Raíz de la unidad

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Número que tiene un poder entero igual a 1

Las 5a raíces de la unidad (puntos azules) en el plano complejo

En matemáticas, una raíz de la unidad, ocasionalmente llamada número de Moivre, es cualquier número complejo que da 1 cuando se eleva a una potencia entera positiva $n$ . Las raíces de unidad se utilizan en muchas ramas de las matemáticas y son especialmente importantes en la teoría de números, la teoría de caracteres de grupo y la transformada discreta de Fourier.

Las raíces de la unidad se pueden definir en cualquier campo. Si la característica del campo es cero, las raíces son números complejos que también son números enteros algebraicos. Para campos con una característica positiva, las raíces pertenecen a un campo finito y, a la inversa, cada elemento distinto de cero de un campo finito es una raíz de la unidad. Cualquier campo cerrado algebraicamente contiene exactamente $n$ $n$ ésimas raíces de la unidad, excepto cuando $n$ es un múltiplo de la característica (positiva) del campo.

Definición general

Representación geométrica de la 2a a 6a raíz de un número complejo general en forma polar. Para el nla raíz de la unidad,

r

= 1 y

φ

= 0. La raíz principal está en negro.

Una $n$ ésima raíz de unidad, donde $n$ es un entero positivo, es un número $z$ que satisface la ecuación

{displaystyle z^{n}=1.}

n

n

{displaystyle exp left({frac {2kpi i}{n}}right)=cos {frac {2kpi }{n}}+isin {frac {2kpi }{n}},qquad k=0,1,dotsn-1.}

Sin embargo, la ecuación definitoria de raíces de la unidad es significativa sobre cualquier campo (e incluso sobre cualquier anillo) $F$ , y esto permite considerar raíces de unidad en $F$ . Cualquiera que sea el campo $F$ , las raíces de la unidad en $F$ son números complejos, si la característica de $F$ es 0, o, en caso contrario, pertenecen a un cuerpo finito. A la inversa, cada elemento distinto de cero en un campo finito es una raíz de unidad en ese campo. Ver Raíz de unidad módulo n y Campo finito para más detalles.

Se dice que una $n$ ésima raíz de la unidad es primitivo si no es un $m$ ésima raíz de la unidad para algunas $m$ más pequeñas, eso es si

{displaystyle z^{n}=1quad {text{and}}quad z^{m}neq 1{text{ for }}m=1,2,3,ldotsn-1.}

Si n es un número primo, entonces todas las $n$ ésimas raíces de la unidad, excepto 1, son primitivas.

En la fórmula anterior en términos de funciones exponenciales y trigonométricas, las $n$ ésimas raíces primitivas de la unidad son aquellas para las que $k$ y $n$ son coprimos números enteros

Las secciones subsiguientes de este artículo cumplirán con raíces complejas de unidad. Para el caso de raíces de unidad en campos de característica distinta de cero, consulte Campo finito § Raíces de unidad. Para el caso de raíces de unidad en anillos de enteros modulares, véase Raíz de unidad módulo n.

Propiedades elementales

Cada $n$ ésima raíz de la unidad $z$ es una primitiva $a$ ésima raíz de la unidad para algún $a \leq n$ , que es el entero positivo más pequeño tal que $z a = 1.$

Cualquier potencia entera de una $n$ ésima raíz de la unidad también es una $n$ ésima raíz de la unidad, como

(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.

Esto también se aplica a los exponentes negativos. En particular, el recíproco de una $n$ ésima raíz de la unidad es su complejo conjugado, y también es un $n$ ésima raíz de la unidad:

{frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={bar {z}}.

Si $z$ es una raíz $n$ ésima de la unidad y $a \equiv b (modificación n)$ luego $z a = z b$ . De hecho, según la definición de congruencia módulo n, $a = b + kn$ para algunos entero $k$ , y por lo tanto

z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.

Por lo tanto, dada una potencia $z a$ de $z$ , uno tiene $z a = z r$ , donde $0 \leq r < n$ es el resto de la división euclidiana de $a$ por $n$ .

