Punto de lagrange

Puntos Lagrange en el sistema Sun-Earth (no a escala). La órbita de la Tierra aquí es en sentido contrario.

Una trama de contorno del potencial efectivo debido a la gravedad y la fuerza centrífuga de un sistema de dos cuerpos en un marco rotativo de referencia. Las flechas indican los gradientes cuesta abajo del potencial alrededor de los cinco puntos de Lagrange, hacia ellos (rojo) y lejos de ellos (azul). Contraintuitivamente, el L₄ y L₅ puntos son los puntos altos del potencial. En los propios puntos estas fuerzas están equilibradas.

Un ejemplo de una nave espacial en Sun-Earth L2
WMAP· Tierra

En mecánica celeste, los puntos de Lagrange (también puntos de Lagrange o puntos de libración) son puntos de equilibrio para objetos de pequeña masa bajo la influencia de dos cuerpos masivos en órbita. Matemáticamente, esto implica la solución del problema restringido de los tres cuerpos.

Normalmente, los dos cuerpos masivos ejercen una fuerza gravitacional desequilibrada en un punto, alterando la órbita de lo que sea que esté en ese punto. En los puntos de Lagrange, las fuerzas gravitatorias de los dos grandes cuerpos y la fuerza centrífuga se equilibran entre sí. Esto puede hacer que los puntos de Lagrange sean una excelente ubicación para los satélites, ya que se necesitan pocas correcciones de órbita para mantener la órbita deseada.

Para cualquier combinación de dos cuerpos orbitales hay cinco puntos de Lagrange, L₁ a L₅, todos en el plano orbital de los dos cuerpos grandes. Hay cinco puntos de Lagrange para el sistema Sol-Tierra, y cinco puntos de Lagrange diferentes para el sistema Tierra-Luna. L₁, L₂ y L₃ están en la línea que pasa por los centros de los dos cuerpos grandes, mientras que L₄ y L₅ cada uno actúa como el tercer vértice de un triángulo equilátero formado con los centros de los dos cuerpos grandes.

Cuando la relación de masa de los dos cuerpos es lo suficientemente grande, los puntos L₄ y L₅ son puntos estables, lo que significa que los objetos pueden orbitarlos y que tienen una tendencia a tirar de los objetos en ellos. Varios planetas tienen asteroides troyanos cerca de sus puntos L₄ y L₅ con respecto al Sol; Júpiter tiene más de un millón de estos troyanos.

Los puntos de Lagrange han sido propuestos para usos en la exploración espacial. Los satélites artificiales, por ejemplo el Telescopio Espacial James Webb, se han colocado en L₁ y L₂ con respecto al Sol y la Tierra, y con respecto a la Tierra y el Luna.

Historia

Los tres puntos colineales de Lagrange (L₁, L₂, L₃) fueron descubiertos por Leonhard Euler alrededor de 1750, una década antes Joseph-Louis Lagrange descubrió los dos restantes.

En 1772, Lagrange publicó un "Ensayo sobre el problema de los tres cuerpos". En el primer capítulo consideró el problema general de los tres cuerpos. A partir de eso, en el segundo capítulo, demostró dos soluciones especiales de patrón constante, la colineal y la equilátera, para tres masas cualesquiera, con órbitas circulares.

Puntos de Lagrange

Los cinco puntos de Lagrange están etiquetados y definidos de la siguiente manera:

Punto L1

El punto L₁ se encuentra en la línea definida entre las dos grandes masas M₁ y M₂. Es el punto donde la atracción gravitacional de M₂ y la de M₁ se combinan para producir un equilibrio. Un objeto que orbita alrededor del Sol más cerca que la Tierra normalmente tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero eso ignora el efecto de la atracción gravitacional de la Tierra. Si el objeto está directamente entre la Tierra y el Sol, entonces la gravedad de la Tierra contrarresta parte de la atracción del Sol sobre el objeto y, por lo tanto, aumenta el período orbital del objeto. Cuanto más cerca de la Tierra está el objeto, mayor es este efecto. En el punto L₁, el período orbital del objeto se vuelve exactamente igual al período orbital de la Tierra. L₁ está a unos 1,5 millones de kilómetros de la Tierra, o 0,01 au.

Punto L2

El punto L₂ se encuentra en la línea que pasa por las dos masas grandes, más allá de la más pequeña de las dos. Aquí, las fuerzas gravitatorias de las dos grandes masas equilibran el efecto centrífugo sobre un cuerpo en L₂. En el lado opuesto de la Tierra al Sol, el período orbital de un objeto normalmente sería mayor que el de la Tierra. La atracción adicional de la gravedad de la Tierra disminuye el período orbital del objeto, y en el punto L₂ ese período orbital se vuelve igual al de la Tierra. Al igual que L₁, L₂ está a unos 1,5 millones de kilómetros o 0,01 au de la Tierra. Un ejemplo de una nave espacial en L₂ es el telescopio espacial James Webb, diseñado para operar cerca de la Tierra-Sol L₂. Ejemplos anteriores incluyen la sonda de anisotropía de microondas de Wilkinson y su sucesor, Planck.

