Raíz cuadrada de 2

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Número real único positivo que cuando se multiplica por sí mismo da 2

El raíz cuadrada de 2 (aproximadamente 1.4142) es un número real positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, equivale al número 2. Puede ser escrito en matemáticas como ${sqrt {2}}$ o $2^{{1/2}}$ . Es un número algebraico, y por lo tanto no un número trascendental. Técnicamente, debe llamarse la principal raíz cuadrada de 2, para distinguirla del número negativo con la misma propiedad.

Geométricamente, la raíz cuadrada de 2 es la longitud de una diagonal en un cuadrado con lados de una unidad de longitud; esto se sigue del teorema de Pitágoras. Probablemente fue el primer número que se supo que era irracional. La fracción 99/70 (≈ 1,4142857) a veces se usa como una buena aproximación racional con un denominador razonablemente pequeño.

La secuencia A002193 en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras consta de los dígitos en la expansión decimal de la raíz cuadrada de 2, aquí truncados a 65 lugares decimales:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799

Historia

tableta de arcilla babilónica YBC 7289 con anotaciones. Además de mostrar la raíz cuadrada de 2 en sexagesimal (1 24 51 10), la tableta también da un ejemplo donde un lado de la plaza es 30 y la diagonal entonces es 42 25 35. El dígito sexagesimal 30 también puede soportar 0 30 = 1/2, en cuyo caso 0 42 25 35 es aproximadamente 0.7071065.

La tableta de arcilla babilónica YBC 7289c.1800–1600 BC) da una aproximación ${sqrt {2}}$ en cuatro figuras sexagesimal, 1 24 51 10, que es preciso a unos seis dígitos decimales, y es la representación sexagesimal más cercana posible de tres lugares ${sqrt {2}}$ :

{displaystyle 1+{frac {24}{60}}+{frac {51}{60^{2}}}+{frac {10}{60^{3}}}={frac {305470}{216000}}=1.41421{overline {296}}.}

Otra aproximación temprana se da en los antiguos textos matemáticos indios, los Sulbasutras (c. 800– 200 aC), de la siguiente manera: Aumenta la longitud [del lado] en su tercio y este tercio en su propio cuarto menos la trigésima cuarta parte de ese cuarto. Es decir,

{displaystyle 1+{frac {1}{3}}+{frac {1}{3times 4}}-{frac {1}{3times 4times 34}}={frac {577}{408}}=1.41421{overline {56862745098039}}.}

Esta aproximación es la séptima en una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas basadas en la secuencia de números Pell, que puede derivarse de la expansión continua de la fracción de la ${sqrt {2}}$ . A pesar de tener un denominador más pequeño, es sólo ligeramente menos exacto que la aproximación babilónica.

Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o en lenguaje moderno, que la raíz cuadrada de dos es irracional. Poco se sabe con certeza sobre el momento o las circunstancias de este descubrimiento, pero a menudo se menciona el nombre de Hippasus de Metapontum. Durante un tiempo, los pitagóricos trataron como un secreto oficial el descubrimiento de que la raíz cuadrada de dos es irracional y, según la leyenda, Hipaso fue asesinado por divulgarla. La raíz cuadrada de dos se denomina ocasionalmente número de Pitágoras o constante de Pitágoras, por ejemplo por Conway & Chico (1996).

Arquitectura romana antigua

En la arquitectura romana antigua, Vitruvio describe el uso de la raíz cuadrada de 2 progresión o técnica ad quadratum. Consiste básicamente en un método geométrico, más que aritmético, para duplicar un cuadrado, en el que la diagonal del cuadrado original es igual al lado del cuadrado resultante. Vitruvio atribuye la idea a Platón. El sistema se empleó para construir pavimentos creando un cuadrado tangente a las esquinas del cuadrado original a 45 grados del mismo. La proporción también se utilizó para diseñar los atrios dándoles una longitud igual a una diagonal tomada de un cuadrado, cuyos lados son equivalentes al ancho del atrio previsto.