Sea $z$ una primitiva $n$ ésima raíz de unidad. Entonces las potencias $z$ , $z 2, ..., z n -1, z n = z 0 = 1 son n ésimas raíces de unidad y son todas distintas. (Si z a = z b donde 1 \leq a < b \leq n, luego z b - a = 1, lo que implicaría que z no sería primitivo). Esto implica que z, z 2, ..., z n -1, z n = z 0 = 1 son todos los n raíces de la unidad, ya que una ecuación polinomial de n grado sobre un cuerpo (en este caso, el cuerpo de números complejos) tiene como máximo n soluciones.$

De lo anterior, sigue que, $z$ es un primitivo $n$ la raíz de la unidad, entonces ${displaystyle z^{a}=z^{b}}$ si ${displaystyle aequiv b{pmod {n}}.}$ Si $z$ no es primitivo entonces ${displaystyle aequiv b{pmod {n}}}$ implicación ${displaystyle z^{a}=z^{b},}$ pero el contrario puede ser falso, como lo muestra el siguiente ejemplo. Si $n = 4$ , un no primario $n$ la raíz de la unidad $z = 1$ , y uno tiene ${displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$ , aunque ${displaystyle 2not equiv 4{pmod {4}}.}$

Sea $z$ una primitiva $n$ ésima raíz de unidad. Una potencia $w = z k$ de $z$ es una primitiva $a$ ésima raíz de unidad para

{displaystyle a={frac {n}{gcd(k,n)}},}

Donde ${displaystyle gcd(k,n)}$ es el mayor divisor común $n$ y $k$ . Esto resulta del hecho de que $ka$ es el múltiplo más pequeño de $k$ que es también un múltiples $n$ . En otras palabras, $ka$ es el múltiplo menos común de $k$ y $n$ . Así

{displaystyle a={frac {operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={frac {kn}{kgcd(k,n)}}={frac {n}{gcd(k,n)}}.}

Por lo tanto, si $k$ y $n$ son coprimos, $z k$ también es un primitivo $n$ ésima raíz de la unidad, y por lo tanto hay $φ (n)$ primitivas distintas $n$ ésimas raíces de la unidad (donde $φ$ es la función totient de Euler). Esto implica que si $n$ es un número primo, todas las raíces excepto $+1$ son primitivas.

En otras palabras, si $R(n)$ es el conjunto de todos los $n$ ésimas raíces de la unidad y $P(n)$ es el conjunto de las primitivas, $R (n)$ es una unión disjunta de $P(n)$ :

{displaystyle operatorname {R} (n)=bigcup _{d,|,n}operatorname {P} (d),}

donde la notación significa que $d$ pasa por todos los divisores positivos de $n$ , incluidos $1$ y $n$ .

Dado que la cardinalidad de $R(n)$ es $n$ , y el de $P(n)$ es $φ (n)$ , esto demuestra la fórmula clásica

{displaystyle sum _{d,|,n}varphi (d)=n.}

Propiedades del grupo

Grupo de todas las raíces de la unidad

El producto y el inverso multiplicativo de dos raíces de la unidad también son raíces de la unidad. De hecho, si $x m = 1$ y $y n = 1$ , luego $(x -1) m = 1$ , y $(xy) k = 1$ , donde $k$ es el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$ .

Por lo tanto, las raíces de la unidad forman un grupo abeliano bajo la multiplicación. Este grupo es el subgrupo de torsión del grupo circular.

Grupo de raíces n-ésimas de la unidad

Para un número entero n, el producto y el inverso multiplicativo de dos $n$ ésimas raíces de la unidad también son $n$ ésimas raíces de unidad. Por lo tanto, las $n$ ésimas raíces de la unidad forman un grupo abeliano bajo multiplicación.

Dada una primitiva $n$ ésima raíz de la unidad $ω$ , las otras raíces $n$ ésimas son potencias de $ω$ . Esto significa que el grupo de las $n$ ésimas raíces de la unidad es un grupo cíclico. Vale la pena señalar que el término grupo cíclico se originó por el hecho de que este grupo es un subgrupo del grupo circular.

