Raíz cuadrada de 5

El raíz cuadrada de 5 es el número real positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número principal 5. Es más precisamente llamado principal raíz cuadrada de 5, para distinguirlo del número negativo con la misma propiedad. Este número aparece en la expresión fraccional para la relación de oro. Puede ser denotado en forma surd como ${\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft}\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft}\\\\\\\\fnMicrom}\\\\\\\\fnMicrom}\\\\\\fnMicrom}\\\\\\\\\fnMicrom\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrom\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrom\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicro {}}$.

Es un número algebraico irracional. Los primeros sesenta dígitos significativos de su desarrollo decimal son:

2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089... (secuencia) A002163 en el OEIS),

que se puede redondear a 2,236 con una precisión del 99,99 %. Se puede utilizar la aproximación ⁠161/72⁠ (≈ 2,23611) para la raíz cuadrada de cinco. A pesar de tener un denominador de solo 72, difiere del valor correcto en menos de ⁠1/10 000⁠ (aprox. 4,3×10⁻⁵). A partir de enero de 2022, el valor numérico en decimal de la raíz cuadrada de 5 se ha calculado con al menos 2 250 000 000 000 dígitos.

La raíz cuadrada de 5 se puede expresar como fracción continua simple

${\displaystyle [2;4,4,4,4,4\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{} \atop \displaystyle \ddots - Sí.$ (secuencia) A040002 en el OEIS)

Las sucesivas evaluaciones parciales de la fracción continua, que se denominan sus convergentes, enfoque ${\displaystyle {\sqrt {5}}$:

${\fnMicroc {2},{\frac {9}{4},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}}},{\frac {682}{305},{\frac {2889}{1292}}}}}}{\frac {12238}{5473} {\f} {\f} {\f}}} {\f}}}}} {\f} {\f}}} {\f} {\f} {\f} {\f}}} {\f} {\f} {\f}}}}}}}\f}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}} {\f} {\f} {\f}} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f} {\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn$

Sus numeradores son 2, 9, 38, 161, … (secuencia A001077 en la OEIS), y sus denominadores son 1, 4, 17, 72, … (secuencia A001076 en la OEIS).

Cada uno de ellos es una mejor aproximación racional ${\displaystyle {\sqrt {5}}$; en otras palabras, está más cerca ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ que cualquier número racional con un denominador más pequeño.

Los convergentes, expresados como ⁠x/y⁠, satisfacen alternativamente las ecuaciones de Pell

${\displaystyle ### {2}-5y^{2}=-1\quad {\text{and}\quad x^{2}-5y^{2}=1}$

Cuando ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ se aproxima con el método babilónico, comenzando con x₀ = 2 y uso x_{n+ 1} = ⁠1/2⁠()x_n + ⁠5/x_n⁠), el nt aproximant x_n es igual a la 2ⁿt convergent of the continued fraction:

${\displaystyle x_{0}=2.0,\quad x_{1}={\frac {9}=2.25,\quad x_{2}={\frac {161}{72}=2.23611\dots\quad x_{3}={\frac {51841}{23184}=2.2360679779\ldots\quad x_{4}={\frac {5374978561}{2403763488}=2.23606797749979\ldots }$

El método babilónico es equivalente al método de Newton para encontrar raíces aplicado al polinomio ${\displaystyle x^{2}-5}$. Actualización del método de Newton, ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}) }$, es igual a ${\displaystyle (x_{n}+5/x_{n}/2}$ cuando ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5}$. Por lo tanto, el método converge cuadráticamente.

La relación de oro φ es la media aritmética de 1 y ${\displaystyle {\sqrt {5}}$. La relación algebraica entre ${\displaystyle {\sqrt {5}}$, la relación de oro y el conjugado de la relación de oro (Governing = −⁠1/φ⁠ 1 − φ) se expresa en las siguientes fórmulas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}} {\fn} -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi '={\frac {1+{\sqrt {5}} {2}}\[5pt]\\fnMicroc {1-{\sqrt {5}}{2}}}}\end{aligned}}}}} {\fnMicroc {0}}}} {\fnun}}}}}} {\fn0}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn9}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(Ver la sección abajo para su interpretación geométrica como descomposiciones de una ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ rectángulo.)

