Raíz enésima

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Operación Aritmética

En matemáticas, una raíz nésima de un número x es un número r que, cuando se eleva elevado a la potencia n, da x:

{displaystyle r^{n}=x,}

donde n es un número entero positivo, a veces llamado el grado de la raíz. Una raíz de grado 2 se llama raíz cuadrada y una raíz de grado 3, raíz cúbica. Las raíces de mayor grado se refieren mediante números ordinales, como en raíz cuarta, raíz vigésima, etc. El cálculo de un $La n$ raíz es una extracción de raíz.

Por ejemplo, 3 es raíz cuadrada de 9, ya que 3² = 9, y −3 también es raíz cuadrada de 9, ya que (−3)² = 9.

Cualquier número distinto de cero considerado como un número complejo tiene $n$ diferente complejo $n$ ésimas raíces, incluidas las reales (como máximo dos). La $n$ ésima raíz de 0 es cero para todos los enteros positivos $n$ , ya que $0 n = 0$ . En particular, si $n$ es par y $x$ es positivo número real, una de sus $n$ ésimas raíces es real y positiva, una es negativa y las otras (cuando $n > 2$ ) son números complejos no reales; si $n$ es par y $x$ es un número real negativo, ninguna de las $n$ ésimas raíces es real. Si $n$ es impar y $x$ es real, uno $n$ ésima raíz es real y tiene el mismo signo que $x$ , mientras que las otras raíces ( $n - 1$ ) no son reales. Finalmente, si $x$ no es real, entonces ninguno de sus $n$ th raíces son reales.

Las raíces de números reales generalmente se escriben usando el símbolo radical o radio ${displaystyle {sqrt {{~^{~}}^{~}!!}}}$ , con ${sqrt {x}}$ denotando la raíz cuadrada positiva $x$ si $x$ es positivo; para las raíces superiores, ${sqrt[{n}]{x}}$ denota lo real $n$ raíz si $n$ es extraño, y lo positivo nraíz si $n$ es incluso $x$ es positivo. En otros casos, el símbolo no se utiliza comúnmente como ambiguo. En la expresión ${sqrt[{n}]{x}}$ , el entero n se llama índice y $x$ se llama radicand.

Cuando se consideran raíces $n$ ésimas complejas, a menudo es útil elegir una de las raíces, llamada principal root, como valor principal. La opción común es elegir la raíz principal $n$ ésima de $x$ como la $n$ ésima raíz con la mayor parte real, y cuando hay dos (por $x$ real y negativa), la que tiene una parte imaginaria positiva. Esto hace que la $n$ ésima raíz sea una función real y positiva para $x$ real y positiva, y es continua en todo el plano complejo, excepto para valores de $x$ que son reales y negativos.

Una dificultad con esta elección es que, para un número real negativo y un índice extraño, el principal $n$ la raíz no es la verdadera. Por ejemplo, ${displaystyle -8}$ tiene tres raíces de cubo, $-2$ , ${displaystyle 1+i{sqrt {3}}}$ y ${displaystyle 1-i{sqrt {3}}.}$ La verdadera raíz del cubo es $-2$ y la raíz principal del cubo $1+i{sqrt {3}}.$

Una raíz no resuelta, especialmente una que usa el símbolo radical, a veces se denomina surd o radical. Cualquier expresión que contenga un radical, ya sea una raíz cuadrada, una raíz cúbica o una raíz superior, se denomina expresión radical, y si no contiene funciones trascendentales o números trascendentales se llama expresión algebraica.

Las raíces también se pueden definir como casos especiales de exponenciación, donde el exponente es una fracción:

{displaystyle {sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}

Las raíces se utilizan para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias con la prueba de raíz. Las $n$ ésimas raíces de 1 se denominan raíces de unidad y juegan un papel fundamental en varias áreas de las matemáticas, como la teoría de números, teoría de ecuaciones y transformada de Fourier.

Historia

Un término arcaico para la operación de tomar raíces nésimas es radicación.