Grupo de Galois de las raíces enésimas primitivas de la unidad

Vamos ${displaystyle mathbb {Q} (omega)}$ ser la extensión de campo de los números racionales generados sobre $mathbb {Q}$ por un primitivo $n$ raíz de la unidad $\cdot$ . Como todos $n$ la raíz de la unidad es un poder $\cdot$ , el campo ${displaystyle mathbb {Q} (omega)}$ contiene todo $n$ las raíces de la unidad, y ${displaystyle mathbb {Q} (omega)}$ es una extensión Galois de ${displaystyle mathbb {Q}.}$

Si $k$ es un número entero, $ω k$ es una primitiva $n$ ésima raíz de la unidad si y solo si $k$ y $n$ son coprimos. En este caso, el mapa

{displaystyle omega mapsto omega ^{k}}

induce un automorfismo ${displaystyle mathbb {Q} (omega)}$ , que mapa cada $n$ a su raíz de la unidad $k$ Ese poder. Cada automorfismo ${displaystyle mathbb {Q} (omega)}$ se obtiene de esta manera, y estos automorfismos forman el grupo Galois de ${displaystyle mathbb {Q} (omega)}$ sobre el campo de los racionales.

Las reglas de exponenciación implican que la composición de dos de estos automorfismos se obtiene multiplicando los exponentes. De ello se deduce que el mapa

{displaystyle kmapsto left(omega mapsto omega ^{k}right)}

define un isomorfismo grupo entre las unidades del anillo de enteros modulo n y el grupo Galois de ${displaystyle mathbb {Q} (omega).}$

Esto demuestra que este grupo de Galois es abeliano e implica, por lo tanto, que las raíces primitivas de la unidad pueden expresarse en términos de radicales.

Expresión trigonométrica

Las 3ra raíces de la unidad

Fórmula de De Moivre, que es válida para todas las $x$ y enteros $n$ , es

{displaystyle left(cos x+isin xright)^{n}=cos nx+isin nx.}

Estableciendo $x = 2π / n$ da un primitivo $raíz n$ de la unidad: se obtiene

{displaystyle left(cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}right)^{!n}=cos 2pi +isin 2pi =1,}

pero

{displaystyle left(cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}right)^{!k}=cos {frac {2kpi }{n}}+isin {frac {2kpi }{n}}neq 1}

para $k = 1, 2, \dots, n - 1$ . En otras palabras,

{displaystyle cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}}

es una $n$ ésima raíz primitiva de la unidad.

Esta fórmula muestra que en el plano complejo las $n$ ésimas raíces de la unidad están en los vértices de un n-lado regular polígono inscrito en el círculo unitario, con un vértice en 1 (ver las gráficas para $n = 3$ y $n = 5$ a la derecha). Este hecho geométrico explica el término "ciclotómico" en frases como campo ciclotómico y polinomio ciclotómico; proviene de las raíces griegas "ciclo" (círculo) más "tomos" (cortar, dividir).

Fórmula de Euler

e^{ix}=cos x+isin x,

que es válido para todos los $x$ , se puede usar para poner la fórmula para el $n$ th raíces de unidad en la forma

<math alttext="{displaystyle e^{2pi i{frac {k}{n}}},quad 0leq ke2π π ikn,0≤ ≤ k.n.{displaystyle e^{2pi i{f2f2f2f2f2f2\f2\f2f2\f2\f2f2\f2f2f2f2\f2\\\f2f2f2f2cH004\\\\\f2f2cH004cH004cH004\\\\\display\\\\display\\displayalm\displayestual\\displayalm\\\\displayalm\displayestilo idisplayestilo i\\\displayestrellascH00\\\\\\displayal igualaH00\\\\\\\\\\\ {k} {n}}quad 0leq k se hizo.}<img alt="{displaystyle e^{2pi i{frac {k}{n}}},quad 0leq k

De la discusión en la sección anterior se desprende que esto es un primitivo $n$ t-root si y sólo si la fracción $k / n$ es en términos más bajos; es decir, eso $k$ y $n$ son coprime. Un número irracional que se puede expresar como la parte real de la raíz de la unidad; es decir, como ${displaystyle cos(2pi k/n)}$ , se llama un número trigonométrico.