Valor decimal

Algoritmos de computación

Hay muchos algoritmos para aproximar ${sqrt {2}}$ como una relación de enteros o como decimal. El algoritmo más común para esto, que se utiliza como base en muchas computadoras y calculadoras, es el método babilónico para calcular las raíces cuadradas. De la siguiente manera:

Primero, elige una suposición, $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a0■0{displaystyle a_{0}]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1899d1c0713bcaa2fdb4c8bfea422c007fea38cc" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.545ex; height:2.509ex;"/>$ ; el valor de la conjetura afecta sólo cuántas iteraciones son necesarias para alcanzar una aproximación de cierta precisión. Luego, utilizando esa suposición, se realiza a través de la siguiente computación recursiva:

a_{n+1}={frac {a_{n}+{frac {2}{a_{n}}}}{2}}={frac {a_{n}}{2}}+{frac {1}{a_{n}}}.

Cuanto más iteraciones a través del algoritmo (es decir, más computaciones realizadas y mayores " $n$ "), mejor la aproximación. Cada iteración duplica aproximadamente el número de dígitos correctos. Empezando con $a_{0}=1$ , los resultados del algoritmo son los siguientes:

1 () $a 0$ )
3/2 = 1.5 ( $a 1$ )
17/12 = 1.416... () $a 2$ )
577/408 = 1.414215... () $a 3$ )
665857/470832 = 1.4142135623746... () $a 4$ )

Aproximaciones racionales

Una aproximación racional simple 99/70 (≈ 1.4142857). A pesar de tener un denominador de solo 70, difiere del valor correcto en menos de 1/10,000 (aprox. +0.72×10⁻⁴).

Las siguientes dos mejores aproximaciones racionales son 140/99 (≈ 1,4141414...) con un error marginalmente menor (aprox. −0.72×10^{− 4}), y 239/ 169 (≈ 1.4142012) con un error de aproximadamente −0.12×10⁻⁴.

La aproximación racional de la raíz cuadrada de dos derivada de cuatro iteraciones del método babilónico después de comenzar con $a 0 = 1$ (665,857/470,832) es demasiado grande por aproximadamente 1.6×10⁻¹²; su cuadrado es ≈ 2.0000000000045.

Registros en computación

En 1997, el valor de ${sqrt {2}}$ fue calculado a 137.438.953.444 lugares decimales por el equipo de Yasumasa Kanada. In February 2006, the record for the calculation of ${sqrt {2}}$ fue eclipsado con el uso de un ordenador casero. Shigeru Kondo calculó un trillón decimal lugares en 2010. Entre las constantes matemáticas con las expansiones decimales computacionalmente desafiantes, sólo π, e, y la relación de oro se han calculado más precisamente a partir de marzo de 2022. Tales cálculos tienen como objetivo comprobar empíricamente si tales números son normales.

Esta es una tabla de registros recientes para calcular los dígitos de ${sqrt {2}}$ .

Fecha	Nombre	Número de dígitos
5 de enero de 2022	Tizian Hanselmann	10000000001000
Junio 28, 2016	Ron Watkins	10000000000000
Abril 3, 2016	Ron Watkins	5000000000000
Enero 20, 2016	Ron Watkins	2000000000100
9 de febrero de 2012	Alexander Yee	2000000000050
22 de marzo de 2010	Shigeru Kondo	1000000000000

Pruebas de irracionalidad

Una prueba corta de la irracionalidad ${sqrt {2}}$ puede obtenerse del teorema de raíz racional, es decir, si $p(x)$ es un polinomio monico con coeficientes enteros, entonces cualquier raíz racional $p(x)$ es necesariamente un entero. Aplicar esto al polinomio ${displaystyle p(x)=x^{2}-2}$ , sigue que ${sqrt {2}}$ es un entero o irracional. Porque... ${sqrt {2}}$ no es un entero (2 no es un cuadrado perfecto), ${sqrt {2}}$ debe ser irracional. Esta prueba se puede generalizar para demostrar que cualquier raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto es irracional.

