Radio de Schwarzschild

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Radius of the event horizon of a Schwarzschild black hole

El radio de Schwarzschild o el radio gravitacional es un parámetro físico en la solución de Schwarzschild a las ecuaciones de campo de Einstein que corresponde al radio que define el horizonte de eventos de un agujero negro de Schwarzschild. Es un radio característico asociado con cualquier cantidad de masa. El radio de Schwarzschild recibió su nombre del astrónomo alemán Karl Schwarzschild, quien calculó esta solución exacta para la teoría de la relatividad general en 1916.

El radio de Schwarzschild se da como

{displaystyle r_{text{s}}={frac {2GM}{c^{2}}},}

GMc

Historia

En 1916, Karl Schwarzschild obtuvo la solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein para el campo gravitatorio fuera de un cuerpo no rotativo, esféricamente simétrico con masa $M$ (ver métrica Schwarzschild). La solución contenía términos del formulario ${displaystyle 1-{r_{text{s}}}/r}$ y ${displaystyle {frac {1}{1-{r_{text{s}}}/r}}}$ , que se hace singular en ${displaystyle r=0}$ y ${displaystyle r=r_{text{s}}}$ respectivamente. El ${displaystyle r_{text{s}}}$ ha llegado a ser conocido como Schwarzschild radius. La importancia física de estas singularidades se debatió durante décadas. Fue encontrado que el ${displaystyle r=r_{text{s}}}$ es una singularidad de coordenadas, lo que significa que es un artefacto del sistema particular de coordenadas que se utilizó; mientras que el ${displaystyle r=0}$ es una singularidad espacial y no se puede quitar. El radio Schwarzschild es, sin embargo, una cantidad físicamente relevante, como se indica arriba y abajo.

Esta expresión se había calculado previamente, utilizando la mecánica newtoniana, como el radio de un cuerpo esféricamente simétrico en el que la velocidad de escape era igual a la velocidad de la luz. Había sido identificado en el siglo XVIII por John Michell y Pierre-Simon Laplace.

Parámetros

El radio de Schwarzschild de un objeto es proporcional a su masa. En consecuencia, el Sol tiene un radio de Schwarzschild de aproximadamente 3,0 km (1,9 mi), mientras que el de la Tierra es de solo unos 9 mm (0,35 pulgadas) y el de la Luna es de aproximadamente 0,1 mm (0,0039 pulgadas).

