Puntos y cajas

Un juego de puntos y cajas

Puntos y cajas es un juego de lápiz y papel para dos jugadores (a veces más). Fue publicado por primera vez en el siglo XIX por el matemático francés Édouard Lucas, quien lo llamó la pipopipette. Ha tenido muchos otros nombres, incluidos puntos y guiones, juego de puntos, cuadrícula punto a punto, cajas, y cerdos en un corral.

El juego comienza con una cuadrícula de puntos vacía. Por lo general, dos jugadores se turnan para agregar una sola línea horizontal o vertical entre dos puntos adyacentes no unidos. Un jugador que completa el cuarto lado de un cuadro de 1×1 gana un punto y toma otro turno. Por lo general, un punto se registra colocando una marca que identifica al jugador en el cuadro, como una inicial. El juego termina cuando no se pueden colocar más líneas. El ganador es el jugador con más puntos. El tablero puede ser de cualquier tamaño de cuadrícula. Cuando hay poco tiempo, o para aprender el juego, es adecuado un tablero de 2×2 (3×3 puntos). Un tablero de 5×5, por otro lado, es bueno para los expertos.

Estrategia

Ejemplo de juego de puntos y cajas en una tabla cuadrada 2×2. El segundo jugador ("B") juega una imagen de espejo rotada de los movimientos del primer jugador, esperando dividir el tablero en dos piezas y atar el juego. Pero el primer jugador ("A") hace un sacrificio en movimiento 7 y B acepta el sacrificio, recibiendo una caja. Sin embargo, B debe ahora añadir otra línea, y por lo tanto B conecta el punto central al punto centro-derecha, causando que las cajas restantes no marcadas se unen en un cadena (shown at the end of move 8). Con el siguiente movimiento de A, A consigue los tres y termina el juego, ganando 3–1.

La estrategia "doble-cross": frente a la posición 1, un jugador novato crearía la posición 2 y perdería. Un jugador experimentado crearía la posición 3 y ganaría.

Para la mayoría de los jugadores novatos, el juego comienza con una fase de puntos conectados más o menos al azar, donde la única estrategia es evitar agregar el tercer lado a cualquier cuadro. Esto continúa hasta que todas las casillas restantes (potenciales) se unen en cadenas: grupos de una o más casillas adyacentes en las que cualquier movimiento le da todas las casillas de la cadena al oponente. En este punto, los jugadores suelen tomar todas las casillas disponibles y luego abrir la cadena más pequeña disponible para su oponente. Por ejemplo, un jugador novato que se enfrenta a una situación como la posición 1 en el diagrama de la derecha, en la que se pueden capturar algunas casillas, puede tomar todas las casillas de la cadena, lo que da como resultado la posición 2. Pero con su último movimiento, tiene para abrir la cadena siguiente, más grande, y el novato pierde el juego.

Un jugador más experimentado que se enfrente a la posición 1 jugará en su lugar la estrategia de doble cruz, tomando todas menos 2 de las casillas de la cadena y dejando la posición 3. El oponente tomará estas dos casillas y entonces se verá obligado a abrir la siguiente cadena. Al lograr la posición 3, el jugador A gana. La misma estrategia de cruce doble se aplica sin importar cuántas cadenas largas haya: un jugador que usa esta estrategia tomará todas las cajas menos dos en cada cadena y tomará todas las cajas en la última cadena. Si las cadenas son lo suficientemente largas, entonces este jugador ganará.

El siguiente nivel de complejidad estratégica, entre expertos que usarían la estrategia cruzada (si se les permitiera), es una batalla por el control: un jugador experto intenta obligar a su oponente a abrir la primera cadena larga, porque el jugador que abre primero una cadena larga suele perder. Contra un jugador que no entiende el concepto de sacrificio, el experto simplemente tiene que hacer el número correcto de sacrificios para alentar al oponente a entregarle la primera cadena lo suficientemente larga para asegurar una victoria. Si el otro jugador también sacrifica, el experto tiene que manipular adicionalmente el número de sacrificios disponibles a través del juego anterior.

En la teoría de juegos combinatorios, Dots and Boxes es un juego imparcial y muchas posiciones se pueden analizar utilizando la teoría de Sprague-Grundy. Sin embargo, Dots and Boxes carece de la convención de juego normal de la mayoría de los juegos imparciales (donde gana el último jugador en moverse), lo que complica considerablemente el análisis.

Cuadrículas y variantes inusuales

No es necesario jugar a Dots and Boxes en una cuadrícula rectangular; se puede jugar en una cuadrícula triangular o hexagonal.

Puntos y cajas tiene un formato de gráfico dual llamado "Cadenas y monedas". Este juego se juega en una red de monedas (vértices) unidas por cuerdas (bordes). Los jugadores se turnan para cortar una cuerda. Cuando un corte deja una moneda sin hilos, el jugador "embolsa" la moneda y da otro turno. El ganador es el jugador que embolse más monedas. Las cadenas y monedas se pueden reproducir en un gráfico arbitrario.

En los análisis de Dots and Boxes, un juego que comienza con líneas exteriores ya dibujadas se denomina tablero sueco, mientras que la versión estándar que comienza completamente en blanco se denomina tablero estadounidense. Una versión intermedia con solo los lados izquierdo e inferior comenzando con líneas dibujadas se llama tablero islandés.

Un juego relacionado es Dots, al que se juega agregando puntos de colores a una cuadrícula en blanco y uniéndolos con una línea recta o diagonal en un intento de rodear los puntos de un oponente.