Expresión algebraica

Las $n$ ésimas raíces de la unidad son, por definición, las raíces del polinomio $x n - 1$ y, por lo tanto, son números algebraicos. Como este polinomio no es irreducible (excepto $n = 1$ ), la primitiva $n$ ésimas raíces de la unidad son raíces de un polinomio irreducible (sobre los enteros) de menor grado, llamado $n$ ésimo polinomio ciclotómico, y a menudo denotado $Φ n$ . El grado de $Φ n$ está dado por la función totient de Euler, que cuenta (entre otras cosas) el número de raíces primitivas $n$ ésimas de la unidad. Las raíces de $Φ n$ son exactamente las primitivas $n$ ésimas raíces de unidad.

La teoría de Galois se puede utilizar para demostrar que los polinomios ciclotómicos pueden ser convenientemente resueltos en términos de radicales. (La forma trivial ${sqrt[{n}]{1}}$ no es conveniente, porque contiene raíces no primitivas, como 1, que no son raíces del polinomio ciclotómico, y porque no da las partes reales e imaginarias por separado.) Esto significa que, para cada entero positivo $n$ , existe una expresión construida a partir de enteros por las extracciones de raíz, adiciones, subtracciones, multiplicaciones y divisiones (y nada más), tal que el primitivo $n$ las raíces de la unidad son exactamente el conjunto de valores que se pueden obtener eligiendo valores para las extraccións de raíz ( $k$ valores posibles para un $k$ t root). (Para más detalles véase § Campos cíclicos, abajo.)

Gauss demostró que una primitiva $n$ ésima raíz de la unidad se puede expresar usando solo raíces cuadradas, suma, resta, multiplicación y división si y sólo si es posible construir con regla y compás el n-ágono regular. Este es el caso si y solo si $n$ es una potencia de dos o el producto de una potencia de dos y números primos de Fermat que son todos diferentes.

Si $z$ es un primitivo $n$ la raíz de la unidad, la misma es verdadera $1/ z$ , y ${displaystyle r=z+{frac {1}{z}}}$ es el doble de la parte real $z$ . En otras palabras, $CCPR n$ es un polinomio recíproco, el polinomio $R_{n}$ que tiene $r$ como raíz puede deducirse $CCPR n$ por la manipulación estándar en polinomios recíprocos, y los primitivos $n$ las raíces de la unidad pueden deducirse de las raíces $R_{n}$ por resolver la ecuación cuadrática ${displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$ Es decir, la parte real de la raíz primitiva es ${displaystyle {frac {r}{2}},}$ y su parte imaginaria es ${displaystyle pm i{sqrt {1-left({frac {r}{2}}right)^{2}}}.}$

El polinomio $R_{n}$ es un polinomio irreducible cuyas raíces son reales. Su grado es un poder de dos, si y sólo si $n$ es un producto de un poder de dos por un producto (posiblemente vacío) de diferentes primos de Fermat, y el regular $n$ -gon es constructible con brújula y rectitud. De lo contrario, es solvable en radicales, pero uno está en el caus irreducibilis, es decir, cada expresión de las raíces en términos de radicales implica radicales no reales.