${\displaystyle {\sqrt {5}}$ entonces, naturalmente figuras en la expresión de forma cerrada para los números Fibonacci, una fórmula que se escribe generalmente en términos de la relación de oro:

${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi)}{n}{\sqrt {5}}}$

El cociente de ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ y φ (o el producto de ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ y CCPR), y su recíproco, proporcionan un patrón interesante de fracciones continuas y están relacionados con las relaciones entre los números Fibonacci y los números Lucas:

${\fnMicrosoft} {\fnMicroc {\fn} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\f} {\fnMicrosoft}} {\f}}} {\fnMicrosoft} {\fnK}}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\f}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ }=\Phi \cdot {\ sqrt {5}={\frac} {5-{\sqrt {5}}{2} {=1.3819660112501051518\dots \\[5pt]{\frac {\varphic . {5}={\frac} {1}{\phi \cdot {\ sqrt {5}}={\frac} {5+{\sqrt {5}}{10} {0.72360679774997896964\ldots \\cnt=[0;1,2,1,1,1,1,1,\ldots ].\end{aligned}}$

La serie de convergentes a estos valores presenta la serie de números de Fibonacci y la serie de números de Lucas como numeradores y denominadores, y viceversa, respectivamente:

${\fnMicroc {} {\fnMicroc {} {\fnMicroc {}} {\fnMicroc {} {}}} {\fnMicroc {}}} {\fnMicroc {} {\fnMicroc {}} {\fnMicroc {} {}} {\fnMicroc} {\f} {\f}}} {\f} {\f}} {\f}}}}} {\f}} {\f} {\f}}} {\f}}}} {\f} {\f} {\f}\fnMicrob}\f}\f}}}}}}}}\f} {\f} {\f} {\fnMicrob} {\f}} {\f}\f} {\fnMicrob}\f} {\f}}\f}\fnMicrob} {\fnMicroc}}\f}\f}\f} {\f}}}\fn [1;2,1,1,1,1,\ldots]\[8pt] diez, {\frac {2}{3},{\frac {3} {4}}},{\frac {5}{7},{\do {8}{11} {\frac {13}{18}{18} {\frac}{29} {} {\2} {} {}}} {} {}}} {}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}} {}} {}} {} {} {}}} {}}} {\c}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {\c} {}}}}}}} {}}} {} {\c}}}} {\c}}} {\c}}}}}}}}}}}}} {\c} {\c} {\c}} {\c}}}}}}}}}}}}}} {\ [0;1,2,1,1,1,1,1,\dots].$

De hecho, el límite del cociente del ${\displaystyle n^{th}$ Lucas número ${\displaystyle L_{n}$ y el ${\displaystyle n^{th}$ Número de Fibonacci ${\displaystyle F_{n}$ es directamente igual a la raíz cuadrada ${\displaystyle 5}$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}}} {\fn}}}}}} {\n}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\n\\\\\\\\\\\\\\\n}\n}\\n}\\n}\\\\\\\\\\\\\\n}\n}\n}\\\n}\n}\\\n}\\\\\\\\\\\n}\n}}}}}\\\\\\\n}\\n}}}}}\\\\\\\\n}\n}}}}\n} {5}}$

Geométricamente, ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ corresponde a la diagonal de un rectángulo cuyos lados son de longitud 1 y 2, como es evidente del teorema pitagórico. Tal rectángulo se puede obtener al amalgama de un cuadrado, o colocando dos cuadrados iguales lado a lado. Esto se puede utilizar para subdividir una cuadrícula cuadrada en una cuadrícula cuadrada inclinada con cinco veces más cuadrados, formando la base para una superficie de subdivisión. Junto con la relación algebraica entre ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ y φ, esta forma la base para la construcción geométrica de un rectángulo dorado de una plaza, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (ya que la relación lado a diagonal en un pentágono regular es φ).

Dado que dos caras adyacentes de un cubo se despliegan en un rectángulo 1:2, la relación entre la longitud del borde del cubo y la distancia más corta de uno de sus vértices al opuesto, al atravesar el cubo superficie, es ${\displaystyle {\sqrt {5}}$. Por el contrario, la distancia más corta al atravesar la dentro del cubo corresponde a la longitud del cubo diagonal, que es la raíz cuadrada de tres veces el borde.

