Radical de un ideal

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Concepto en álgebra

En la teoría del anillo, una rama de las matemáticas, la radical de un ideal $I$ de un anillo conmutativo es otro ideal definido por la propiedad que un elemento $x$ está en el radical si y sólo si algún poder $x$ está dentro $I$ . Tomar el radical de un ideal se llama radicalización. A ideal (o semiprime ideal) es un ideal que es igual a su radical. El radical de un ideal primario es un ideal primordial.

Este concepto se generaliza a los anillos no conmutativos en el artículo de anillos semiprimos.

Definición

El radical de un ideal $I$ en un anillo conmutativo $R$ , denotado por ${displaystyle operatorname {rad} (I)}$ o ${sqrt {I}}$ , se define como

{displaystyle {sqrt {I}}=left{rin Rmid r^{n}in I {hbox{for some}} nin mathbb {Z} ^{+}!right},}

(nota que ${displaystyle Isubset {sqrt {I}}}$ ). Intuitivamente, ${sqrt {I}}$ se obtiene tomando todas las raíces de elementos $I$ dentro del anillo $R$ . Equivalentemente, ${sqrt {I}}$ es el preimage del ideal de elementos nilpotent (el nilradical) del anillo cociente $R/I$ (a través del mapa natural ${displaystyle pi colon Rto R/I}$ ). Este último demuestra que ${sqrt {I}}$ es un ideal.

Si el radical $I$ se genera finitamente, entonces algún poder de ${sqrt {I}}$ figura en $I$ . En particular, si $I$ y $J$ son ideales de un anillo noetheriano, entonces $I$ y $J$ tienen el mismo radical si y sólo si $I$ contiene algo de poder $J$ y $J$ contiene algo de poder $I$ .

Si es un ideal $I$ coincide con su propio radical, entonces $I$ se llama ideal o semiprime ideal.

Ejemplos

Considere el anillo Z{displaystyle mathbb {Z} $mathbb {Z}$ de enteros.
1. El radical del ideal ${displaystyle 4mathbb {Z} }$ de múltiples enteros de $4$ es ${displaystyle 2mathbb {Z} }$ .
2. El radical ${displaystyle 5mathbb {Z} }$ es ${displaystyle 5mathbb {Z} }$ .
3. El radical ${displaystyle 12mathbb {Z} }$ es ${displaystyle 6mathbb {Z} }$ .
4. En general, el radical ${displaystyle mmathbb {Z} }$ es ${displaystyle rmathbb {Z} }$ , donde $r$ es el producto de todos los factores principales distintos $m$ , el mayor factor libre de cuadrados $m$ (ver Radical de un entero). De hecho, esto se generaliza a un ideal arbitrario (ver la sección Propiedades).
Considere el ideal ${displaystyle I=left(y^{4}right)subset mathbb {C} [x,y]}$ . Es trivial mostrar ${displaystyle {sqrt {I}}=(y)}$ (utilizando la propiedad básica ${sqrt {I^{n}}}={sqrt {I}}$ ), pero damos algunos métodos alternativos: El radical ${sqrt {I}}$ corresponde a la nilradical ${displaystyle {sqrt {0}}}$ del anillo cociente ${displaystyle R=mathbb {C} [x,y]/!left(y^{4}right)}$ , que es la intersección de todos los ideales principales del anillo cociente. Esto está contenido en el radical Jacobson, que es la intersección de todos los ideales máximos, que son los núcleos de homomorfismos a los campos. Cualquier homomorfismo de anillo ${displaystyle Rto mathbb {C} }$ Debe haber $y$ en el núcleo para tener un homomorfismo bien definido (si dijimos, por ejemplo, que el núcleo debe ser ${displaystyle (x,y-1)}$ la composición ${displaystyle mathbb {C} [x,y]to Rto mathbb {C} }$ lo haría ${displaystyle left(x,y^{4},y-1right)}$ que es lo mismo que tratar de forzar $1=0$ ). Desde $mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, cada homomorfismo ${displaystyle Rto mathbb {F} }$ debe tenerse en cuenta $mathbb{C}$ , así que sólo tenemos que calcular la intersección ${displaystyle {ker(Phi):Phi in operatorname {Hom} (R,mathbb {C})}}$ para computar el radical ${displaystyle (0).}$ Entonces encontramos que ${displaystyle {sqrt {0}}=(y)subset R.}$

Propiedades

Esta sección continuará la convención de que I es un ideal de un anillo conmutativo $R$ :