Expresiones explícitas en grados bajos

Para $n = 1$ , el polinomio ciclotómico es $CCPR 1 () x) x - 1$ Por lo tanto, la única primera raíz primitiva de la unidad es 1, que es un no primario $n$ raíz de la unidad para cada n ■ 1.
As $CCPR 2 () x) x + 1$ , la única raíz primitiva segunda (cuadra) de la unidad es −1, que también es un no primario $n$ la raíz de la unidad para todos $n ■ 2$ . Con el caso anterior, esto completa la lista de raíces reales de la unidad.
As $CCPR 3 () x) x 2 + x + 1$ , las raíces primitivas terceras de la unidad, que son las raíces de este polinomio cuadrático, son ${displaystyle {frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}}, {frac {-1-i{sqrt {3}}}{2}}.}$
As $CCPR 4 () x) x 2 + 1$ , las dos primitivas cuartas raíces de la unidad son $i$ y $- i$ .
As $CCPR 5 () x) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$ , las cuatro primitivas quintas raíces de la unidad son las raíces de este polinomio cuartico, que se puede resolver explícitamente en términos de radicales, dando las raíces ${displaystyle {frac {varepsilon {sqrt {5}}-1}{4}}pm i{frac {sqrt {10+2varepsilon {sqrt {5}}}}{4}},}$ Donde $varepsilon$ puede tomar los dos valores 1 y −1 (el mismo valor en las dos ocurrencias).
As $CCPR 6 () x) x 2 - x + 1$ , hay dos raíces primitivas sexta de la unidad, que son los negativos (y también las raíces cuadradas) de las dos raíces cubo primitivas: ${displaystyle {frac {1+i{sqrt {3}}}{2}}, {frac {1-i{sqrt {3}}}{2}}.}$
Como 7 no es una prima de Fermat, las séptimas raíces de la unidad son las primeras que requieren raíces de cubo. Hay 6 raíces primitivas séptima de la unidad, que son conjugadas complejas pares. La suma de una raíz y su conjugado es el doble de su parte real. Estas tres sumas son las tres raíces reales del polinomio cúbico ${displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$ y las raíces primitivas séptima de la unidad son ${displaystyle {frac {r}{2}}pm i{sqrt {1-{frac {r^{2}}{4}}}},}$ Donde $r$ corre sobre las raíces del polinomio anterior. En cuanto a cada polinomio cúbico, estas raíces pueden expresarse en términos de raíces cuadradas y cubo. Sin embargo, como estas tres raíces son todas reales, este es el casus irreducibilis, y cualquier expresión implica raíces cubo no reales.
As $CCPR 8 () x) x 4 + 1$ , las cuatro primitivas octavas raíces de la unidad son las raíces cuadradas de las cuatro raíces primitivas, $\pm i$ . Así son. ${displaystyle pm {frac {sqrt {2}}{2}}pm i{frac {sqrt {2}}{2}}.}$
Vea Heptadecagon para la parte real de una 17a raíz de la unidad.

Periodicidad

Si $z$ es un primitivo $raíz n de la unidad, entonces la secuencia de potencias$

... z -1, z 0, z 1,...

es $n$ -periódico (porque $z j + n = z j z n = z j$ para todos los valores de $j$ ), y $n$ secuencias de poderes

s k ... z k \cdot(-1), z k \cdot0, z k \cdot1,...

para $k = 1, \dots , n$ son todos $n$ -periodic (porque $z k \cdot(j + n) = z k \cdot j). Además, el conjunto {s 1, \dots , s n} de estas secuencias es una base del espacio lineal de todas las n -secuencias periódicas. Esto significa que cualquier n -secuencia periódica de números complejos$

... x -1, x 0, x 1,...

puede expresarse como una combinación lineal de potencias de una primitiva $n$ ésima raíz de la unidad:

x_{j}=sum _{k}X_{k}cdot z^{kcdot j}=X_{1}z^{1cdot j}+cdots +X_{n}cdot z^{ncdot j}

para algunos números complejos $X 1, \dots , X n$ y cada entero $j$ .

Esta es una forma de análisis de Fourier. Si $j$ es una variable de tiempo (discreta), entonces $k$ es una frecuencia y $X k$ es un complejo amplitud.

Elección de la primitiva $n$ ésima raíz de la unidad

{displaystyle z=e^{frac {2pi i}{n}}=cos {frac {2pi }{n}}+isin {frac {2pi }{n}}}

permite que $x j$ se exprese como una combinación lineal de $cos$ y $sin$ :

{displaystyle x_{j}=sum _{k}A_{k}cos {frac {2pi jk}{n}}+sum _{k}B_{k}sin {frac {2pi jk}{n}}.}

Esta es una transformada discreta de Fourier.

Resumen

Sea $SR(n)$ la suma de todos los $n$ ésimas raíces de unidad, primitivas o no. Entonces

1.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SR⁡ ⁡ ()n)={}1,n=10,n■1.{displaystyle operatorname {SR} (n)={begin{cases}1, limitn=1, limiten {cases}}1.end{cases}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0caa5262f975b2f446760a7e8f5f21526fa6c530" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.235ex; height:6.176ex;"/>

Esta es una consecuencia inmediata de las fórmulas de Vieta. De hecho, las $n$ ésimas raíces de la unidad son las raíces del polinomio $X n - 1$ , su suma es el coeficiente de grado $n - 1$ , que es 1 o 0 dependiendo de si $n = 1$ o $n > 1$ .

