe confundirse con el orden de tensor, que se denomina rango de tensor. El orden del tensor es el número de índices necesarios para escribir un tensor y, por lo tanto, todas las matrices tienen el orden del tensor 2. Más precisamente, las matrices son tensores de tipo (1,1), que tienen un índice de fila y un índice de columna, también llamado orden covariante 1 y contravariante orden 1; ver Tensor (definición intrínseca) para más detalles.

El rango de tensor de una matriz también puede significar el número mínimo de tensores simples necesarios para expresar la matriz como una combinación lineal, y esta definición concuerda con el rango de matriz como se analiza aquí.

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