Radio de Bohr

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Unidad de longitud en el sistema de unidades atómicas de Hartree

El radio de Bohr (a₀) es una constante física, aproximadamente igual a la distancia más probable entre el núcleo y el electrón en un átomo de hidrógeno en su estado fundamental. Lleva el nombre de Niels Bohr, debido a su papel en el modelo de Bohr de un átomo. Su valor es 5.29177210903(80)×10⁻¹¹ m.

Definición y valor

El radio de Bohr se define como

{displaystyle a_{0}={frac {4pi varepsilon _{0}hbar ^{2}}{e^{2}m_{text{e}}}}={frac {varepsilon _{0}h^{2}}{pi e^{2}m_{text{e}}}}={frac {hbar }{m_{text{e}}calpha }},}

dónde

$varepsilon _{0}$ es la autorización del espacio libre,
$hbar$ es la reducción Planck constante,
${displaystyle m_{text{e}}}$ es la masa de un electrón,
$e$ es la carga primaria,
$c$ es la velocidad de la luz en el vacío, y
$alpha$ es la constante de buena estructura.

El valor CODATA del radio de Bohr (en unidades SI) es 5,29177210903(80)×10⁻¹¹ m.

Historia

En el modelo de estructura atómica de Bohr, presentado por Niels Bohr en 1913, los electrones orbitan alrededor de un núcleo central bajo atracción electrostática. La derivación original postuló que los electrones tienen un momento angular orbital en múltiplos enteros de la constante de Planck reducida, lo que coincidió con éxito con la observación de niveles de energía discretos en los espectros de emisión, junto con la predicción de un radio fijo para cada uno de estos niveles. En el átomo más simple, el hidrógeno, un solo electrón gira alrededor del núcleo, y su órbita más pequeña posible, con la energía más baja, tiene un radio orbital casi igual al radio de Bohr. (No es exactamente el radio de Bohr debido al efecto de masa reducido. Difieren en aproximadamente un 0,05 %).

El modelo de Bohr del átomo fue reemplazado por una nube de probabilidad de electrones que obedecía a la ecuación de Schrödinger publicada en 1926. Esto se complica aún más por los efectos de espín y vacío cuántico para producir una estructura fina y una estructura hiperfina. Sin embargo, la fórmula del radio de Bohr sigue siendo central en los cálculos de la física atómica, debido a su simple relación con las constantes fundamentales (es por eso que se define usando la masa verdadera del electrón en lugar de la masa reducida, como se mencionó anteriormente). Como tal, se convirtió en la unidad de longitud en unidades atómicas.

En la teoría mecánica cuántica del átomo de hidrógeno de Schrödinger, el radio de Bohr es el valor de la coordenada radial para el cual la densidad de probabilidad radial de la posición del electrón es más alta. El valor esperado de la distancia radial del electrón, por el contrario, es 3 /2a₀.

Constantes relacionadas

El radio Bohr es uno de un trío de unidades de longitud relacionadas, los otros dos son la longitud de onda Compton reducida del electrón ( ${displaystyle lambda _{mathrm {e} }/2pi }$ ) y el radio de electrones clásicos ( ${displaystyle r_{mathrm {e} }}$ ). Cualquiera de estas constantes se puede escribir en términos de cualquiera de los otros usando la constante de la estructura fina $alpha$ :

{displaystyle r_{mathrm {e} }=alpha {frac {lambda _{mathrm {e} }}{2pi }}=alpha ^{2}a_{0}.}

Átomo de hidrógeno y sistemas similares

El radio de Bohr, incluido el efecto de masa reducida en el átomo de hidrógeno, viene dado por

{displaystyle a_{0}^{*} ={frac {m_{text{e}}}{mu }}a_{0},}

Donde ${textstyle mu =m_{text{e}}m_{text{p}}/(m_{text{e}}+m_{text{p}})}$ es la masa reducida del sistema electron-protón (con $m_text{p}$ ser la masa de protón). El uso de masa reducida es una generalización del problema clásico de dos cuerpos cuando estamos fuera de la aproximación de que la masa del cuerpo orbitante es insignificante en comparación con la masa del cuerpo que se está orbitando. Dado que la masa reducida del sistema electron-protón es un poco más pequeña que la masa de electrones, el radio Bohr "reducido" es ligeramente más grande que el radio Bohr ${displaystyle a_{0}^{*}approx 1.00054,a_{0}approx 5.2946541times 10^{-11}}$ metros).

Este resultado se puede generalizar a otros sistemas, como el positronio (un electrón orbitando un positrón) y el muonio (un electrón orbitando un antimuón) utilizando la masa reducida del sistema y considerando el posible cambio a cargo. Típicamente, las relaciones modelo Bohr (radius, energía, etc.) se pueden modificar fácilmente para estos sistemas exóticos (hasta el orden más bajo) simplemente reemplazando la masa de electrones con la masa reducida para el sistema (así como ajustar la carga cuando sea apropiado). Por ejemplo, el radio de positronio es aproximadamente ${displaystyle 2,a_{0}}$ , ya que la masa reducida del sistema de positronio es la mitad de la masa de electrones ( ${displaystyle mu _{{text{e}}^{-},{text{e}}^{+}}=m_{text{e}}/2}$ ).

Un átomo similar al hidrógeno tendrá un radio Bohr que escala principalmente como ${displaystyle r_{Z}=a_{0}/Z}$ , con $Z$ el número de protones en el núcleo. Mientras tanto, la masa reducida ( $mu$ ) sólo se vuelve mejor aproximado por $m_{text{e}}$ en el límite del aumento de la masa nuclear. Estos resultados se resumen en la ecuación

{displaystyle r_{Z,mu } ={frac {m_{text{e}}}{mu }}{frac {a_{0}}{Z}}.}

A continuación se proporciona una tabla de relaciones aproximadas.

Sistema	Radius
Hidrogen	${displaystyle 1.00054,a_{0}}$
Positronium	${displaystyle 2a_{0}}$
Muonium	${displaystyle 1.0048,a_{0}}$
He+	$a_0/2$
Li2+	${displaystyle a_{0}/3}$

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