Radical de jacobson

En matemáticas, más específicamente la teoría del anillo, Jacobson radical de un anillo ${displaystyle R.$ es el ideal que consiste de esos elementos en ${displaystyle R.$ que aniquila todo simple derecho ${displaystyle R.$-módulos. Sucede que la sustitución "izquierda" en lugar de "derecho" en la definición produce el mismo ideal, y por lo tanto la noción es simétrica izquierda-derecha. El radical Jacobson de un anillo es a menudo denotado por ${displaystyle J(R)}$ o ${displaystyle operatorname {rad} (R)}$; la antigua notación será preferida en este artículo, porque evita la confusión con otros radicales de un anillo. El radical Jacobson es nombrado por Nathan Jacobson, quien fue el primero en estudiarlo por anillos arbitrarios en (Jacobson 1945).

El radical de Jacobson de un anillo tiene numerosas caracterizaciones internas, incluidas algunas definiciones que extienden con éxito la noción a anillos sin unidad. El radical de un módulo amplía la definición del radical de Jacobson para incluir módulos. El radical de Jacobson juega un papel destacado en muchos resultados teóricos de anillos y módulos, como el lema de Nakayama.

Definiciones

Existen múltiples definiciones y caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson, pero es útil considerar las definiciones en función de si el anillo es conmutativo o no.

Caso conmutativo

En el caso comunicativo, el Jacobson radical de un anillo comunicativo ${displaystyle R.$ se define como la intersección de todos los ideales máximos ${displaystyle {m}$. Si denotamos ${displaystyle operatorname {Specm} R}$ como el conjunto de todos los ideales maximales en ${displaystyle R.$ entonces

${displaystyle J(R)=bigcap _{Mathfrak {m},in ,operatorname {Specm} R}{mathfrak {m}}$

Esta definición se puede utilizar para cálculos explícitos en varios casos simples, como para anillos locales ${displaystyle (R,{mathfrak {p})}$, que tienen un ideal maximal único, anillos Artin, y sus productos. Vea la sección de ejemplos para computaciones explícitas.

Caso no conmutativo/general

Para un anillo general con unidad ${displaystyle R.$, el radical Jacobson ${displaystyle J(R)}$ se define como el ideal de todos los elementos ${displaystyle rin R}$ tales que ${displaystyle rM=0}$ siempre ${displaystyle M}$ es un simple ${displaystyle R.$- Bien. Eso es,

$${displaystyle J(R)={rin Rmid rM=0{ Where }M{text{ is simple}}$$

${displaystyle R.$

${displaystyle R/{mathfrak {m}}$

${displaystyle {Mathfrak {m}in operatorname {Specm} R}$

${displaystyle R/{mathfrak {m}}$

${displaystyle R.$

${displaystyle {m}$

${displaystyle {text{Ann}_{R}(R/{mathfrak {m})={mathfrak {m}}$

Motivación

La comprensión del radical de Jacobson radica en algunos casos diferentes: a saber, sus aplicaciones y las interpretaciones geométricas resultantes, y sus interpretaciones algebraicas.

Aplicaciones geométricas

Aunque Jacobson introdujo originalmente su radical como una técnica para construir una teoría de radicales para anillos arbitrarios, una de las razones motivadoras de por qué el radical Jacobson es considerado en el caso comunicativo es debido a la lema de Nakayama. Es una herramienta técnica para estudiar módulos finitos generados sobre anillos conmutativos que tiene una fácil interpretación geométrica: Si tenemos un paquete de vectores ${displaystyle Eto X}$ sobre un espacio topológico ${displaystyle X}$, y elegir un punto ${displaystyle pin X}$, entonces cualquier base de ${displaystyle ¿Qué?$ puede ampliarse a una base de secciones ${displaystyle ¿Qué?$ para algún vecindario ${displaystyle pin Usubset X}$.

Otra aplicación es en el caso de anillos conmutativos generados finitamente, lo que significa ${displaystyle R.$ es de la forma

$${displaystyle R={frac {k[x_{1},ldotsx_{n} {}}}} {}}}}$$

${displaystyle k}$

${displaystyle Yo...$

${displaystyle R.$

Caracterizaciones equivalentes

El radical de Jacobson de un anillo tiene varias caracterizaciones internas y externas. Las siguientes equivalencias aparecen en muchos textos de álgebra no conmutativa como (Anderson 1992, §15) harv error: no target: CITEREFAnderson1992 (ayuda), (Isaacs 1994, §13B) error de harv: sin destino: CITEREFIsaacs1994 (ayuda) , y (Lam 2001, Capítulo 2).