El radio Schwarzschild de Object
Objeto	Masa ${textstyle M}$	Schwarzschild radius ${textstyle {frac {2GM}{c^{2}}}}$	Radio real ${textstyle r}$	Densidad Schwarzschild ${textstyle {frac {3c^{6}}{32pi G^{3}M^{2}}}}$ o ${textstyle {frac {3c^{2}}{8pi Gr^{2}}}}$
Vía Láctea	1.6×10⁴²kg	2.4×10¹⁵m ()0.25 ly)	5×10²⁰m ()52900ly)	0,000029kg/m³
Phoenix A (agujero negro más grande conocido)	1.99×10⁴¹kg	2.95×10¹⁴m (~1975 AU)		0,0018 kg/m³
Tonelada 618	1.3×10⁴¹kg	1.9×10¹⁴m (~1300 U)		0,0045 kg/m³
SMBH en NGC 4889	4.2×10⁴⁰kg	6.2×10¹³m (~410 AU)		0,042 kg/m³
SMBH en Messier 87	1.3×10⁴⁰kg	1.9×10¹³m (~130 AU)		0,44 kg/m³
SMBH en Andromeda Galaxy	3.4×10³⁸kg	5.0×10¹¹m (3.3 UA)		640 kg/m³
Sagittarius A* (SMBH en Vía Láctea)	8.262×10³⁶kg	1.227×10¹⁰m (0,08 UA)		1.0678×10⁶kg/m³
SMBH en NGC 4395	7.1568×10³⁵kg	1.062×10⁹m (1.53 R⊙)		1.4230×10⁸kg/m³
Potente agujero negro intermedio en HCN-0.009-0.044	6.3616×10³⁴kg	9.44×10⁸m (14.8 R🜨)		1.8011×10¹⁰kg/m³
Resultado agujero negro intermedio de la fusión GW190521	2.823×10³²kg	4.189×10⁵m (0.066 R🜨)		9.125×10¹⁴kg/m³
Sol	1.99×10³⁰kg	2.95×10³m	7.0×10⁸m	1.84×10¹⁹kg/m³
Júpiter	1.90×10²⁷kg	2.82 m	7.0×10⁷m	2.02×10²⁵kg/m³
Saturno	5.683×10²⁶kg	8.42×10⁻¹m	6.03×10⁷m	2.27×10²⁶kg/m³
Neptuno	1.024×10²⁶ kg	1.52×10⁻¹ m	2.47×10⁷ m	6.97×10²⁷ kg/m³
Urano	8.681×10²⁵ kg	1.29×10⁻¹ m	2.56×10⁷ m	9.68×10²⁷ kg/m³
Tierra	5.97×10²⁴ kg	8.87×10⁻³ m	6.37×10⁶ m	2.04×10³⁰ kg/m³
Venus	4.867×10²⁴ kg	7.21×10⁻³ m	6.05×10⁶ m	3.10×10³⁰ kg/m³
Marte	6.39×10²³ kg	9.47×10⁻⁴ m	3.39×10⁶ m	1.80×10³² kg/m³
Mercurio	3.285×10²³ kg	4.87×10⁻⁴ m	2.44×10⁶ m	6.79×10³² kg/m³
Luna	7.35×10²² kg	1.09×10⁻⁴ m	1.74×10⁶ m	1.35×10³⁴ kg/m³
Human	70 kg	1.04×10^{,25 -} m	~5×10⁻¹ m	1.49×10⁷⁶ kg/m³
Masa de plantación	2.18×10⁻⁸ kg	3.23×10⁻³⁵ m (2 lP)		1.54×10⁹⁵ kg/m³

Derivación

Clasificación de agujeros negros por radio de Schwarzschild

Clasificación de agujeros negros
Clase	Aprox. masa	Aprox. radio
Agujero negro supermasivo	10⁵–10¹⁰ MSun	0,001–400 UA
Agujero negro de masa intermedia	10³ M_Sol	10³ km ♥ REarth
Agujero negro estelar	10 M_Sol	30 km
Micro agujero negro	hasta M_Luna	hasta 0,1 mm

Cualquier objeto cuyo radio sea menor que su radio de Schwarzschild se denomina agujero negro. La superficie en el radio de Schwarzschild actúa como un horizonte de sucesos en un cuerpo que no gira (un agujero negro giratorio funciona de manera ligeramente diferente). Ni la luz ni las partículas pueden escapar a través de esta superficie desde la región interior, de ahí el nombre de "agujero negro".

Los agujeros negros se pueden clasificar según su radio de Schwarzschild o, de manera equivalente, por su densidad, donde la densidad se define como la masa de un agujero negro dividida por el volumen de su esfera de Schwarzschild. Como el radio de Schwarzschild está relacionado linealmente con la masa, mientras que el volumen encerrado corresponde a la tercera potencia del radio, los agujeros negros pequeños son mucho más densos que los grandes. El volumen encerrado en el horizonte de sucesos de los agujeros negros más masivos tiene una densidad media inferior a la de las estrellas de secuencia principal.

Agujero negro supermasivo

Un agujero negro supermasivo (SMBH) es el tipo de agujero negro más grande, aunque existen pocos criterios oficiales sobre cómo se considera tal objeto, del orden de cientos de miles a miles de millones de masas solares. (Se han detectado agujeros negros supermasivos de hasta 21 mil millones (2,1 × 10¹⁰) M_☉, como NGC 4889). A diferencia de la masa estelar Los agujeros negros, los agujeros negros supermasivos tienen densidades promedio comparativamente bajas. (Tenga en cuenta que un agujero negro (que no gira) es una región esférica en el espacio que rodea la singularidad en su centro; no es la singularidad en sí misma). Con eso en mente, la densidad promedio de un agujero negro supermasivo puede ser menor que la densidad del agua.