Para otras pruebas de que la raíz cuadrada de cualquier número natural no cuadrado es irracional, consulte Número irracional cuadrático o Descenso infinito.

Prueba por descenso infinito

Una prueba de la irracionalidad del número es la siguiente prueba de descenso infinito. Es también una prueba de una negación por refutación: prueba la afirmación " ${sqrt {2}}$ no es racional" al asumir que es racional y luego conducir una falsedad.

Supongamos que ${sqrt {2}}$ es un número racional, lo que significa que existe un par de enteros cuya relación es exactamente ${sqrt {2}}$ .
Si los dos enteros tienen un factor común, se puede eliminar usando el algoritmo de Euclidean.
Entonces... ${sqrt {2}}$ puede ser escrito como una fracción irreducible ${frac {a}{b}}$ tales que $a$ y $b$ son los enteros coprime (no tienen ningún factor común) que significa además que al menos uno de $a$ o $b$ Debe ser extraño.
De ello se desprende que ${displaystyle {frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ y ${displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ . () $(a/b)n = an/bn$ ) $a 2 y b 2$ son enteros)
Por lo tanto, $a 2$ es incluso porque es igual a $2 b 2$ . () $2 b 2$ es necesariamente incluso porque es 2 veces más número entero.)
De ello se desprende que $a$ debe ser incluso (como cuadrados de extraños enteros nunca son ni siquiera).
Porque... $a$ es incluso, existe un entero $k$ que cumple $a=2k$ .
Sustitución $2 k$ del paso 7 para $a$ en la segunda ecuación del paso 4: ${displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$ , que equivale a ${displaystyle b^{2}=2k^{2}}$ .
Porque... $2 k 2$ es divisible por dos y por lo tanto incluso, y ${displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$ , sigue que $b 2$ es también lo que significa que $b$ es incluso.
En los pasos 5 y 8, $a$ y $b$ ambos son incluso, que contradice el paso 3 (que ${frac {a}{b}}$ es irreducible).

Puesto que hemos derivado una falsedad, la suposición (1) que ${sqrt {2}}$ es un número racional debe ser falso. Esto significa que ${sqrt {2}}$ no es un número racional; es decir, ${sqrt {2}}$ es irracional.

Esta prueba fue insinuada por Aristóteles, en su Analytica Priora, §I.23. Apareció primero como una prueba completa en los Elementos de Euclides, como la proposición 117 del Libro X. Sin embargo, desde principios del siglo XIX, los historiadores han acordado que esta prueba es una interpolación y no atribuible a Euclides.

Demostración por factorización única

Como con la prueba de descenso infinito, obtenemos ${displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ . Siendo la misma cantidad, cada lado tiene la misma factorización principal por el teorema fundamental de la aritmética, y en particular, tendría que tener el factor 2 ocurrir el mismo número de veces. Sin embargo, el factor 2 aparece un número extraño de veces a la derecha, pero un número incluso de veces a la izquierda —una contradicción.

Prueba geométrica

Una simple prueba se atribuye a Stanley Tennenbaum cuando era estudiante a principios de los años cincuenta. Dado dos plazas con lados enteros respectivamente a y b, uno de los cuales tiene el doble del área del otro, colocar dos copias de la plaza más pequeña en el más grande como se muestra en la Figura 1. La región de solapamiento cuadrado en el centro ( ${displaystyle (2b-a)^{2}}$ ) debe igualar la suma de los dos cuadrados descubiertos ( ${displaystyle 2(a-b)^{2}}$ ). Sin embargo, estos cuadrados en la diagonal tienen lados enteros positivos que son más pequeños que los cuadrados originales. Repetindo este proceso, hay cuadrados arbitrariamente pequeños uno dos veces la zona de la otra, pero ambos tienen partes enteros positivos, lo que es imposible ya que los números enteros positivos no pueden ser inferiores a 1.