Las siguientes son caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson en anillos con unidad (las caracterizaciones para anillos sin unidad se dan inmediatamente después):

• ${displaystyle J(R)}$ iguala la intersección de todos los ideales máximos correctos del anillo. La equivalencia viene del hecho de que para todos los ideales máximos correctos M, R/M es un derecho simple R-modulo, y que de hecho todo derecho simple R-modules son isomorfos a uno de este tipo a través del mapa desde R a S dado por r↦xr para cualquier generador x de S. También es cierto que ${displaystyle J(R)}$ iguala la intersección de todos los ideales izquierdos maximal dentro del anillo. Estas caracterizaciones son internas al anillo, ya que sólo se necesita encontrar los ideales máximos adecuados del anillo. Por ejemplo, si un anillo es local, y tiene un maximal único ideal, entonces este único ideal derecho maximal es exactamente ${displaystyle J(R)}$. Los ideales máximos son en un sentido más fácil de buscar que los aniquiladores de los módulos. Esta caracterización es deficiente, sin embargo, porque no resulta útil al trabajar computacionalmente con ${displaystyle J(R)}$. La simetría izquierda-derecha de estas dos definiciones es notable y tiene varias consecuencias interesantes. Esta simetría contrasta con la falta de simetría en los socles R, porque puede suceder que soc(R_R) no es igual a soc(_RR). Si R es un anillo no conmutativo, ${displaystyle J(R)}$ no es necesariamente igual a la intersección de todo maximal dos caras ideales de R. Por ejemplo, si V es una suma directa contable de copias de un campo k y R= Fin(V) (el anillo de endomorfismos de V como k-módulo), entonces ${displaystyle J(R)=0}$ porque ${displaystyle R.$ es conocido como Von Neumann regular, pero hay exactamente un ideal de doble cara maximal en R consistente en en endomorfismos con imagen finita-dimensional. (Lam 2001, p. 46, Ex. 3.15)
• ${displaystyle J(R)}$ iguala la suma de todos los ideales derecho superfluos (o simétricamente, la suma de todos los ideales izquierdos superfluos) de R. Comparando esto con la definición anterior, la suma de ideales de derechos superfluos equivale a la intersección de ideales de máxima derecha. Este fenómeno se refleja de manera dual para el ciclo adecuado R; soc(R_R) es tanto la suma de ideales mínimos correctos y la intersección de ideales adecuados esenciales. De hecho, estas dos relaciones mantienen para los radicales y los ciclos de módulos en general.
• Como se define en la introducción, ${displaystyle J(R)}$ iguala la intersección de todos los aniquiladores de derecho simple R-módulos, sin embargo, también es cierto que es la intersección de aniquiladores de simples módulos izquierdos. Un ideal que es el aniquilador de un módulo simple se conoce como un ideal primitivo, y por lo tanto una reformulación de este estado que el radical Jacobson es la intersección de todos los ideales primitivos. Esta caracterización es útil al estudiar módulos sobre anillos. Por ejemplo, si U es un derecho R- Mobiliario y V es un submodulo maximal U, U· J(R) está contenida en V, donde U· J(R) denota todos los productos de elementos de J(R) (los "scalars") con elementos en UA la derecha. Esto se debe al hecho de que el módulo de cociente U/V es simple y por lo tanto aniquilado por J(R).
• J(R) es el ideal derecho único de R maximal con la propiedad que cada elemento es quasiregular derecho (o equivalentemente cuadrasiregular izquierdo). Esta caracterización del radical Jacobson es útil tanto computacional como para ayudar a la intuición. Además, esta caracterización es útil para estudiar módulos sobre un anillo. La lema de Nakayama es quizás la instancia más conocida de esto. Aunque cada elemento del J(R) es necesariamente cuasiregular, no cada elemento cuasiregular es necesariamente un miembro de J(R).
• Aunque no todos los elementos cuasiregulares están en ${displaystyle J(R)}$, se puede demostrar que Sí. está dentro ${displaystyle J(R)}$ si xy se deja cuasiregular para todos x dentro R(Lam 2001, pág. 50)
• ${displaystyle J(R)}$ es el conjunto de elementos x dentro R tal que cada elemento de 1 + RxR es una unidad: ${displaystyle operatorname {J} (R)={xin Rmid 1+RxRsubset R^{times }$. De hecho, ${displaystyle yin R}$ está en el radical Jacobson si y sólo si 1 +xy es invertible para cualquier ${displaystyle xin R}$, si y sólo si 1 +Yx es invertible para cualquier ${displaystyle xin R}$. Esto significa xy y Yx comportarse de forma similar a un elemento nilpotente z con z^{n+ 1} = 0 y ${displaystyle (1+z)^{-1}=1-z+z^{2}-cdots pm z^{n}$.

