Ramificación (matemáticas)

En geometría, ramificación es 'ramificación', del mismo modo que se puede ver que la función de raíz cuadrada, para números complejos, tiene dos ramas que difieren en signo. El término también se utiliza desde la perspectiva opuesta (ramas que se juntan), como cuando un mapa de cobertura degenera en un punto de un espacio, con cierto colapso de las fibras del mapeo.

En análisis complejos

En análisis complejos, el modelo básico se puede tomar como el mapeo z → zⁿ en el plano complejo, cerca de z = 0. Esta es la imagen local estándar en la teoría de superficies de Riemann, de la ramificación del orden n. Ocurre, por ejemplo, en la fórmula de Riemann-Hurwitz para el efecto de las asignaciones en el género.

En topología algebraica

En un mapa de cobertura, la característica de Euler-Poincaré debe multiplicarse por el número de hojas; Por lo tanto, la ramificación puede detectarse mediante algunas caídas de eso. El mapeo z → zⁿ muestra esto como un patrón local: si excluimos 0, mirando 0 < |z| < Digamos que tenemos (desde el punto de vista de la homotopía) el círculo asignado a sí mismo mediante el mapa de potencia n (característica de Euler-Poincaré 0), pero con todo el disco la característica de Euler-Poincaré es 1, n – siendo 1 el valor 'perdido' puntos a medida que las hojas n se juntan en z = 0.

En términos geométricos, la ramificación es algo que ocurre en la codimensión dos (como la teoría de nudos y la monodromía); dado que la codimensión dos real es la codimensión uno compleja, el ejemplo complejo local establece el patrón para variedades complejas de dimensiones superiores. En un análisis complejo, las hojas no pueden simplemente plegarse a lo largo de una línea (una variable) o codimensionar un subespacio en el caso general. El conjunto de ramificación (lugar de ramificación en la base, punto doble establecido arriba) será dos dimensiones reales más bajo que la variedad ambiental y, por lo tanto, no lo separará en dos 'lados' localmente; habrá caminos que trace alrededor del lugar de la rama, tal como en el ejemplo. En geometría algebraica sobre cualquier cuerpo, por analogía, también ocurre en codimensión algebraica uno.

En teoría algebraica de números

En extensiones algebraicas de los números racionales

Ramificación en la teoría del número algebraico significa un factor ideal primario en una extensión para dar algunos factores ideales primo repetidos. Es decir, deja OK{fnMicrosoft Sans Serif} ser el anillo de enteros de un campo número algebraico K{displaystyle K}, y p{displaystyle {Mathfrak}} un ideal de primera OK{fnMicrosoft Sans Serif}. Para una extensión de campo L/K{displaystyle L/K} podemos considerar anillo de enteros OL{fnMicrosoft Sans Serif} (que es el cierre integral de OK{fnMicrosoft Sans Serif} dentro L{displaystyle L.), y el ideal pOL{fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnMitcal}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMitcal {fnK} {fnK}} de OL{fnMicrosoft Sans Serif}. Este ideal puede o no ser primo, pero para finito [L:K]{displaystyle [L:K]}, tiene una factorización en los ideales principales:

p⋅ ⋅ OL=p1e1⋯ ⋯ pkek{displaystyle {Mathfrak}cdot Mathfrak {p}_{1}cdots {fnMicrok} {fnK} {fnK}}

Donde pi{displaystyle {Mathfrak {}_{i} son ideales principales distintos de OL{fnMicrosoft Sans Serif}. Entonces... p{displaystyle {Mathfrak}} se dice que ramificar dentro L{displaystyle L. si 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ei■1{displaystyle E_{i} confía1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e906d1cdf7c55714cd227023186a0a4570af19b" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.144ex; height:2.509ex;"/> para algunos i{displaystyle i}; de lo contrario es unramificado. En otras palabras, p{displaystyle {Mathfrak}} ramifica en L{displaystyle L. si Índice de ramificación ei{displaystyle E_{i} es mayor que uno para algunos pi{displaystyle {Mathfrak {}_{i}. Una condición equivalente es que OL/pOL{displaystyle {máthcal {cHFF} {cHFF} {\fnMicrok} {\fnK} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}}\\\\fnMicrosoft} {fnK} {fnMitcal} {fnK}} {fnh} {fnh}} {fnMitcal {fnK} {fnK}} tiene un elemento no cero nilpotente: no es un producto de campos finitos. La analogía con la superficie de Riemann ya fue señalada por Richard Dedekind y Heinrich M. Weber en el siglo XIX.

La ramificación está codificada en K{displaystyle K} por el relativo discriminante y en L{displaystyle L. por la relativa diferente. El primero es un ideal OK{fnMicrosoft Sans Serif} y es divisible por p{displaystyle {Mathfrak}} si y sólo si algún ideal pi{displaystyle {Mathfrak {}_{i} de OL{fnMicrosoft Sans Serif} división p{displaystyle {Mathfrak}} está ramificado. Este último es un ideal OL{fnMicrosoft Sans Serif} y es divisible por el ideal primario pi{displaystyle {Mathfrak {}_{i} de OL{fnMicrosoft Sans Serif} precisamente cuando pi{displaystyle {Mathfrak {}_{i} está ramificado.

La ramificación es tame cuando la ramificación indice ei{displaystyle E_{i} son todos relativamente primos a la característica de residuos p de p{displaystyle {Mathfrak}}, de lo contrario salvaje. Esta condición es importante en la teoría del módulo Galois. Una extensión finita genéricamente étale B/A{displaystyle B/A} de los dominios de Dedekind es tame si y sólo si el rastro Tr:B→ → A{displaystyle operatorname {Tr}:Bto A} es subjetivo.

En campos locales

El análisis más detallado de la ramificación en campos numéricos se puede realizar utilizando extensiones de los números p-ádicos, porque es una pregunta local. En ese caso se define una medida cuantitativa de ramificación para las extensiones de Galois, básicamente preguntando hasta qué punto el grupo de Galois mueve los elementos del campo con respecto a la métrica. Se define una secuencia de grupos de ramificación, cosificando (entre otras cosas) la ramificación salvaje (no domesticada). Esto va más allá de la analogía geométrica.

En álgebra

En teoría de la valoración, la teoría de la ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración de un campo K a un campo de extensión de K. Esto generaliza las nociones de la teoría algebraica de números, los campos locales y los dominios de Dedekind.

En geometría algebraica

También existe la noción correspondiente de morfismo no ramificado en geometría algebraica. Sirve para definir morfismos étale.

Vamos f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. ser un morfismo de esquemas. El apoyo de la hoja cuasiherente Ω Ω X/Y{displaystyle Omega _{X/Y}} se llama locus de ramificación de f{displaystyle f} y la imagen del lacus de ramificación, f()Supp⁡ ⁡ Ω Ω X/Y){displaystyle fleft(fnMicrosoftware) {Supp} Omega _{X/Y}right)}, se llama el locus rama de f{displaystyle f}. Si Ω Ω X/Y=0{displaystyle Omega _{X/Y}=0} diremos que f{displaystyle f} es formalmente unramificado y si f{displaystyle f} es también de presentación localmente finita que decimos f{displaystyle f} es unramificado (ver Vakil 2017).