Tom M. Apostol hizo otro geométrico reductio ad absurdum argumento mostrando que ${sqrt {2}}$ es irracional. También es un ejemplo de prueba por ascendencia infinita. Hace uso de la brújula clásica y la construcción de hendidura, demostrando el teorema por un método similar al empleado por los antiguos geométricos griegos. Es esencialmente la misma prueba algebraica que en el párrafo anterior, vista geométricamente de otra manera.

Vamos $ ABC$ ser un triángulo isosceles derecho con longitud hipotenusa $m$ y piernas $n$ como se muestra en la Figura 2. Por el teorema pitagórico, ${displaystyle {frac {m}{n}}={sqrt {2}}}$ . Suppose $m$ y $n$ son enteros. Vamos $m : n$ ser una relación dada en sus términos más bajos.

Dibuje los arcos $BD$ y $CE$ con centro A. Únase a $DE$ . De ello se deduce que $AB = AD$ , $AC = AE$ y $∠ BAC$ y $∠ DAE$ coinciden. Por lo tanto, los triángulos $ABC$ y $ADE$ son congruentes por SAS.

Porque $∠ EBF$ es un ángulo recto y $∠ BEF$ es la mitad de un ángulo recto, $△ BEF$ también es un triángulo rectángulo isósceles. Por lo tanto $BE = m - n$ implica $BF = m - n$ . Por simetría, $DF = m - n$ , y $△ FDC$ también es un triángulo rectángulo isósceles. También se sigue que $FC = n - (m - n) = 2 n - m$ .

Por lo tanto, hay un triángulo isosceles derecho incluso más pequeño, con longitud hipotenusa $2 n - m$ y piernas $m - n$ . Estos valores son enteros incluso más pequeños que $m$ y $n$ y en la misma proporción, contradiciendo la hipótesis de que $m : n$ es en términos más bajos. Por lo tanto, $m$ y $n$ no pueden ser ambos enteros; por lo tanto, ${sqrt {2}}$ es irracional.

Prueba constructiva

Mientras que las pruebas por descendencia infinita son constructivamente válidas cuando "irracional" se define para significar "no racional", podemos obtener una declaración constructivamente más fuerte usando una definición positiva de "irracional" como "cuantificablemente aparte de todo racional". Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $1< a </ b < 3/2$ (ya que $1<2< 9/4$ satisface estos límites). Ahora $2 b 2$ y $a 2$ no puede ser igual, ya que el primero tiene un número impar de factores 2 mientras que el segundo tiene un número par de factores 2. Así $| 2 b 2 - a 2 | \geq 1$ . Multiplicando la diferencia absoluta $| \sqrt 2 - a / b |$ por $b 2 (\sqrt 2 + a / b)$ en el numerador y el denominador, obtenemos

{displaystyle left|{sqrt {2}}-{frac {a}{b}}right|={frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}!left({sqrt {2}}+{frac {a}{b}}right)}}geq {frac {1}{b^{2}!left({sqrt {2}}+{frac {a}{b}}right)}}geq {frac {1}{3b^{2}}},}

la última desigualdad es verdadera porque se supone que $1 a / b 3/2$ , dar $a / b + \sqrt 2 \leq 3$ (también la diferencia cuantitativa se puede establecer trivialmente). Esto da un límite inferior $1 / 3 b 2$ para la diferencia $Silencio \sqrt 2 - a / b Silencio$ , dando una prueba directa de irracionalidad en su forma constructivamente más fuerte, sin depender de la ley del medio excluido; véase Errett Bishop (1985, p. 18). Esta prueba muestra constructivamente una discrepancia explícita entre ${sqrt {2}}$ y cualquier racional.

Demostración por ternas pitagóricas

Esta prueba utiliza la siguiente propiedad de las ternas pitagóricas primitivas:

a

b

, y

c

son enteros positivos coprime tales que

a 2 + b 2 = c 2

, entonces

c

Nunca lo es.

Este lema se puede usar para mostrar que nunca se pueden sumar dos cuadrados perfectos idénticos para producir otro cuadrado perfecto.