Punto L3

El punto L₃ se encuentra en la línea definida por las dos grandes masas, más allá de la mayor de las dos. Dentro del sistema Sol-Tierra, el punto L₃ existe en el lado opuesto del Sol, un poco fuera de la órbita de la Tierra y ligeramente más cerca del centro del Sol que la Tierra. Esta ubicación se produce porque el Sol también se ve afectado por la gravedad de la Tierra y, por lo tanto, orbita alrededor de los dos cuerpos. baricentro, que está bien dentro del cuerpo del Sol. Un objeto a la distancia de la Tierra del Sol tendría un período orbital de un año si solo se considera la gravedad del Sol. Pero un objeto en el lado opuesto del Sol desde la Tierra y directamente en línea con ambos "siente" La gravedad de la Tierra se suma ligeramente a la del Sol y, por lo tanto, debe orbitar un poco más lejos del baricentro de la Tierra y el Sol para tener el mismo período de 1 año. Es en el punto L₃ donde la atracción combinada de la Tierra y el Sol hace que el objeto gire en órbita con el mismo período que la Tierra, en efecto, orbitando una masa Tierra+Sol con el baricentro Tierra-Sol en uno. foco de su órbita.

Puntos L4 y L5

Aceleraciones gravitacionales en L₄

Los puntos L₄ y L₅ se encuentran en los terceros vértices de los dos triángulos equiláteros en el plano de la órbita cuya base común es la línea entre los centros de los dos masas, tal que el punto se encuentra 60° por delante (L₄) o por detrás (L₅) de la masa más pequeña con respecto a su órbita alrededor de la masa más grande.

Estabilidad

Los puntos triangulares (L₄ y L₅) son equilibrios estables, siempre que la relación de M₁/M₂ es mayor que 24,96. Este es el caso del sistema Sol-Tierra, el sistema Sol-Júpiter y, por un margen más pequeño, el sistema Tierra-Luna. Cuando se perturba un cuerpo en estos puntos, se aleja del punto, pero el factor opuesto al que aumenta o disminuye por la perturbación (ya sea la gravedad o la velocidad inducida por el momento angular) también aumentará o disminuirá, doblando el objeto. 39; s camino en una órbita estable, en forma de frijol alrededor del punto (como se ve en el marco de referencia corrotante).

Los puntos L₁, L₂ y L₃ son posiciones de equilibrio inestable. Cualquier objeto que orbite en L₁, L₂ o L₃ tenderá a salirse de la órbita; por lo tanto, es raro encontrar objetos naturales allí, y las naves espaciales que habitan en estas áreas deben emplear una cantidad pequeña pero crítica de mantenimiento de la posición para mantener su posición.

Objetos naturales en puntos de Lagrange

Debido a la estabilidad natural de L₄ y L₅, es común que los objetos naturales se encuentren orbitando en esos puntos de Lagrange de los sistemas planetarios. Los objetos que habitan en esos puntos se denominan genéricamente 'troyanos' o 'asteroides troyanos'. El nombre deriva de los nombres que se dieron a los asteroides descubiertos orbitando en los puntos Sol-Júpiter L₄ y L₅, que fueron tomados de personajes mitológicos que aparecen en Homero's Ilíada, un poema épico ambientado durante la Guerra de Troya. Los asteroides en el punto L₄, por delante de Júpiter, llevan el nombre de los caracteres griegos de la Ilíada y se les conoce como el "campo griego". Los que se encuentran en el punto L₅ reciben el nombre de caracteres troyanos y se denominan "campamento troyano". Ambos campos se consideran tipos de cuerpos troyanos.

Como el Sol y Júpiter son los dos objetos más masivos del Sistema Solar, hay más troyanos Sol-Júpiter que cualquier otro par de cuerpos. Sin embargo, se conocen cantidades más pequeñas de objetos en los puntos de Lagrange de otros sistemas orbitales:

• El Sol – Tierra L₄ y L₅ puntos contienen polvo interplanetario y al menos dos asteroides, 2010 TK7 y 2020 XL5.
• La Tierra – Sol L₄ y L₅ Los puntos contienen concentraciones de polvo interplanetario, conocidas como nubes Kordylewski. La estabilidad en estos puntos específicos es muy complicada por la influencia gravitacional solar.
• El Sol – Neptuno L₄ y L₅ puntos contienen varias docenas de objetos conocidos, los troyanos Neptune.
• Marte ha aceptado cuatro Mars trojans: 5261 Eureka, 1999 UJ7, 1998 VF31, y 2007 NS2.
• Luna de Saturno Tethys tiene dos lunas más pequeñas de Saturno en su L₄ y L₅ puntos, Telesto y Calypso. Otra luna de Saturno, Dione también tiene dos co-orbitales Lagrange, Helene en su L₄ punto y Polydeuces en L₅. Las lunas vagan azimutalmente sobre los puntos Lagrange, con Polydeuces describiendo las mayores desviaciones, moviéndose hasta 32° de distancia del Saturno-Dione L₅ Punto.
• Una versión de la hipótesis de impacto gigante postula que un objeto llamado Theia formó en el Sol – Tierra L₄ o L₅ punto y chocó contra la Tierra después de que su órbita se desestabilizara, formando la Luna.
• En estrellas binarias, el lóbulo Roche tiene su ápice situado en L₁; si una de las estrellas se expande más allá de su Roche Lobe, entonces perderá materia a su estrella compañera, conocida como Roche lobe desbordamiento.