Para anillos sin unidad es posible R = J(R); sin embargo, la ecuación J(R/J(R)) = {0} sigue siendo válida. Las siguientes son caracterizaciones equivalentes de J(R) para anillos sin unidad (Lam 2001, p. 63):

• La noción de cuasiregularidad izquierda se puede generalizar de la siguiente manera. Llamar a un elemento a dentro R izquierda quasiregular generalizado si existe c dentro R tales que c+a−ca= 0. Entonces J(R) consiste en cada elemento a para la cual ra queda cuasiregular generalizado para todos r dentro R. Se puede comprobar que esta definición coincide con la definición cuasiregular anterior para anillos con unidad.
• Para un anillo sin unidad, la definición de un módulo simple izquierdo M se modifica añadiendo la condición de que R•MCon este entendimiento, J(R) se puede definir como la intersección de todos los aniquiladores de izquierda simple R módulos, o simplemente R si no hay una izquierda simple R módulos. Anillos sin unidad sin módulos simples existen, en cuyo caso RJ(R), y el anillo se llama un Anillo radical. Al utilizar la caracterización cuasiregular generalizada del radical, está claro que si se encuentra un anillo con J(R) nonzero, entonces J(R) es un anillo radical cuando se considera un anillo sin unidad.

Ejemplos

Ejemplos conmutativos

• Para el anillo de los enteros ${displaystyle mathbb {Z}$ su radical Jacobson es el cero ideal, así que ${displaystyle J(mathbb {Z})=(0)}$, porque es dada por la intersección de cada ideal generado por un número primo ${displaystyle (p)}$. Desde ${displaystyle (p_{1})cap (p_{2}=(p_{1}cdot p_{2}}$, y estamos tomando una intersección infinita sin elementos comunes además ${displaystyle 0}$ entre todos los ideales máximos, tenemos la computación.
• Para un anillo local ${displaystyle (R,{mathfrak {p})}$ el radical Jacobson es simplemente ${displaystyle J(R)={mathfrak {p}$. Este es un caso importante debido a su uso en la aplicación de la lema de Nakayama. En particular, implica si tenemos un paquete de vectores algebraicos ${displaystyle Eto X}$ sobre un esquema o variedad algebraica ${displaystyle X}$, y arreglamos una base de ${displaystyle ¿Qué?$ para algún punto ${displaystyle pin X}$, entonces esta base se eleva a un conjunto de generadores para todas las secciones ${displaystyle ¿Qué?$ para algún vecindario ${displaystyle U}$ de ${displaystyle p}$.
• Si ${displaystyle k}$ es un campo y ${displaystyle R=k[X_{1},dotsX_{n}]}$ es un anillo de la serie de poder formal, entonces ${displaystyle J(R)}$ consiste en esas series de energía cuyo término constante es cero, es decir, la serie de energía en el ideal ${displaystyle (X_{1},ldotsX_{n}}$.
• En el caso de un anillo Artin, como ${displaystyle mathbb {C} [t_{1},t_{2}/(t_{1}{4},t_{1}^{2}t_{2} {2} {2},t_{2}} {9}}$, el radical Jacobson es ${displaystyle (t_{1},t_{2}}$.
• El ejemplo anterior podría extenderse al anillo ${displaystyle R=Mathbb {C} [t_{2},t_{3},ldots ]/(t_{2}{2},t_{3} {3}} {3},ldots)}$, dar ${displaystyle J(R)=(t_{2},t_{3},ldots)}$.
• El radical Jacobson del anillo Z/12Z 6Z/12Z, que es la intersección de los ideales máximos 2Z/12Z y 3Z/12Z.
• Considere el anillo ${displaystyle mathbb {C} [t]otimes _{mathbb Mathbb {C} [x_{1},x_{2}_{x_{1}{2}+x_{2}} {2}-1}$ donde el segundo es la localización de ${displaystyle mathbb {C} [x_{1},x_{2}}$ por el ideal principal ${displaystyle {mathfrak {}=(x_{1}{2}+x_{2}^{2}-1)}$. Entonces, el radical Jacobson es trivial porque los ideales máximos son generados por un elemento de la forma ${displaystyle (t-z)otimes (x_{1}{2}+x_{2}^{2}-1)}$ para ${displaystyle zin mathbb {C}$.