Supongamos lo contrario que ${sqrt {2}}$ es racional. Por lo tanto,

{displaystyle {sqrt {2}}={a over b}}

Donde

{displaystyle a,bin mathbb {Z} }

gcd(a,b) = 1

Cuadrando ambos lados,

{displaystyle 2={a^{2} over b^{2}}}

{displaystyle 2b^{2}=a^{2}}

{displaystyle b^{2}+b^{2}=a^{2}}

Aquí, $(b, b, a)$ es una terna pitagórica primitiva, y del lema $a$ nunca es par. Sin embargo, esto contradice la ecuación $2 b 2 = a 2$ lo que implica que $a$ debe ser par.

Inversa multiplicativa

(feminine)

El inverso multiplicativo (recíproco) de la raíz cuadrada de dos (es decir, la raíz cuadrada de 1/2) es una constante muy utilizada.

{displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}={frac {sqrt {2}}{2}}=sin 45^{circ }=cos 45^{circ }=}

0.70710678118654752440084436210484903928483593768847... (secuencia) A010503 en el OEIS)

La mitad de la ${sqrt {2}}$ , también el recíproco de ${sqrt {2}}$ , es una cantidad común en geometría y trigonometría porque el vector unitario que hace un ángulo de 45° con los ejes en un plano tiene las coordenadas

{displaystyle left({frac {sqrt {2}}{2}},{frac {sqrt {2}}{2}}right)!.}

Este número satisface

{displaystyle {tfrac {1}{2}}{sqrt {2}}={sqrt {tfrac {1}{2}}}={frac {1}{sqrt {2}}}=cos 45^{circ }=sin 45^{circ }.}

Propiedades

Una propiedad interesante ${sqrt {2}}$ es

{displaystyle ! {1 over {{sqrt {2}}-1}}={sqrt {2}}+1}

desde

{displaystyle left({sqrt {2}}+1right)!left({sqrt {2}}-1right)=2-1=1.}

Esto está relacionado con la propiedad de las proporciones de plata.

${sqrt {2}}$ también se puede expresar en términos de copias de la unidad imaginaria $i$ usando sólo la raíz cuadrada y las operaciones aritméticas, si el símbolo de raíz cuadrada se interpreta adecuadamente para los números complejos $i$ y $- i$ :

{frac {{sqrt {i}}+i{sqrt {i}}}{i}}{text{ and }}{frac {{sqrt {-i}}-i{sqrt {-i}}}{-i}}

${sqrt {2}}$ es también el único número real que no sea 1 cuyo tetrato infinito (es decir, torre exponencial infinita) es igual a su cuadrado. En otras palabras: $c ■ 1$ , $x 1 = c$ y $x n + 1 = c x n$ para $n ■ 1$ , el límite $x n$ como $n \to$ se llamará (si existe este límite) $f () c)$ . Entonces... ${sqrt {2}}$ es el único número $c ■ 1$ para la cual $f () c) c 2$ . O simbólicamente:

{displaystyle {sqrt {2}}^{{sqrt {2}}^{{sqrt {2}}^{~cdot ^{~cdot ^{~cdot }}}}}=2.}

${sqrt {2}}$ aparece en la fórmula de Viète para $π$ :

{displaystyle 2^{m}{sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+cdots +{sqrt {2}}}}}}}}to pi {text{ as }}mto infty }

Did you mean:

for square roots and only one minus sign.

Similar en apariencia pero con un número finito de términos, ${sqrt {2}}$ aparece en varias constantes trigonométricas:

