Punto fijo (matemáticas)

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Elemento mapeado a sí mismo por una función matemática

En matemáticas, un punto fijo (a veces abreviado como punto fijo), también conocido como punto invariante, es un valor que no cambiar bajo una transformación dada. Específicamente para funciones, un punto fijo es un elemento que la función asigna a sí mismo.

Punto fijo de una función

Formalmente, $c$ es un punto fijo de una función $f$ si $c$ pertenece tanto al dominio como al codominio de $f$ y $f (c) = c$ .

Did you mean:

For example, if <if is defined on the real numbers by

{displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}

f

f 2) = 2

No todas las funciones tienen puntos fijos: por ejemplo, $f (x) = x + 1$ , no tiene puntos fijos, ya que $x$ nunca es igual a $x + 1$ para cualquier número real. En términos gráficos, un punto fijo $x$ significa el punto $(x, f (x))$ está en la línea $y = x$ , o en otras palabras la gráfica de $f$ tiene un punto en común con esa recta.

Iteración de punto fijo

En análisis numéricos, iteración de punto fijo es un método de cálculo de puntos fijos de una función. Específicamente, dada una función $f$ con el mismo dominio y codomain, un punto $x_{0}$ en el dominio de $f$ , la iteración de punto fijo es

{displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),,n=0,1,2,dots }

que da lugar a la secuencia $x_{0},x_{1},x_{2},dots$ de aplicaciones de funciones iteradas ${displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),dots }$ que se espera converger en un punto $x$ . Si $f$ es continuo, entonces se puede probar que el obtenido $x$ es un punto fijo $f$ .

Los puntos que vuelven al mismo valor después de un número finito de iteraciones de la función se denominan puntos periódicos. Un punto fijo es un punto periódico con período igual a uno.

Punto fijo de una acción grupal

En álgebra, para un grupo G actuando en un conjunto X con una acción de grupo $cdot$ , x dentro X se dice que es un punto fijo g si $gcdot x=x$ .

El subgrupo de punto fijo $G^{f}$ de un automorfismo f de un grupo G es el subgrupo de G:

{displaystyle G^{f}={gin Gmid f(g)=g}.}

Del mismo modo el subing de punto fijo $R^{f}$ de un automorfismo f de un anillo R es el subing de los puntos fijos de f, es decir,

{displaystyle R^{f}={rin Rmid f(r)=r}.}

En la teoría de Galois, el conjunto de puntos fijos de un conjunto de automorfismos de campo es un campo llamado campo fijo del conjunto de automorfismos.

Propiedad de punto fijo topológico

Un espacio topológico $X$ se dice que tiene la propiedad de punto fijo (FPP) si para cualquier función continua

fcolon Xto X

existe $xin X$ tales que $f(x)=x$ .

El FPP es un invariante topológico, es decir, se conserva mediante cualquier homeomorfismo. El FPP también se conserva ante cualquier retracción.

Según el teorema del punto fijo de Brouwer, todo subconjunto compacto y convexo de un espacio euclidiano tiene el FPP. La compacidad por sí sola no implica el FPP y la convexidad ni siquiera es una propiedad topológica, por lo que tiene sentido preguntar cómo caracterizar topológicamente el FPP. En 1932, Borsuk preguntó si la compacidad junto con la contractibilidad podrían ser una condición necesaria y suficiente para que el FPP se mantuviera. El problema estuvo abierto durante 20 años hasta que Kinoshita refutó la conjetura y encontró un ejemplo de un espacio contráctil compacto sin FPP.

Puntos fijos de órdenes parciales

En teoría de dominios, la noción y terminología de puntos fijos se generaliza a un orden parcial. Sea ≤ un orden parcial sobre un conjunto X y sea f: X → X una función sobre X. Luego, un punto prefijo (también escrito punto prefijo, a veces abreviado como punto prefijo o punto prefijo) de f es cualquier p tal que f(p) ≤ p. De manera análoga, un punto postfijo de f es cualquier p tal que p ≤ f (p). Ocasionalmente aparece el uso opuesto. Malkis justifica la definición presentada aquí de la siguiente manera: "dado que f está antes del signo de desigualdad en el término f(x ) ≤ x, dicho x se denomina punto prefijo." Un punto fijo es un punto que es a la vez un punto prefijo y un punto postfijo. Los puntos de prefijo y postfijo tienen aplicaciones en informática teórica.