Definición y notación

Las cuatro cuartas raíces de −1,
ninguno de los cuales son reales

Las tres terceras raíces de −1,
uno de los cuales es un real negativo

Una nraíz de un número x, donde n es un entero positivo, es cualquiera de los n números reales o complejos r cuya nésima potencia es x:

{displaystyle r^{n}=x.}

Cada número real positivo x tiene un solo positivo nla raíz, llamada la principal raíz nth, que está escrita ${sqrt[{n}]{x}}$ . Para n igual a 2 esto se llama la principal raíz cuadrada y la n está omitida. El nla raíz también se puede representar utilizando la exponentiación como x^1/n.

Para valores uniformes n, números positivos también tienen un negativo na raíz, mientras que los números negativos no tienen un real nraíz. Para valores extraños n, cada número negativo x tiene un negativo real nraíz. Por ejemplo, −2 tiene una verdadera 5a raíz, ${displaystyle {sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354ldots }$ pero −2 no tiene ninguna verdadera 6a raíces.

Todo número distinto de cero x, real o complejo, tiene n diferentes raíces nésimas de números complejos. (En el caso de que x sea real, esta cuenta incluye cualquier raíz nésima real). La única raíz compleja de 0 es 0.

Las raíces nésimas de casi todos los números (todos los números enteros excepto las potencias nésimas, y todos los racionales excepto los cocientes de dos n th poderes) son irracionales. Por ejemplo,

{sqrt {2}}=1.414213562ldots

Todas las raíces nésimas de los números racionales son números algebraicos, y todas las raíces nésimas de los números enteros son números enteros algebraicos.

El término "surdo" se remonta a al-Khwārizmī (c. 825), que se refirió a los números racionales e irracionales como audible y inaudible, respectivamente. Esto más tarde llevó a la palabra árabe "أم"asamm, que significa "afro" o "dumb") para Número irracional traducido al latín como surdus (que significa "muerto" o "mute"). Gerard de Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202), y luego Robert Recorde (1551) utilizaron el término para referirse a raíces irracionales sin resolver, es decir, expresiones de la forma ${displaystyle {sqrt[{n}]{i}},}$ en que $n$ y $i$ son números enteros y toda la expresión denota un número irracional. Números irracionales cuadráticos, es decir, números irracionales de la forma ${displaystyle {sqrt {i}},}$ son también conocidos como "sordos acuáticos".

Raíces cuadradas

El gráfico

y=pm {sqrt {x}}

Una raíz cuadrada de un número x es un número r que, elevado al cuadrado, se convierte en x:

{displaystyle r^{2}=x.}

Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y −5. La raíz cuadrada positiva también se conoce como raíz cuadrada principal y se denota con un signo radical:

{displaystyle {sqrt {25}}=5.}

Dado que el cuadrado de cada número real no es negativo, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. Sin embargo, por cada número real negativo hay dos raíces cuadradas imaginarias. Por ejemplo, las raíces cuadradas de −25 son 5i y −5i, donde i representa un número cuyo cuadrado es −1.

Raíces cúbicas

El gráfico

y={sqrt[{3}]{x}}

Una raíz cúbica de un número x es un número r cuyo cubo es x:

{displaystyle r^{3}=x.}

Cada número real x tiene exactamente una verdadera raíz de cubo, escrita ${sqrt[{3}]{x}}$ . Por ejemplo,

{displaystyle {sqrt[{3}]{8}}=2}

{displaystyle {sqrt[{3}]{-8}}=-2.}

Todo número real tiene dos raíces cúbicas complejas adicionales.