Un rectángulo con proporciones laterales 1:${\displaystyle {\sqrt {5}}$ se llama rectángulo raíz-cinco y es parte de la serie de rectángulos raíz, un subconjunto de rectángulos dinámicos, que se basan en ${\displaystyle {\sqrt}}$ (= 1), ${\displaystyle {\sqrt {2}}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}$, ${\displaystyle {\sqrt {4}}$ (= 2), ${\displaystyle {\sqrt {5}}$... y sucesivamente construido utilizando la diagonal del rectángulo raíz anterior, comenzando desde un cuadrado. Un rectángulo raíz-5 es particularmente notable en que puede dividirse en un cuadrado y dos rectángulos dorados iguales (de dimensiones) CCPR × 1), o en dos rectángulos dorados de diferentes tamaños (de dimensiones CCPR × 1 y 1 × φ). También puede ser descompuesto como la unión de dos rectángulos dorados iguales (de dimensiones) 1 × φ) cuya intersección forma un cuadrado. Todo esto se puede ver como la interpretación geométrica de las relaciones algebraicas entre ${\displaystyle {\sqrt {5}}$, φ y CCPR mencionado anteriormente. El rectángulo root-5 se puede construir a partir de un rectángulo 1:2 (el rectángulo raíz-4), o directamente desde un cuadrado de una manera similar a la del rectángulo dorado mostrado en la ilustración, pero extendiendo el arco de longitud ${\displaystyle {\sqrt {5}/2}$ a ambos lados.

Como ${\displaystyle {\sqrt {2}}$ y ${\displaystyle {\sqrt {3}}$, la raíz cuadrada de 5 aparece ampliamente en las fórmulas para las constantes trigonométricas exactas, incluyendo en los pecados y cosines de cada ángulo cuya medida en grados es divisible por 3 pero no por 15. El más simple de estos son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\fnMicroc {\fnMicroc} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{4} {\sqrt {5}-1)={\frac {1}{\sqrt {5}}+1}}}}}\\[5pt]\sin {\frac {\pic {\pic}\sqr]} # {5}=\sin 36^{\circ } {\tfrac {4}{4} {2(5-{\sqrt {5}}}}\\[5pt]\sin {\frac {3\pi}{10}=\sin 54^{\circ } {4}{4} {4} {\c\c} {\c\c\cH00}} {\c\cH00} {\cH00} {\cH00}} {\cH00}}} {\c\cH00} {\c\cH00}}} {\c\c\c\c\c\c} {\cH00} {\cH00}} {\cH00} {\cH00}}} {\c\c\c\c\c\cH00}} {\cH00} {\cH00}} {\cH00}} {\c\c\c\c\c\c\cH00} {\cH00}} {\cH00}}}}\cH00}\c\c\c\c}}}}}} ### {5}=\sin 72^{\circ } â\tfrac {1}{4} {2(5+{\sqrt {5}}}\,\end{aligned}}}}$

Como tal, el cálculo de su valor es importante para generar tablas trigonométricas. Desde ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ está geométricamente ligada a rectángulos de media cuadra y a pentágonos, también aparece con frecuencia en fórmulas para las propiedades geométricas de las figuras derivadas de ellos, como en la fórmula para el volumen de un dodecaedro.

El teorema de Hurwitz en aproximaciones diofánticas establece que todo número irracional x puede aproximarse mediante infinitos números racionales ⁠m/n⁠ en términos más bajos de tal manera que

${\displaystyle \left WordPressx-{\frac {m} {n} 'derecho a escuchar {1} {\fn} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}}} {\fn}}}} {\fn}}}}}}}}} {\\fn}}}}}}} {\\fn}}}}}}}}}}}} {\$

y eso ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ es mejor posible, en el sentido de que para cualquier constante más grande que ${\displaystyle {\sqrt {5}}$, hay algunos números irracionales x para el cual existen solamente muchas aproximaciones finitas.