Alternativamente, para $n = 1$ no hay nada que probar, y para $n > 1$ existe una raíz $z \neq 1$ – ya que el conjunto $S$ de todas las $n$ ésima raíz de la unidad es un grupo, $z S = S$ , por lo que la suma satisface $z SR(n) = SR(n)$ , de donde $SR(n) = 0$ .

Sea $SP(n)$ la suma de todas las primitivas $n$ ésimas raíces de unidad. Entonces

operatorname {SP} (n)=mu (n),

donde $μ (n)$ es la función de Möbius.

En la sección Propiedades elementales, se mostró que si $R(n)$ es el conjunto de todos los $n$ th raíces de la unidad y $P(n)$ es el conjunto de las primitivas, $R(n)$ es una unión separada de $P(n):$

{displaystyle operatorname {R} (n)=bigcup _{d,|,n}operatorname {P} (d),}

Esto implica

{displaystyle operatorname {SR} (n)=sum _{d,|,n}operatorname {SP} (d).}

Aplicando la fórmula de inversión de Möbius se obtiene

{displaystyle operatorname {SP} (n)=sum _{d,|,n}mu (d)operatorname {SR} left({frac {n}{d}}right).}

En esta fórmula, si $d < n$ , luego $SR(n / d) = 0$ , y para $d = n$ : $SR(n / d) = 1$ . Por lo tanto, $SP(n) = μ (n)$ .

Este es el caso especial $c n (1)$ de Ramanujan's suma $c n (s)$ , definida como la suma de las $s$ ésimas potencias de la primitiva $raíces n$ ésimas de la unidad:

{displaystyle c_{n}(s)=sum _{a=1 atop gcd(a,n)=1}^{n}e^{2pi i{frac {a}{n}}s}.}

Ortogonalidad

De la fórmula de suma sigue una relación de ortogonalidad: para $j = 1, \dots , n$ y $j' = 1, \dots , n$

sum _{k=1}^{n}{overline {z^{jcdot k}}}cdot z^{j'cdot k}=ncdot delta _{j,j'}

donde $δ$ es el delta de Kronecker y $z$ es cualquier $n$ ésima raíz primitiva de la unidad.

La matriz $n \times n$ $U$ cuya $(j, k)$ ésima entrada es

{displaystyle U_{j,k}=n^{-{frac {1}{2}}}cdot z^{jcdot k}}

define una transformada de Fourier discreta. Calcular la transformación inversa utilizando la eliminación gaussiana requiere operaciones $O (n 3)$ . Sin embargo, de la ortogonalidad se deduce que $U$ es unitario. Eso es,

sum _{k=1}^{n}{overline {U_{j,k}}}cdot U_{k,j'}=delta _{j,j'},

y por lo tanto el inverso de $U$ es simplemente el complejo conjugado. (Este hecho fue observado por primera vez por Gauss al resolver el problema de la interpolación trigonométrica). La aplicación directa de $U$ o su inversa a un el vector dado requiere operaciones $O (n 2)$ . Los algoritmos de transformada rápida de Fourier reducen aún más el número de operaciones a $O (n log n)$ .

Polinomios ciclotómicos

Los ceros del polinomio

p(z)=z^{n}-1

son precisamente las $n$ ésimas raíces de la unidad, cada una con multiplicidad 1. El estilo $n$ ésimo polinomio ciclotómico se define por el hecho de que sus ceros son precisamente el primitivo $n$ ésimas raíces de la unidad, cada una con multiplicidad 1.

{displaystyle Phi _{n}(z)=prod _{k=1}^{varphi (n)}(z-z_{k})}

donde $z 1, z 2, z 3, \dots, z φ(n)$ son los $n$ th raíces de la unidad, y $φ(n)$ es la función totient de Euler. El polinomio $Φ n (z)$ tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre el números racionales (es decir, no se puede escribir como el producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes racionales). El caso de prima $n$ , que es más fácil que la afirmación general, sigue aplicando el criterio de Eisenstein al polinomio

{displaystyle {frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}

y expandiendo mediante el teorema del binomio.