Identidades y propiedades

Expresando el grado de na raíz en su forma exponente, como en $x^{1/n}$ , hace más fácil manipular poderes y raíces. Si $a$ es un número real no negativo,

{displaystyle {sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({sqrt[{n}]{a}})^{m}.}

Cada número no negativo tiene exactamente un real no negativo nt root, and so the rules for operations with surds involving non-negativend radicas $a$ y $b$ son directos dentro de los números reales:

{displaystyle {begin{aligned}{sqrt[{n}]{ab}}&={sqrt[{n}]{a}}{sqrt[{n}]{b}}\{sqrt[{n}]{frac {a}{b}}}&={frac {sqrt[{n}]{a}}{sqrt[{n}]{b}}}end{aligned}}}

Pueden ocurrir sutilezas al sacar las raíces nésimas de números negativos o complejos. Por ejemplo:

{displaystyle {sqrt {-1}}times {sqrt {-1}}neq {sqrt {-1times -1}}=1,quad }

pero, más bien,

{displaystyle quad {sqrt {-1}}times {sqrt {-1}}=itimes i=i^{2}=-1.}

Desde la regla ${displaystyle {sqrt[{n}]{a}}times {sqrt[{n}]{b}}={sqrt[{n}]{ab}}}$ Se mantiene estrictamente para los verdaderos radicands no negativos solamente, su aplicación conduce a la desigualdad en el primer paso arriba.

Forma simplificada de una expresión radical

Se dice que una expresión radical no anidada está en forma simplificada si

No hay factor de la radicand que pueda ser escrito como un poder mayor o igual al índice.
No hay fracciones bajo el signo radical.
No hay radicales en el denominador.

Por ejemplo, escribir la expresión radical ${sqrt {tfrac {32}{5}}}$ en forma simplificada, podemos proceder de la siguiente manera. En primer lugar, busque un cuadrado perfecto debajo del signo de raíz cuadrado y retírelo:

{displaystyle {sqrt {tfrac {32}{5}}}={sqrt {tfrac {16cdot 2}{5}}}={sqrt {16}}cdot {sqrt {tfrac {2}{5}}}=4{sqrt {tfrac {2}{5}}}}

A continuación, hay una fracción bajo el signo radical, que cambiamos de la siguiente manera:

4{sqrt {tfrac {2}{5}}}={frac {4{sqrt {2}}}{sqrt {5}}}

Finalmente, eliminamos el radical del denominador de la siguiente manera:

{frac {4{sqrt {2}}}{sqrt {5}}}={frac {4{sqrt {2}}}{sqrt {5}}}cdot {frac {sqrt {5}}{sqrt {5}}}={frac {4{sqrt {10}}}{5}}={frac {4}{5}}{sqrt {10}}

Cuando hay un denominador que involucra sarcasmos, siempre es posible encontrar un factor para multiplicar tanto el numerador como el denominador para simplificar la expresión. Por ejemplo, usando la factorización de la suma de dos cubos:

{displaystyle {frac {1}{{sqrt[{3}]{a}}+{sqrt[{3}]{b}}}}={frac {{sqrt[{3}]{a^{2}}}-{sqrt[{3}]{ab}}+{sqrt[{3}]{b^{2}}}}{left({sqrt[{3}]{a}}+{sqrt[{3}]{b}}right)left({sqrt[{3}]{a^{2}}}-{sqrt[{3}]{ab}}+{sqrt[{3}]{b^{2}}}right)}}={frac {{sqrt[{3}]{a^{2}}}-{sqrt[{3}]{ab}}+{sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}

Simplificar expresiones radicales que involucran radicales anidados puede ser bastante difícil. No es obvio, por ejemplo, que:

{displaystyle {sqrt {3+2{sqrt {2}}}}=1+{sqrt {2}}}

Lo anterior se puede derivar a través de:

{displaystyle {sqrt {3+2{sqrt {2}}}}={sqrt {1+2{sqrt {2}}+2}}={sqrt {1^{2}+2{sqrt {2}}+{sqrt {2}}^{2}}}={sqrt {left(1+{sqrt {2}}right)^{2}}}=1+{sqrt {2}}}

Vamos ${displaystyle r=p/q}$ , con $p$ y $q$ coprime e enteros positivos. Entonces... ${displaystyle {sqrt[{n}]{r}}={sqrt[{n}]{p}}/{sqrt[{n}]{q}}}$ es racional si y sólo si ambos ${displaystyle {sqrt[{n}]{p}}}$ y ${displaystyle {sqrt[{n}]{q}}}$ son enteros, lo que significa que ambos $p$ y $q$ son npoderes de un entero.

