Puntos concíclicos

En geometría, se dice que un conjunto de puntos es concíclico (o cocíclico) si se encuentran en un círculo común. Un polígono cuyos vértices son concíclicos se llama polígono cíclico, y el círculo se llama círculo circunscrito o circuncírculo. Todos los puntos concíclicos están equidistantes del centro del círculo.

Tres puntos en el plano que no caen todos en línea recta son concíclicos, por lo que cada triángulo es un polígono cíclico, con un círculo circunstante bien definido. Sin embargo, cuatro o más puntos del plano no son necesariamente concíclicos. Después de los triángulos, el caso especial de los cuadriláteros cíclicos ha sido el más estudiado.

Bisectrices perpendiculares

En general, el centro O de un círculo en el que se encuentran los puntos P y Q debe ser tal que OP > y OQ son distancias iguales. Por lo tanto O debe estar en la mediatriz del segmento de recta PQ. Para n puntos distintos hay n(n − 1)/2 bisectrices, y la condición concíclica es que todas se encuentran en un solo punto, el centro O.

Triángulos

Los vértices de cada triángulo caen sobre un círculo llamado círculo circunstante. (Debido a esto, algunos autores definen "concíclico" sólo en el contexto de cuatro o más puntos en un círculo). Varios otros conjuntos de puntos definidos a partir de un triángulo también son concíclicos, con círculos diferentes; ver Círculo de nueve puntos y teorema de Lester.

El radio del círculo en el que se encuentran un conjunto de puntos es, por definición, el radio del círculo circunstante de cualquier triángulo con vértices en tres de esos puntos. Si las distancias por pares entre tres de los puntos son a, b y c, entonces el radio del círculo es

${displaystyle R={sqrt {frac {2}b^{2}c^{2}{(a+b+c)(a+b+c)(a-b+c)(a-b+c)}}}}}}}$

La ecuación del círculo circunstante de un triángulo y las expresiones para el radio y las coordenadas del centro del círculo, en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices, se dan aquí y aquí.

Otros puntos concíclicos

En cualquier triángulo, los siguientes nueve puntos son concíclicos en lo que se llama el círculo de nueve puntos: los puntos medios de las tres aristas, los pies de las tres altitudes y los puntos intermedios entre el ortocentro y cada uno de los tres. vértices.

El teorema de Lester establece que en cualquier triángulo escaleno, los dos puntos de Fermat, el centro de nueve puntos y el circuncentro son concíclicos.

Si se trazan líneas a través del punto de Lemoine paralelas a los lados de un triángulo, entonces los seis puntos de intersección de las líneas y los lados del triángulo son concíclicos, en lo que se llama círculo de Lemoine.

El círculo de van Lamoen asociado a cualquier triángulo dado ${displaystyle T}$ contiene los circumcentros de los seis triángulos que se definen dentro ${displaystyle T}$ por sus tres medianas.

El circuncentro de un triángulo, su punto de Lemoine y sus dos primeros puntos de Brocard son concíclicos, siendo el segmento desde el circuncentro hasta el punto de Lemoine un diámetro.

Cuatriláteros cíclicos

Un cuadrilátero ABCD con vértices concíclicos se llama cuadrilátero cíclico; esto sucede si y sólo si ${displaystyle angle CAD=angle CBD}$ (el teorema de ángulo inscrito) que es cierto si y sólo si los ángulos opuestos dentro del cuadrilátero son complementarios. Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos a, b, c, d y semiperímetro s =a + b + c + d) / 2 tiene su circunradius dado por

${displaystyle R={frac {1}{4}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)}}}}}} {c]$

una expresión derivada por el matemático indio Vatasseri Parameshvara en el siglo XV.

Según el teorema de Ptolomeo, si un cuadrilátero está dado por las distancias por pares entre sus cuatro vértices A, B, C, y D en orden, entonces es cíclico si y sólo si el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos:

${displaystyle ACcdot BD=ABcdot CD+BCcdot AD.}$

Si dos líneas, una que contiene el segmento AC y la otra que contiene el segmento BD, se cruzan en X, entonces los cuatro puntos A, B, C, D son concíclicos si y sólo si

${displaystyle displaystyle AXcdot XC=BXcdot XD.}$

La intersección X puede ser interna o externa al círculo. Este teorema se conoce como potencia de un punto.

Un cuadrilátero convexo es ortodiagonal (tiene diagonales perpendiculares) si y sólo si los puntos medios de los lados y los pies de las cuatro alturas son ocho puntos concíclicos, en lo que se llama el círculo de ocho puntos.

Polígonos cíclicos

De manera más general, un polígono en el que todos los vértices son concíclicos se denomina polígono cíclico. Un polígono es cíclico si y sólo si las bisectrices perpendiculares de sus aristas son concurrentes. Todo polígono regular es un polígono cíclico.