El radio de Schwarzschild de un cuerpo es proporcional a su masa y por lo tanto a su volumen, asumiendo que el cuerpo tiene una densidad de masa constante. Por el contrario, el radio físico del cuerpo es proporcional a la raíz cúbica de su volumen. Por lo tanto, a medida que el cuerpo acumula materia a una determinada densidad fija (en este ejemplo, 997 kg/m3, la densidad del agua), su radio de Schwarzschild aumentará más rápidamente que su radio físico. Cuando un cuerpo de esta densidad haya crecido hasta alrededor de 136 millones de masas solares (1,36 × 10⁸ M_☉), su radio físico sería superado por su radio de Schwarzschild, y por lo tanto formaría un agujero negro supermasivo.

Se cree que los agujeros negros supermasivos como estos no se forman inmediatamente a partir del colapso singular de un cúmulo de estrellas. En cambio, pueden comenzar su vida como agujeros negros más pequeños, de tamaño estelar, y crecer por la acumulación de materia, o incluso de otros agujeros negros.

El radio de Schwarzschild del agujero negro supermasivo en el Centro Galáctico de la Vía Láctea es de aproximadamente 12 millones de kilómetros. Su masa es de unos 4,1 millones M_☉.

Agujero negro estelar

Los agujeros negros estelares tienen densidades medias mucho mayores que los agujeros negros supermasivos. Si uno acumula materia a densidad nuclear (la densidad del núcleo de un átomo, alrededor de 10¹⁸ kg/m3; las estrellas de neutrones también alcanzan esta densidad), tal acumulación caería dentro de su propio radio de Schwarzschild en unos 3 M_☉ y por lo tanto sería un agujero negro estelar.

Microagujero negro

Una masa pequeña tiene un radio de Schwarzschild extremadamente pequeño. Una masa similar al Monte Everest tiene un radio de Schwarzschild mucho más pequeño que un nanómetro. Su densidad promedio a ese tamaño sería tan alta que ningún mecanismo conocido podría formar objetos tan extremadamente compactos. Estos agujeros negros posiblemente se formaron en una etapa temprana de la evolución del universo, justo después del Big Bang, cuando las densidades eran extremadamente altas. Por lo tanto, estos hipotéticos agujeros negros en miniatura se denominan agujeros negros primordiales.

Otros usos

En la dilatación del tiempo gravitacional

La dilatación del tiempo gravitacional cerca de un gran cuerpo casi esférico que gira lentamente, como la Tierra o el Sol, se puede aproximar razonablemente de la siguiente manera:

{displaystyle {frac {t_{r}}{t}}={sqrt {1-{frac {r_{mathrm {s} }}{r}}}}}

t_r es el tiempo transcurrido para un observador en coordenadas radiales r dentro del campo gravitacional;
t es el tiempo transcurrido para un observador distante del objeto masivo (y por lo tanto fuera del campo gravitatorio);
r es la coordinación radial del observador (que es análoga a la distancia clásica del centro del objeto);
$r s$ es el radio Schwarzschild.

Intersección de longitud de onda de Compton

El radio Schwarzschild ${displaystyle 2GM/c^{2}}$ ) y la longitud de onda Compton ( ${displaystyle 2pi hbar /Mc}$ ) correspondiente a una masa dada son similares cuando la masa está alrededor de uno Masa de plantación ( ${textstyle M={sqrt {hbar c/G}}}$ ), cuando ambos son del mismo orden que la longitud Planck ( ${textstyle {sqrt {hbar G/c^{3}}}}$ ).

Calcular el volumen y el radio máximos posibles dada una densidad antes de que se forme un agujero negro

La ecuación del radio de Schwarzschild se puede manipular para generar una expresión que brinde el mayor radio posible a partir de una densidad de entrada que no forma un agujero negro. Tomando la densidad de entrada como $ρ$ ,

{displaystyle r_{text{s}}={sqrt {frac {3c^{2}}{8pi Grho }}}.}

Por ejemplo, la densidad del agua es 1000 kg/m³. Esto significa que la mayor cantidad de agua que puede tener sin formar un agujero negro tendría un radio de 400 920 754 km (alrededor de 2,67 AU).

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