Serie infinita

El radical o raíz puede ser representado por la serie infinita:

{displaystyle (1+x)^{frac {s}{t}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}

con $<math alttext="{displaystyle |x|SilencioxSilencio.1{displaystyle Silenciox habit1} <img alt="|x|$ . Esta expresión puede derivarse de la serie binomial.

Cálculo de raíces principales

Usando el método de Newton

La raíz $n$ ésima de un número $A$ puede calcularse con el método de Newton, que comienza con una suposición inicial $x 0$ y luego itera usando la recurrencia relación

{displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}

hasta alcanzar la precisión deseada. Por eficiencia computacional, la relación de recurrencia comúnmente se reescribe

{displaystyle x_{k+1}={frac {n-1}{n}},x_{k}+{frac {A}{n}},{frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.}

Esto permite tener solo una exponenciación y calcular una vez para todos el primer factor de cada término.

Por ejemplo, para encontrar la quinta raíz de 34, reemplazamos $n = 5, A = 34$ y $x 0 = 2$ (estimación inicial). Las primeras 5 iteraciones son, aproximadamente:
$x 0 = 2$
$x 1 = 2,025$
$x 2 = 2,02439 7...$
$x 3 = 2,02439 7458...$
$x 4 = 2,02439 74584 99885 04251 08172...$
$x 5 = 2,02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...$
(Se muestran todos los dígitos correctos).

La aproximación $x 4$ tiene una precisión de 25 decimales y $x 5$ es bueno para 51.

El método de Newton se puede modificar para producir varias fracciones continuas generalizadas para la raíz nésima. Por ejemplo,

{displaystyle {sqrt[{n}]{z}}={sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{cfrac {y}{nx^{n-1}+{cfrac {(n-1)y}{2x+{cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{cfrac {(2n-1)y}{2x+{cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{cfrac {(3n-1)y}{2x+ddots }}}}}}}}}}}}.}

Cálculo dígito a dígito de raíces principales de números decimales (base 10)

Pascal Triángulo mostrando

P(4,1)=4

Basándose en el cálculo de dígitos por dígitos de una raíz cuadrada, se puede ver que la fórmula utilizada allí, $x(20p+x)leq c$ , o $x^{2}+20xpleq c$ , sigue un patrón que involucra el triángulo de Pascal. Para el na raíz de un número $P(n,i)$ se define como el valor del elemento $i$ en fila $n$ del Triángulo de Pascal $P(4,1)=4$ , podemos reescribir la expresión como $sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$ . Para mayor comodidad, llame al resultado de esta expresión $y$ . Utilizando esta expresión más general, cualquier raíz principal positiva puede ser calculada, dígitos por dígitos, como sigue.

Escribe el número original en forma decimal. Los números se escriben de manera similar al algoritmo de división larga y, como en la división larga, la raíz se escribirá en la línea de arriba. Ahora separe los dígitos en grupos de dígitos equivalentes a la raíz que se está tomando, comenzando desde el punto decimal y yendo hacia la izquierda y hacia la derecha. El punto decimal de la raíz estará encima del punto decimal del radicando. Aparecerá un dígito de la raíz sobre cada grupo de dígitos del número original.

Empezando con el grupo de dígitos más a la izquierda, realice el siguiente procedimiento para cada grupo:

A partir de la izquierda, derriba el grupo más significativo (izquierda) de dígitos aún no utilizados (si se han utilizado todos los dígitos, escriba "0" el número de veces requerido para hacer un grupo) y escríbalos a la derecha del resto del paso anterior (en el primer paso, no habrá ningún resto). En otras palabras, multiplicar el resto por $10^{n}$ y añadir los dígitos del siguiente grupo. Este será el valor actual c.
Encontrar p y x, como sigue:
- Vamos $p$ ser el parte de la raíz encontrada hasta ahora, ignorando cualquier punto decimal. (Para el primer paso, $p=0$ ).
- Determinar el mayor dígito $x$ tales que $yleq c$ .
- Coloque el dígito $x$ como el siguiente dígito de la raíz, es decir, sobre el grupo de dígitos que acabas de bajar. Así, el siguiente p será el viejo p veces 10 más x.
Subtract $y$ desde $c$ para formar un nuevo resto.
Si el resto es cero y no hay más dígitos para bajar, entonces el algoritmo ha terminado. De lo contrario, vuelve al paso 1 para otra iteración.