{displaystyle {begin{aligned}sin {frac {pi }{32}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}}}&quad sin {frac {3pi }{16}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2-{sqrt {2-{sqrt {2}}}}}}&quad sin {frac {11pi }{32}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2+{sqrt {2-{sqrt {2-{sqrt {2}}}}}}}}\[6pt]sin {frac {pi }{16}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}&quad sin {frac {7pi }{32}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2-{sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}}}&quad sin {frac {3pi }{8}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2+{sqrt {2}}}}\[6pt]sin {frac {3pi }{32}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2-{sqrt {2}}}}}}}}&quad sin {frac {pi }{4}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2}}&quad sin {frac {13pi }{32}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2-{sqrt {2}}}}}}}}\[6pt]sin {frac {pi }{8}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2-{sqrt {2}}}}&quad sin {frac {9pi }{32}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2+{sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}}}&quad sin {frac {7pi }{16}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}\[6pt]sin {frac {5pi }{32}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2-{sqrt {2-{sqrt {2-{sqrt {2}}}}}}}}&quad sin {frac {5pi }{16}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2+{sqrt {2-{sqrt {2}}}}}}&quad sin {frac {15pi }{32}}&={tfrac {1}{2}}{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}}}end{aligned}}}

No se sabe si ${sqrt {2}}$ es un número normal, que es una propiedad más fuerte que la irracionalidad, pero los análisis estadísticos de su expansión binaria son consistentes con la hipótesis de que es normal basar dos.

Representaciones

Serie y producto

La identidad $cos π / 4 = sin π / 4 = 1 / \sqrt 2$ , junto con las infinitas representaciones de productos para el seno y el coseno, conduce a productos como

{displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}=prod _{k=0}^{infty }left(1-{frac {1}{(4k+2)^{2}}}right)=left(1-{frac {1}{4}}right)!left(1-{frac {1}{36}}right)!left(1-{frac {1}{100}}right)cdots }

{displaystyle {sqrt {2}}=prod _{k=0}^{infty }{frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=left({frac {2cdot 2}{1cdot 3}}right)!left({frac {6cdot 6}{5cdot 7}}right)!left({frac {10cdot 10}{9cdot 11}}right)!left({frac {14cdot 14}{13cdot 15}}right)cdots }

o equivalentemente,

{displaystyle {sqrt {2}}=prod _{k=0}^{infty }left(1+{frac {1}{4k+1}}right)left(1-{frac {1}{4k+3}}right)=left(1+{frac {1}{1}}right)!left(1-{frac {1}{3}}right)!left(1+{frac {1}{5}}right)!left(1-{frac {1}{7}}right)cdots.}

El número también se puede expresar tomando la serie de Taylor de una función trigonométrica. Por ejemplo, la serie para $cos π / 4$ da

{frac {1}{sqrt {2}}}=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}left({frac {pi }{4}}right)^{2k}}{(2k)!}}.

La serie de Taylor de $\sqrt 1 + x$ con $x = 1$ y usando el doble factorial $n!!$ da

{displaystyle {sqrt {2}}=sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k+1}{frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{frac {1}{2}}-{frac {1}{2cdot 4}}+{frac {1cdot 3}{2cdot 4cdot 6}}-{frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6cdot 8}}+cdots =1+{frac {1}{2}}-{frac {1}{8}}+{frac {1}{16}}-{frac {5}{128}}+{frac {7}{256}}+cdots.}

La convergencia de esta serie se puede acelerar con una transformada de Euler, produciendo

{displaystyle {sqrt {2}}=sum _{k=0}^{infty }{frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^{2}}}={frac {1}{2}}+{frac {3}{8}}+{frac {15}{64}}+{frac {35}{256}}+{frac {315}{4096}}+{frac {693}{16384}}+cdots.}

No se sabe si ${sqrt {2}}$ se puede representar con una fórmula tipo BBP. Las fórmulas tipo BBP son conocidas por $π \sqrt 2$ y $\sqrt 2 ln(1+ \sqrt 2)$ Sin embargo.

El número se puede representar mediante una serie infinita de fracciones egipcias, con denominadores definidos por 2ⁿ ésimos términos de una relación de recurrencia similar a Fibonacci a(n) = 34a(n−1) − a(n−2), a(0) = 0, a(1) = 6.