Ejemplos no conmutativos

• Anillos para los cuales J(R) es {0} se llaman anillos semiprimitivos, o a veces "Jacobson semisimple rings". El radical Jacobson de cualquier campo, cualquier anillo regular de von Neumann y cualquier anillo primitivo izquierdo o derecho es {0}. El radical Jacobson de los enteros es {0}.
• Si K es un campo y R es el anillo de todo triangular superior n-por-n matrices con entradas K, entonces J(R) consiste en todas las matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal principal.
• Comience con un quiver finito, acíclico y un campo K y considerar el álgebra del quiver K(como se describe en el artículo Quiver). El radical de Jacobson de este anillo es generado por todos los caminos en Dimensiones de longitud ≥ 1.
• El radical Jacobson de un álgebra C* es {0}. Esto sigue del teorema Gelfand–Naimark y el hecho de que para un álgebra C*, una representación topológicamente irreducible * en un espacio Hilbert es algebraicamente irreducible, por lo que su núcleo es un ideal primitivo en el sentido puramente algebraico (ver Spectrum de un álgebra C*).

Propiedades

• Si R es unitario y no es el anillo trivial {0}, el radical Jacobson es siempre distinto R ya que los anillos con unidad siempre tienen ideales óptimos. Sin embargo, algunos teoremas y conjeturas importantes en la teoría del anillo consideran el caso cuando J(R) R - "Si R es un anillo de nil (es decir, cada uno de sus elementos es nilpotent), es el anillo polinomio R[xEs igual a su radical Jacobson?" es equivalente a la conjetura abierta de Köthe. (Smoktunowicz 2006, p. 260, §5)
• Para cualquier ideal I contenidos en J(R),

J(R/I.R)I.

• En particular, el radical Jacobson del anillo R/J(R) es cero. Anillos con cero radical Jacobson se llaman anillos semiprimitivos.
• Un anillo es semisimple si y sólo si es Artiniano y su radical Jacobson es cero.
• Si f: R → S es un homomorfismo anillo subjetivo, entonces f(J)R)S).
• Si R es un anillo con unidad y M es una izquierda generada finitamente R- Mobiliario con J(R)M = M, entonces M = 0 (Lema de Nakayama).
• J(R) contiene todos los elementos centrales nilpotent, pero no contiene elementos idempotentes excepto para 0.
• J(R) contiene cada nil ideal de R. Si R es izquierda o derecha Artinian, entonces J(R) es un ideal nilpotente.
  Esto se puede hacer más fuerte: Si
  $${displaystyle left{0right}=T_{0}subseteq T_{1}subseteq dotsb subseteq T_{k}=R}$$

  
  es una serie de composición para la derecha R- Mobiliario R (como una serie está seguro de existir si R es Artinian derecho, y hay una serie de composición izquierda similar si R se deja Artinian), entonces
  $${displaystyle left(Jleft(Rright)right)}=0}$$

  
  Nota, sin embargo, que en general la necesidad radical de Jacobson no consiste sólo en los elementos nilpotent del anillo.
• Si R es conmutativa y finitamente generado como álgebra sobre un campo o Z, entonces J(R) es igual a la nilradical de R.
• El radical Jacobson de un anillo (unital) es su más grande derecho superfluo (equivalentemente, izquierda) ideal.