Ejemplos

Encuentra la raíz cuadrada de 152,2756.

  1 2. 3 4    /
/ 01 52.27 56

 01 10⁰·1·0⁰·1² + 10¹·2·0¹·1¹ ≤ 1⁰·1·0⁰·2² + 10¹·2·0¹·2¹ x = 1
  01  y = 10⁰·1·0⁰·1² + 10¹·2·0¹·1¹ = 1 + 0 = 1
00 52 10⁰·1·1⁰·2² + 10¹·2·1¹·2¹ ≤ 52⁰·1·1⁰·3² + 10¹·2·1¹·3¹ x = 2
  00 44  y = 10⁰·1·1⁰·2² + 10¹·2·1¹·2¹ = 4 + 40 = 44
08 27 10⁰·1·12⁰·3² + 10¹·2·12¹·3¹ ≤ 827⁰·1·12⁰·4² + 10¹·2·12¹·4¹ x = 3
  07 29  y = 10⁰·1·12⁰·3² + 10¹·2·12¹·3¹ = 9 + 720 = 729
98 56 10⁰·1·123⁰·4² + 10¹·2·123¹·4¹ ≤ 9856⁰·1·123⁰·5² + 10¹·2·123¹·5¹ x = 4
  98 56  y = 10⁰·1·123⁰·4² + 10¹·2·123¹·4¹ = 16 + 9840 = 9856
00 00 00 Algoritm termina: Respuesta es 12.34

Encuentre la raíz cúbica de 4192 a la centésima más cercana.

  1 6. 1 2 4 3 /
/ 004 192.000 000 000

 004 10⁰·1·0⁰·1³ + 10¹·3·0¹·1² + 10²·3·0²·1¹ ≤ 4⁰·1·0⁰·2³ + 10¹·3·0¹·2² + 10²·3·0²·2¹ x = 1
  001  y = 10⁰·1·0⁰·1³ + 10¹·3·0¹·1² + 10²·3·0²·1¹ = 1 + 0 + 0 = 1
003 192 10⁰·1·1⁰·6³ + 10¹·3·1¹·6² + 10²·3·1²·6¹ ≤ 3192⁰·1·1⁰·7³ + 10¹·3·1¹·7² + 10²·3·1²·7¹ x = 6
  003 096  y = 10⁰·1·1⁰·6³ + 10¹·3·1¹·6² + 10²·3·1²·6¹ = 216 + 1.080 + 1,800 = 3.096
096 000 10⁰·1·16⁰·1³ + 10¹·3·16¹·1² + 10²·3·16²·1¹ ≤ 96000⁰·1·16⁰·2³ + 10¹·3·16¹·2² + 10²·3·16²·2¹ x = 1
  077 281  y = 10⁰·1·16⁰·1³ + 10¹·3·16¹·1² + 10²·3·16²·1¹ = 1 + 480 + 76,800 = 77,281
018 719 000 10⁰·1·161⁰·2³ + 10¹·3·161¹·2² + 10²·3·161²·2¹ ≤ 18719000⁰·1·161⁰·3³ + 10¹·3·161¹·3² + 10²·3·161²·3¹ x = 2
  015 571 928  y = 10⁰·1·161⁰·2³ + 10¹·3·161¹·2² + 10²·3·161²·2¹ = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928
003 147 072 000 10⁰·1·1612⁰·4³ + 10¹·3·1612¹·4² + 10²·3·1612²·4¹ ≤ 3147072000⁰·1·1612⁰·5³ + 10¹·3·1612¹·5² + 10²·3·1612²·5¹ x = 4
Se logra la precisión deseada:
La raíz del cubo de 4192 es aproximadamente 16.12