Siempre es cierto que ${textstyle {sqrt {sqrt {I}}}={sqrt {I}}}$ La radicalización es una operación idempotente. Además, ${sqrt {I}}$ es el ideal radical más pequeño que contiene $I$ .
${sqrt {I}}$ es la intersección de todos los ideales principales de $R$ que contienen $I$ ${displaystyle {sqrt {I}}=bigcap _{stackrel {{mathfrak {p}}{text{ prime}}}{Rsupsetneq {mathfrak {p}}supseteq I}}{mathfrak {p}},}$ y así el radical de un ideal primario es igual a sí mismo. Prueba: Por un lado, cada ideal primario es radical, y por lo tanto esta intersección contiene ${sqrt {I}}$ . Suppose $r$ es un elemento $R$ que no está ${sqrt {I}}$ , y dejar $S$ ser el conjunto ${displaystyle left{r^{n}mid n=0,1,2,ldots right}}$ . Por definición ${sqrt {I}}$ , $S$ debe ser descompuesto $I$ . $S$ también se cierra multiplicativamente. Así, por una variante del teorema de Krull, existe un ideal primo ${mathfrak {p}}$ que contiene $I$ y todavía está descompuesto $S$ (ver Prime ideal). Desde ${mathfrak {p}}$ contiene $I$ , pero no $r$ , esto muestra que $r$ no está en la intersección de ideales primos que contienen $I$ . Esto termina la prueba. La declaración puede fortalecerse un poco: el radical $I$ es la intersección de todos los ideales primos de $R$ que son mínimos entre los que contienen $I$ .
Especializando el último punto, el nilradical (el conjunto de todos los elementos nilpotent) es igual a la intersección de todos los ideales principales de $R$ ${displaystyle {sqrt {0}}={mathfrak {N}}_{R}=bigcap _{{mathfrak {p}}subsetneq R{text{ prime}}}{mathfrak {p}}.}$ Esta propiedad se ve equivalente a la primera vía el mapa natural ${displaystyle pi colon Rto R/I}$ que produce una bijeción $u$ : ${displaystyle leftlbrace {text{ideals }}Jmid Rsupseteq Jsupseteq Irightrbrace quad {overset {u}{rightleftharpoons }}quad leftlbrace {text{ideals }}Jmid Jsubseteq R/Irightrbrace}$ definidas por ${displaystyle ucolon Jmapsto J/I=lbrace r+Imid rin Jrbrace.}$
Un ideal $I$ en un anillo $R$ es radical si y sólo si el anillo cociente $R/I$ se reduce.
El radical de un ideal homogéneo es homogéneo.
El radical de una intersección de ideales es igual a la intersección de sus radicales: ${displaystyle {sqrt {Icap J}}={sqrt {I}}cap {sqrt {J}}}$ .
El radical de un ideal primario es primordial. Si el radical de un ideal $I$ es maximal, entonces $I$ es primaria.
Si $I$ es un ideal, ${sqrt {I^{n}}}={sqrt {I}}$ . Puesto que los ideales primos son ideales radicales, ${displaystyle {sqrt {{mathfrak {p}}^{n}}}={mathfrak {p}}}$ para cualquier ideal primo ${mathfrak {p}}$ .
Vamos $I,J$ ser ideales de un anillo $R$ . Si ${sqrt {I}},{sqrt {J}}$ son comaximal, entonces $I,J$ Están en coma.
Vamos $M$ ser un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano $R$ . Entonces... ${displaystyle {sqrt {operatorname {ann} _{R}(M)}}=bigcap _{{mathfrak {p}},in ,operatorname {supp} M}{mathfrak {p}}=bigcap _{{mathfrak {p}},in ,operatorname {ass} M}{mathfrak {p}}}$ Donde $operatorname {supp}M$ es el apoyo de $M$ y $operatorname {ass}M$ es el conjunto de primos asociados de $M$ .

Aplicaciones

La principal motivación para estudiar radicales es el Nullstellensatz de Hilbert en álgebra comunicativa. Una versión de este teorema celebrado declara que para cualquier ideal $J$ en el anillo polinomio ${displaystyle mathbb {k} [x_{1},x_{2},ldotsx_{n}]}$ sobre un campo algebraicamente cerrado ${displaystyle mathbb {k} }$ , uno tiene

{displaystyle operatorname {I} (operatorname {V} (J))={sqrt {J}}}

dónde

{displaystyle operatorname {V} (J)=left{xin mathbb {k} ^{n}mid f(x)=0{mbox{ for all }}fin Jright}}

{displaystyle operatorname {I} (V)={fin mathbb {k} [x_{1},x_{2},ldots x_{n}]mid f(x)=0{mbox{ for all }}xin V}.}

Geométricamente, esto dice que si una variedad $V$ es cortado por las ecuaciones polinómicas ${displaystyle f_{1}=0,ldotsf_{r}=0}$ , entonces los únicos polinomios que desaparecen $V$ son los radicales del ideal ${displaystyle (f_{1},ldotsf_{r})}$ .

Otra manera de ponerlo: la composición ${displaystyle operatorname {I} (operatorname {V} (-))={sqrt {-}}}$ es un operador de cierre en el conjunto de ideales de un anillo.

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