{displaystyle {sqrt {2}}={frac {3}{2}}-{frac {1}{2}}sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{a(2^{n})}}={frac {3}{2}}-{frac {1}{2}}left({frac {1}{6}}+{frac {1}{204}}+{frac {1}{235416}}+dots right)}

Fracción continua

La raíz cuadrada de dos tiene la siguiente representación de fracción continua:

{displaystyle {sqrt {2}}=1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+ddots }}}}}}.}

Los convergentes $p / q$ formado por truncando esta representación forman una secuencia de fracciones que aproximan la raíz cuadrada de dos a una mayor precisión, y que se describen por los números Pell (es decir, $p 2 - 2 q 2 = \pm1$ ). Los primeros convergentes son: $1 / 1, 3 / 2, 7 / 5, 17 / 12, 41 / 29, 99 / 70, 239 / 169, 577 / 408$ y la convergencia siguiente $p / q$ es $p + 2 q / p + q$ . La convergencia $p / q$ difiere de ${sqrt {2}}$ casi exactamente $1 / 2 \sqrt 2 q 2$ , que sigue de:

{displaystyle left|{sqrt {2}}-{frac {p}{q}}right|={frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}!left({sqrt {2}}+{frac {p}{q}}right)}}={frac {1}{q^{2}!left({sqrt {2}}+{frac {p}{q}}right)}}thickapprox {frac {1}{2{sqrt {2}}q^{2}}}}

Cuadrada anidada

(feminine)

Las siguientes expresiones cuadradas anidadas convergen a ${textstyle {sqrt {2}}}$ :

{displaystyle {begin{aligned}{sqrt {2}}&={tfrac {3}{2}}-2left({tfrac {1}{4}}-left({tfrac {1}{4}}-{bigl (}{tfrac {1}{4}}-cdots {bigr)}^{2}right)^{2}right)^{2}\[10mu]&={tfrac {3}{2}}-4left({tfrac {1}{8}}+left({tfrac {1}{8}}+{bigl (}{tfrac {1}{8}}+cdots {bigr)}^{2}right)^{2}right)^{2}.end{aligned}}}

Aplicaciones

Tamaño del papel

En 1786, el profesor de física alemán Georg Christoph Lichtenberg encontró que cualquier hoja de papel cuyo largo borde es ${sqrt {2}}$ tiempos más largos que su borde corto podrían doblarse en la mitad y alinearse con su lado más corto para producir una hoja con exactamente las mismas proporciones que el original. Esta relación de longitudes más largas sobre el lado más corto garantiza que cortar una hoja en la mitad a lo largo de una línea resulta en las hojas más pequeñas que tienen la misma relación (aproximada) que la hoja original. Cuando Alemania tamaños de papel estandarizados a principios del siglo XX, utilizaron la relación de Lichtenberg para crear la serie "A" de tamaños de papel. Hoy, la relación (aproximada) de los tamaños de papel bajo ISO 216 (A4, A0, etc.) es 1: ${sqrt {2}}$ .

Prueba:
Vamos $S=$ longitud más corta y ${displaystyle L=}$ longitud de los lados de una hoja de papel, con

{displaystyle R={frac {L}{S}}={sqrt {2}}}

según lo requerido por ISO 216.

Vamos ${displaystyle R'={frac {L'}{S'}}}$ ser la relación analógica de la hoja a lavuelta, entonces

{displaystyle R'={frac {S}{L/2}}={frac {2S}{L}}={frac {2}{(L/S)}}={frac {2}{sqrt {2}}}={sqrt {2}}=R}

Ciencias físicas

Hay algunas propiedades interesantes relacionadas con la raíz cuadrada de 2 en las ciencias físicas:

La raíz cuadrada de dos es la relación de frecuencia de un intervalo de tritón en música de temperamento igual a doce toneladas.
La raíz cuadrada de dos formas la relación de las tapas f en las lentes fotográficas, lo que a su vez significa que la relación de áreas entre dos aberturas sucesivas es 2.
La latitud celestial (declinación) del Sol durante los puntos del día de un planeta entre cuartos es igual a la inclinación del eje del planeta dividido por ${sqrt {2}}$ .

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