Cálculo logarítmico

El director nth root of a positive number can be computed using logarithms. Partiendo de la ecuación que define r como nla raíz de x, a saber $r^{n}=x,$ con x positiva y, por consiguiente, su principal raíz r también positivo, uno toma logaritmos de ambos lados (cualquier base del logaritmo hará) para obtener

{displaystyle nlog _{b}r=log _{b}xquad quad {text{hence}}quad quad log _{b}r={frac {log _{b}x}{n}}.}

La raíz r se recupera de esto tomando el antilog:

{displaystyle r=b^{{frac {1}{n}}log _{b}x}.}

(Nota: esa fórmula muestra b elevado a la potencia del resultado de la división, no b multiplicado por el resultado de la división).

Para el caso en que x es negativo n es extraño, hay una raíz real r que también es negativo. Esto se puede encontrar multiplicando primero ambos lados de la ecuación definitoria por −1 para obtener ${displaystyle |r|^{n}=|x|,}$ entonces proceder como antes para encontrarrtención y uso r Traducción: −rSilencio.

Constructibilidad geométrica

Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo usar compás y regla para construir una longitud igual a la raíz cuadrada de una longitud dada, cuando se da una línea auxiliar de longitud unitaria. En 1837, Pierre Wantzel demostró que no se puede construir una raíz nésima de una longitud dada si n no es una potencia de 2.

Raíces complejas

Todo número complejo que no sea 0 tiene n raíces nésimas diferentes.

Raíces cuadradas

Las raíces cuadradas i

Las dos raíces cuadradas de un número complejo siempre son negativos entre sí. Por ejemplo, las raíces cuadradas de $-4$ son $2 i$ y $-2 i$ , y las raíces cuadradas de $i$ son

{tfrac {1}{sqrt {2}}}(1+i)quad {text{and}}quad -{tfrac {1}{sqrt {2}}}(1+i).

Si expresamos un número complejo en forma polar, entonces la raíz cuadrada se puede obtener sacando la raíz cuadrada del radio y dividiendo el ángulo por la mitad:

{displaystyle {sqrt {re^{itheta }}}=pm {sqrt {r}}cdot e^{itheta /2}.}

Una raíz principal de un número complejo se puede elegir de varias maneras, por ejemplo

{displaystyle {sqrt {re^{itheta }}}={sqrt {r}}cdot e^{itheta /2}}

que introduce un corte de rama en el plano complejo a lo largo del eje real positivo con la condición $0 \leq θ < 2 π$ , o a lo largo del eje real negativo con $- π < θ \leq π$ .

Usando la primera rama corta la raíz cuadrada principal $scriptstyle {sqrt {z}}$ mapas $scriptstyle z$ al medio plano con parte imaginaria(real) no negativa. El último corte de rama se presupone en el software matemático como Matlab o Scilab.

Raíces de unidad

Las tres terceras raíces de 1

El número 1 tiene n raíces nésimas diferentes en el plano complejo, a saber

1,;omega;omega ^{2},;ldots;omega ^{n-1},

dónde

{displaystyle omega =e^{frac {2pi i}{n}}=cos left({frac {2pi }{n}}right)+isin left({frac {2pi }{n}}right)}

Estas raíces están uniformemente espaciadas alrededor del círculo de la unidad en el plano complejo, en ángulos que son múltiples de $2pi /n$ . Por ejemplo, las raíces cuadradas de la unidad son 1 y −1, y las cuartas raíces de la unidad son 1, $i$ , −1, y $-i$ .

Raíces enésimas

Representación geométrica de las raíces segunda a sexta de un número complejo

z

, en forma polar

re iφ

Donde

r = Silencio z Silencio

φ = arg z

. Si

z

es real,

φ = 0

π

. Las raíces principales se muestran en negro.