Para un polígono cíclico con un número impar de lados, todos los ángulos son iguales si y sólo si el polígono es regular. Un polígono cíclico con un número par de lados tiene todos los ángulos iguales si y sólo si los lados alternos son iguales (es decir, los lados 1, 3, 5,… son iguales, y lados 2, 4, 6,… son iguales).

Un pentágono cíclico con lados y área racionales se conoce como pentágono de Robbins; en todos los casos conocidos, sus diagonales también tienen longitudes racionales.

En cualquier n-gon cíclico con n, la suma de un conjunto de ángulos alternos (el primero, tercero, quinto, etc.) es igual a la suma del otro conjunto de ángulos alternos. Esto se puede probar por inducción del caso n = 4, reemplazando en cada caso un lado con tres lados más y observando que estos tres nuevos lados juntos con el lado antiguo forma un cuadrilátero que a su vez tiene esta propiedad; los ángulos alternos del último cuadrilátero representan las sumas a las sumas de los ángulos alternos del n-gon anterior.

Un polígono tangencial es aquel que tiene un círculo inscrito tangente a cada lado del polígono; estos puntos de tangencia son, por tanto, concíclicos en el círculo inscrito. Inscriba un n-gon en un círculo y otro n-gon debe ser tangencial a ese círculo en los vértices del primer n-gon. Luego, desde cualquier punto P del círculo, el producto de las distancias perpendiculares desde P a los lados del primer n-gon es igual al producto del distancias perpendiculares desde P a los lados del segundo n-gon.

Punto en la circunferencia

Dejemos que un n-gon cíclico tenga vértices A ₁ …, A_n en el círculo unitario. Luego, para cualquier punto M en el arco menor A₁A_n, las distancias desde M a los vértices satisface

${displaystyle {begin{cases}{overline {MA_{1}}+{overline {MA_{3}}+cdots +{overline {MA_{n-2}}+{overline {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}n{text{ is odd}}}\\\pfnfnfnfn}}}\\\\\\\\ccccccccH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}}}}}}}}}}}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}}}}cH {MA_{1}}+{overline {MA_{3}}+cdots +{overline {MA_{n-3}}+{overline {MA_{n-1}}leq {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {Enviar}}}$

Para un regular n-gon, si ${displaystyle {fnK}}}$ son las distancias desde cualquier punto M en el círculo a los vértices A_i, entonces

${displaystyle 3({overline {0}} {2}+{overline {MA_{2}} {2}+dots ##{2}=2n({overline {MA_{1}}}}{4}+{overline {MA_{2}} {4}+dots +{4}). }$

Constante circunscrita del polígono

Cualquier polígono regular es cíclico. Considere un círculo unitario, luego circunscriba un triángulo regular de modo que cada lado toque el círculo. Circunscribe un círculo y luego circunscribe un cuadrado. De nuevo circunscribe un círculo, luego circunscribe un pentágono regular, y así sucesivamente. Los radios de los círculos circunscritos convergen a la llamada constante circunscrita del polígono

${displaystyle prod _{n=3}{infty }{frac {1}{cos left({frac {pi }{n}}}}=8.7000366ldots.}$

(secuencia A051762 en el OEIS). El recíproco de esta constante es la constante de Kepler-Bouwkamp.

Variaciones

Algunos autores consideran que los puntos colineales (conjuntos de puntos que pertenecen a una sola línea) son un caso especial de puntos concíclicos, considerando la línea como un círculo de radio infinito. Este punto de vista es útil, por ejemplo, cuando se estudia la inversión a través de un círculo y las transformaciones de Möbius, ya que estas transformaciones preservan la conciclicidad de los puntos sólo en este sentido extendido.

En el plano complejo (formado al ver las partes real e imaginaria de un número complejo como las coordenadas cartesianas x e y del plano), la conciclicidad tiene un efecto particularmente Formulación simple: cuatro puntos en el plano complejo son concíclicos o colineales si y sólo si su relación cruzada es un número real.

Otras propiedades

Un conjunto de cinco o más puntos es concíclico si y sólo si cada subconjunto de cuatro puntos es concíclico. Esta propiedad puede considerarse como un análogo de la conciclicidad de la propiedad de Helly de los conjuntos convexos.

Círculo delimitador mínimo

Una noción relacionada es la de círculo delimitador mínimo, que es el círculo más pequeño que contiene completamente un conjunto de puntos. Cada conjunto de puntos en el plano tiene un círculo delimitador mínimo único, que puede construirse mediante un algoritmo de tiempo lineal.

Incluso si un conjunto de puntos es concíclico, su círculo circunscrito puede ser diferente de su círculo delimitador mínimo. Por ejemplo, para un triángulo obtuso, el círculo delimitador mínimo tiene el lado más largo como diámetro y no pasa por el vértice opuesto.