Estrechamente relacionado con esto está el teorema de que de cualesquiera tres convergentes consecutivos ⁠p_i/q_i⁠, ⁠p_i+1/q_i+1⁠, ⁠p_i+2/q_i+2⁠, de un número α, se cumple al menos una de las tres desigualdades:

${\displaystyle \left durable\alpha - Correcto. {5}q_{i} {2}}\quad \left durable\alpha - {p_{i+1} \over q_{i+1} {1 \over {\sqrt {5}q_{i+1} {2}}\quad \left durable\alpha - {p_{i+2} \over q_{i+2} {1 \over {\sqrt {5}q_{i+2} {2}}}$

Y el ${\displaystyle {\sqrt {5}}$ en el denominador es el mejor límite posible ya que los convergentes de la relación de oro hacen la diferencia en el lado izquierdo arbitrariamente cerca del valor en el lado derecho. En particular, no se puede obtener un límite más estricto considerando secuencias de cuatro o más convergentes consecutivos.

El anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}]$ contiene números de la forma ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}$, donde a y b son enteros y ${\displaystyle {\sqrt {-5}}$ es el número imaginario ${\displaystyle i{\sqrt {5}}$. Este anillo es un ejemplo frecuentemente citado de un dominio integral que no es un dominio de factorización único. El número 6 tiene dos factores inequivalentes dentro de este anillo:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

Por otro lado, el verdadero anillo de entero cuadrático ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {\sqrt {5}+1}{2}}}}$, junto a la relación de oro ${\displaystyle \phi ={\tfrac {\cHFF} {5}}+1}{2}}} {}}} {}}}} {}}}}}} {}}} {}}}}}}}} {}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$, se mostró como Euclidean, y por lo tanto un dominio de factorización único, por Dedekind.

El campo ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}],}$ como cualquier otro campo cuadrático, es una extensión abeliana de los números racionales. El Kronecker – Teorema Weber garantiza por lo tanto que la raíz cuadrada de cinco puede ser escrita como una combinación lineal racional de raíces de unidad:

${\fnMicroc {2\fnK}=e^ {\fnMicroc {2\pi} } {5}i}-e^{\frac {4\pi} - ¿Qué? } {5}i}+e^{\frac {8\cH00} Yo.$

La raíz cuadrada de 5 aparece en varias identidades descubiertas por Srinivasa Ramanujan que involucran fracciones continuas.

Por ejemplo, este caso de la fracción continua de Rogers-Ramanujan:

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {\cH00} }{1+{\cfrac {\fnMicrosoft Sans Serif} }{1+{\cfrac {\cH00} }{1+{} \atop \displaystyle \ddots {\fnMicroc}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {}} {2}} {\fnMicroc} {\sqrt {5}=e^{2}} {\fnMicroc {2\pi}}=e^{\frac {2\pi}{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}}}\varphi\right).}}}}}}}}}}}\varphi \right).}}}} {\$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {\cH00} {\cHFF} {5}}{1+{\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\cHFF} {5}}{1+{\frac {\cH00} {\cHFF} {5}} {1+{} {}}} {1+{}} {}}}}}} {1+{} {} {}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {} {} {}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { \atop \displaystyle \ddots ♪♪♪♪♪♪♪♪ {5}} \over 1+{\sqrt[{5}{5^{\frac {3}{4} {\varphi -1)^{\frac} {5}{2}-1}}}}\varphi \right)e^{\frac {2\pi}{\sqrt {5}}}$

${\displaystyle 4\int _{0}{\infty}{\frac {xe^{-x{\sqrt {}} {\fn} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\frac} {1}{1}}{1+{\c} {\c}}{1+{\c} {\c} {\c} {\c} {\c}}} {\c}}}}}}} {1+{\c} {\c}{\c}}}}}}}}}}}}} {1}}}}}}{1+{\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{1+{1+{\c}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ {1}{1+{\frac} {1}{1}}{1+{\c} {\c}}{1+{\c} {\c} {\c} {\c} {\c}}} {\c}}}}}}} {1+{\c} {\c}{\c}}}}}}}}}}}}} {1}}}}}}{1+{\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{1+{1+{\c}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ {2}{1+{\frac} {2}{1+{\frac} {3^{2}{1+{\cfrac {3^{2}{1+{} \atop \displaystyle \ddots - Sí.$

• Relación de oro
• Base cuadrada
• raíz cuadrada de 2
• raíz cuadrada de 3
• raíz cuadrada de 6
• raíz cuadrada de 7