Cada $n$ ésima raíz de la unidad es una $d$ ésima raíz de la unidad para exactamente un divisor positivo $d$ de $n$ . Esto implica que

{displaystyle z^{n}-1=prod _{d,|,n}Phi _{d}(z).}

Esta fórmula representa la factorización del polinomio $z n - 1$ en irreducible factores:

{displaystyle {begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\end{aligned}}}

Aplicando la inversión de Möbius a la fórmula se obtiene

{displaystyle Phi _{n}(z)=prod _{d,|,n}left(z^{frac {n}{d}}-1right)^{mu (d)}=prod _{d,|,n}left(z^{d}-1right)^{mu left({frac {n}{d}}right)},}

donde $μ$ es la función de Möbius. Así que los primeros polinomios ciclotómicos son

CCPR 1 () z) z - 1

CCPR 2 () z) = z 2 - 1) z -1) -1 = z + 1

CCPR 3 () z) = z 3 - 1) z -1) -1 = z 2 + z + 1

CCPR 4 () z) = z 4 - 1) z 2 -1) -1 = z 2 + 1

CCPR 5 () z) = z 5 - 1) z -1) -1 = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

CCPR 6 () z) = z 6 - 1) z 3 -1) -1 \cdot(z 2 -1) -1 \cdot(z -1) = z 2 - z + 1

CCPR 7 () z) = z 7 - 1) z -1) -1 = z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

CCPR 8 () z) = z 8 - 1) z 4 -1) -1 = z 4 + 1

Si $p$ es un número primo, entonces todos los $p$ ésimas raíces de la unidad excepto 1 son $p$ ésimas raíces primitivas. Por lo tanto,

{displaystyle Phi _{p}(z)={frac {z^{p}-1}{z-1}}=sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}

z

Tenga en cuenta que, contrariamente a las primeras apariencias, no todos los coeficientes de todos los polinomios ciclotómicos son 0, 1, o −1. La primera excepción es $CCPR 105$ . No es una sorpresa que tarda tanto en obtener un ejemplo, porque el comportamiento de los coeficientes depende no tanto de $n$ como en cuántos factores primitivos raros aparecen en $n$ . Más precisamente, se puede demostrar que si $n$ tiene 1 o 2 factores principales (por ejemplo, $n = 150$ ) entonces el $n$ el polinomio ciclotómico sólo tiene coeficientes 0, 1 o −1. Así el primero concebible $n$ para el cual podría haber un coeficiente además de 0, 1, o −1 es un producto de los tres primos más pequeños, y eso es $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ . Esto por sí mismo no prueba que el polinomio 105 tiene otro coeficiente, pero sí muestra que es el primero que incluso tiene la oportunidad de trabajar (y luego un cálculo de los coeficientes lo muestra). Un teorema de Schur dice que hay polinomios ciclotómicos con coeficientes arbitrariamente grandes en valor absoluto. En particular, si ${displaystyle n=p_{1}p_{2}cdots p_{t},}$ Donde $<math alttext="{displaystyle p_{1}<p_{2}<cdots$

p1.p2.⋯ ⋯ .pt{displaystyle [P_{1} sep_{2}<img alt="{displaystyle p_{1}<p_{2}<cdots

son impares, $p_{t},}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p1+p2■pt,{displaystyle ¿Qué?p_{t},}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba75dc55c25e178c0327aa6dbf31a6159e29cbaa" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:13.118ex; height:2.343ex;"/>$ y t es extraño, entonces $1 - t$ ocurre como un coeficiente en el $n$ polinomio ciclotómico.

Se conocen muchas restricciones sobre los valores que pueden asumir los polinomios ciclotómicos en valores enteros. Por ejemplo, si $p$ es primo, entonces $d ∣ Φ p (d)$ si y solo $d \equiv 1 (modificación p)$ .

Los polinomios ciclotómicos se pueden resolver en radicales, ya que las raíces de la unidad son ellos mismos radicales. Además, existen expresiones radicales más informativas para $n$ th raíces de la unidad con la propiedad adicional de que cada valor de la expresión obtenido al elegir valores de los radicales (por ejemplo, signos de raíces cuadradas) es una raíz $n$ ésima primitiva de la unidad. Esto ya lo demostró Gauss en 1797. Existen algoritmos eficientes para calcular tales expresiones.