Todo número complejo tiene n raíces nésimas diferentes en el plano complejo. Estos son

eta;eta omega;eta omega ^{2},;ldots;eta omega ^{n-1},

donde η es una sola raíz nésima, y 1, ω, ω²,... ωⁿ⁻¹ son las nésimas raíces de la unidad. Por ejemplo, las cuatro raíces cuartas diferentes de 2 son

{sqrt[{4}]{2}},quad i{sqrt[{4}]{2}},quad -{sqrt[{4}]{2}},quad {text{and}}quad -i{sqrt[{4}]{2}}.

En forma polar, una única raíz nésima se puede encontrar mediante la fórmula

{displaystyle {sqrt[{n}]{re^{itheta }}}={sqrt[{n}]{r}}cdot e^{itheta /n}.}

Aquí. r es la magnitud (el módulo, también llamado el valor absoluto) del número cuya raíz debe ser tomada; si el número puede ser escrito como a+bi entonces $r={sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ . También, $theta$ es el ángulo formado como uno pivote sobre el origen en sentido contrario desde el eje horizontal positivo a un rayo que va desde el origen hasta el número; tiene las propiedades que $cos theta =a/r,$ $sin theta =b/r,$ y $tan theta =b/a.$

Así, encontrando nlas raíces en el plano complejo se pueden segmentar en dos pasos. Primero, la magnitud de toda la nlas raíces na raíz de la magnitud del número original. Segundo, el ángulo entre el eje horizontal positivo y un rayo desde el origen a uno del nlas raíces $theta /n$ , donde $theta$ es el ángulo definido de la misma manera para el número cuya raíz se está tomando. Además, todos n de la nlas raíces están en ángulos igualmente espaciados entre sí.

Si n es par, las raíces nésimas de un número complejo, de las cuales hay un número par, vienen en pares inversos aditivos, de modo que si un número r₁ es una de las raíces nésimas entonces r₂ = –r₁ es otro. Esto se debe a que elevando el coeficiente de este último –1 a la nésima potencia incluso para n se obtiene 1: es decir, (–r₁)ⁿ = (–1)ⁿ × r ₁ⁿ = r₁ⁿ.

Al igual que con las raíces cuadradas, la fórmula anterior no define una función continua en todo el plano complejo, sino que tiene un corte de rama en los puntos donde θ / n es discontinuo.

Resolver polinomios

Alguna vez se conjeturó que todas las ecuaciones polinómicas podían resolverse algebraicamente (es decir, que todas las raíces de un polinomio podían expresarse en términos de un número finito de radicales y operaciones elementales). Sin embargo, si bien esto es cierto para polinomios de tercer grado (cúbicos) y polinomios de cuarto grado (cuartos), el teorema de Abel-Ruffini (1824) muestra que esto no es cierto en general cuando el grado es 5 o mayor. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación

{displaystyle x^{5}=x+1}

no se puede expresar en términos de radicales. (cf. ecuación quíntica)

Prueba de irracionalidad para potencia n-ésima no perfecta x

Supongamos que ${sqrt[{n}]{x}}$ es racional. Es decir, se puede reducir a una fracción ${frac {a}{b}}$ , donde $a$ y $b$ son enteros sin un factor común.

Esto significa que ${displaystyle x={frac {a^{n}}{b^{n}}}}$ .

Desde x es un entero, $a^{n}$ y $b^{n}$ debe compartir un factor común si $b neq 1$ . Esto significa que si $b neq 1$ , ${displaystyle {frac {a^{n}}{b^{n}}}}$ no está en forma más simple. Así b debe ser igual 1.

Desde ${displaystyle 1^{n}=1}$ y ${displaystyle {frac {n}{1}}=n}$ , ${displaystyle {frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$ .

Esto significa que ${displaystyle x=a^{n}}$ y así, ${displaystyle {sqrt[{n}]{x}}=a}$ . Esto implica que ${sqrt[{n}]{x}}$ es un entero. Desde x no es un perfecto nPoder, esto es imposible. Así ${sqrt[{n}]{x}}$ es irracional.

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