Punto menos fijo

En teoría del orden, el punto menos fijo de una función de un conjunto parcialmente ordenado (poset) consigo mismo es el punto fijo que es menor que cada uno de los demás puntos fijos, según el orden del poset. Una función no necesita tener un punto mínimo fijo, pero si lo tiene, entonces el punto mínimo fijo es único.

Una forma de expresar el teorema de Knaster-Tarski es decir que una función monótona en una red completa tiene un punto fijo mínimo que coincide con su punto prefijo menor (y de manera similar, su punto fijo mayor coincide con su punto postfijo mayor).

Combinador de punto fijo

En la lógica combinatoria para la ciencia informática, un combinador de puntos fijos es una función de orden superior ${displaystyle {textsf {fix}}}$ que devuelve un punto fijo de su función argumental, si existe. Formalmente, si la función f tiene uno o más puntos fijos, entonces

{displaystyle {textsf {fix}} f=f ({textsf {fix}} f)}

Lógicas de punto fijo

En lógica matemática, la lógica de punto fijo es una extensión de la lógica de predicados clásica que se ha introducido para expresar la recursividad. Su desarrollo ha estado motivado por la teoría descriptiva de la complejidad y su relación con los lenguajes de consulta de bases de datos, en particular con Datalog.

Teoremas del punto fijo

Un teorema del punto fijo es un resultado que dice que existe al menos un punto fijo, bajo alguna condición general.

Aplicaciones

Did you mean:

In many fields, equilibrium or stability are fundamental concepts that can be described in terms of fixed points. Some examples follow.

En la geometría proyectiva se ha llamado un punto fijo de una proyección punto doble.
En economía, un equilibrio de Nash de un juego es un punto fijo de la mejor correspondencia de respuesta del juego. John Nash explotó el teorema de punto fijo Kakutani por su papel seminal que le ganó el premio Nobel en economía.
En la física, más precisamente en la teoría de las transiciones de fase, linearisation cerca de un inestable punto fijo ha llevado al trabajo ganador del premio Nobel de Wilson inventando el grupo de renormalización, y a la explicación matemática del término "fenómeno crítico".
Los computadores de lenguaje de programación utilizan cálculos de puntos fijos para el análisis de programas, por ejemplo en el análisis de flujo de datos, que a menudo se requiere para la optimización de códigos. También son el concepto básico utilizado por el método genérico de análisis de programas interpretación abstracta.
En la teoría del tipo, el combinador de punta fija permite la definición de funciones recursivas en el cálculo de lambda no tipo.
El vector de los valores de PageRank de todas las páginas web es el punto fijo de una transformación lineal derivada de la estructura de enlace de la World Wide Web.
La distribución estacionaria de una cadena Markov es el punto fijo de la función de probabilidad de transición de un paso.
Logician Saul Kripke hace uso de puntos fijos en su influyente teoría de la verdad. Él muestra cómo uno puede generar un predicado de verdad parcialmente definido (uno que permanece indefinido para frases problemáticas como "Esta frase no es verdadera"), definiendo repetidamente la "verdad" a partir del segmento de un lenguaje que no contiene ocurrencias de la palabra, y continuando hasta que el proceso deja de producir cualquier frase recién definida. (Esto toma un infinito de pasos.) Es decir, para un idioma L, dejar L " (leer "L-prime") ser el lenguaje generado añadiendo a L, para cada frase S en L, la frase "S es verdad."Un punto fijo se alcanza cuando L' es L; en este punto frases como "Esta frase no es verdadera" permanecen indefinidos, así que, según Kripke, la teoría es adecuada para un lenguaje natural que contiene su propia La verdad predica.

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