Grupos cíclicos

Las $n$ ésimas raíces de la unidad forman bajo la multiplicación un grupo cíclico de orden $n$ y, de hecho, estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos del grupo multiplicativo del campo de números complejos. Un generador para este grupo cíclico es una raíz $n$ ésima primitiva de la unidad.

Las $n$ ésimas raíces de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden $n$ . La relación de ortogonalidad también se deriva de los principios de la teoría de grupos, tal como se describe en Grupo de caracteres.

Las raíces de la unidad aparecen como entradas de los vectores propios de cualquier matriz circulante; es decir, matrices que son invariantes bajo desplazamientos cíclicos, un hecho que también se deriva de la teoría de representación de grupos como una variante del teorema de Bloch. En particular, si se considera una matriz hermitiana circulante (por ejemplo, un laplaciano unidimensional discretizado con límites periódicos), la propiedad de ortogonalidad se sigue inmediatamente de la ortogonalidad habitual de los vectores propios de las matrices hermitianas.

Campos ciclotómicos

Al unirse a un primitivo $n$ la raíz de la unidad ${displaystyle mathbb {Q}}$ uno obtiene el $n$ campo ciclotómico ${displaystyle mathbb {Q} (exp(2pi i/n)).}$ Este campo contiene todo $n$ las raíces de la unidad y es el campo de división del $n$ polinomio ciclotómico ${displaystyle mathbb {Q}.}$ La extensión de campo ${displaystyle mathbb {Q} (exp(2pi i/n))/mathbb {Q} }$ tiene grado φ(n) y su grupo Galois es naturalmente isomorfo al grupo multiplicador de unidades del anillo ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z}.}$

Como el grupo Galois ${displaystyle mathbb {Q} (exp(2pi i/n))/mathbb {Q} }$ es abeliano, es una extensión abeliana. Cada subcampo de un campo ciclotómico es una extensión abeliana de los racionales. Sigue que cada nla raíz de la unidad puede expresarse en el término k-roots, con varios k no superior a φ(n). En estos casos la teoría galois se puede escribir explícitamente en términos de periodos gausianos: esta teoría de la Disquisición Arithmeticae de Gauss fue publicado muchos años antes de Galois.

Por el contrario, cada extensión abeliana de los racionales es un subcampo de un campo ciclotómico: este es el contenido de un teorema de Kronecker, generalmente llamado teorema de Kronecker-Weber sobre la base de que Weber completó la prueba.

Relación con enteros cuadráticos

En el plano complejo, los puntos rojos son las quintas raíces de la unidad, y los puntos negros son las sumas de una quinta raíz de la unidad y su complejo conjugado.

En el plano complejo, los rincones de las dos plazas son las octavas raíces de la unidad

Para $n = 1, 2$ , ambas raíces de la unidad 1 y −1 son números enteros.

Para tres valores de $n$ , las raíces de la unidad son enteros cuadráticos:

Para $n = 3, 6$ son los enteros de Eisenstein ( $D = 3$ ).
Para $n = 4$ son integers gaussianos ( $D = 1 -$ ): ver unidad imaginaria.

Para otros cuatro valores de $n$ , las raíces primitivas de la unidad no son enteros cuadráticos, sino la suma de cualquier raíz de la unidad con su complejo conjugado (también una $n$ ésima raíz de la unidad) es un entero cuadrático.

Para $n = 5, 10$ , ninguna de las raíces no reales de la unidad (que satisfacen una ecuación de cuarto grado) es un número entero cuadrático, pero la suma $z + z = 2 Re z$ de cada raíz con su complejo conjugado (también raíz quinta de la unidad) es un elemento del anillo Z[1 + √5/2] ( $D = 5$ ). Para dos pares de quintas raíces no reales de la unidad, estas sumas son la proporción áurea inversa y la proporción áurea negativa.

Para $n = 8$ , para cualquier raíz de unidad $z + z$ es igual a 0, ±2 o ±√2 ( $D = 2$ ).

Para $n = 12$ , para cualquier raíz de unidad, $z + z$ es igual a 0, ±1, ±2 o ±√3 ( $D = 3$ ).

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