Los objetos que están en órbitas de herradura a veces se describen erróneamente como troyanos, pero no ocupan puntos de Lagrange. Los objetos conocidos en órbitas de herradura incluyen 3753 Cruithne con la Tierra y las lunas de Saturno, Epimeteo y Jano.

Detalles físicos y matemáticos

Visualización de la relación entre los puntos de Lagrange (rojo) de un planeta (azul) orbitando una estrella (amarillo) en sentido contrario, y el potencial efectivo en el plano que contiene la órbita (modelo de hoja de caucho gris con contornos púrpura de igual potencial).
Haga clic para la animación.

Los puntos de Lagrange son las soluciones de patrón constante del problema restringido de los tres cuerpos. Por ejemplo, dados dos cuerpos masivos en órbitas alrededor de su baricentro común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa comparativamente insignificante, podría colocarse para mantener su posición relativa a los dos cuerpos masivos. Como se ve en un marco de referencia giratorio que coincide con la velocidad angular de los dos cuerpos en órbita, los campos gravitatorios de dos cuerpos masivos combinados proporcionan la fuerza centrípeta en los puntos de Lagrange, lo que permite que el tercer cuerpo más pequeño sea relativamente estacionario con respecto al dos primeros.

L1

La ubicación de L₁ es la solución a la siguiente ecuación, la gravedad proporciona la fuerza centrípeta:

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También podemos escribir esto como:

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d1{displaystyle D_{1}

d2{displaystyle D_{2}

Esta distancia se puede describir como tal que el período orbital, correspondiente a una órbita circular con esta distancia como radio alrededor de M₂ en ausencia de M₁, es la de M₂ alrededor de M₁, dividido por √3 ≈ 1,73:

Ts,M2()r)=TM2,M1()R)3.{displaystyle T_{s,M_{2}(r)={frac {T_{M_{2},M_{1}(R)}{sqrt {3}}}

L2

Lagrangian L₂ punto para el sistema Sun-Earth

La ubicación de L₂ es la solución a la siguiente ecuación, la gravedad proporciona la fuerza centrípeta:

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Se aplican las mismas observaciones sobre la influencia de las mareas y el tamaño aparente que para el punto L₁. Por ejemplo, el radio angular del sol visto desde L₂ es arcsin(695.5 ×10³/151.1×10⁶) ≈ 0,264°, mientras que el de la Tierra es arcsin(6371/1,5×10⁶) ≈ 0,242°. Mirando hacia el sol desde L₂ se ve un eclipse anular. Es necesario que una nave espacial, como Gaia, siga una órbita de Lissajous o una órbita de halo alrededor de L₂ para que sus paneles solares reciban pleno sol.

L3

La ubicación de L₃ es la solución a la siguiente ecuación, la gravedad proporciona la fuerza centrípeta:

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L4 y L5

La razón por la que estos puntos están en equilibrio es que en L₄ y L₅ las distancias a las dos masas son iguales. En consecuencia, las fuerzas gravitatorias de los dos cuerpos masivos están en la misma proporción que las masas de los dos cuerpos, por lo que la fuerza resultante actúa a través del baricentro del sistema; además, la geometría del triángulo asegura que la aceleración resultante sea a la distancia del baricentro en la misma proporción que para los dos cuerpos masivos. Siendo el baricentro tanto el centro de masa como el centro de rotación del sistema de tres cuerpos, esta fuerza resultante es exactamente la requerida para mantener el cuerpo más pequeño en el punto de Lagrange en equilibrio orbital con los otros dos cuerpos más grandes del sistema (de hecho, el tercer cuerpo debe tener una masa despreciable). La configuración triangular general fue descubierta por Lagrange trabajando en el problema de los tres cuerpos.

Aceleración radial neta de un punto orbitando a lo largo de la línea Tierra-Moon

Aceleración radial

La aceleración radial a de un objeto en órbita en un punto a lo largo de la línea que pasa por ambos cuerpos está dada por:

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Estabilidad

Modelo 3D STL del potencial de Roche de dos cuerpos orbitales, representado medio como superficie y medio como malla

Aunque los puntos L₁, L₂ y L₃ son nominalmente inestables, existen órbitas periódicas casi estables llamadas órbitas de halo alrededor de estos puntos en un sistema de tres cuerpos. Un sistema dinámico de n-cuerpo completo como el Sistema Solar no contiene estas órbitas periódicas, pero sí contiene órbitas cuasi-periódicas (es decir, limitadas pero que no se repiten con precisión) siguiendo trayectorias de curvas de Lissajous. Estas órbitas de Lissajous cuasi periódicas son las que han utilizado la mayoría de las misiones espaciales de punto Lagrangiano hasta ahora. Aunque no son perfectamente estables, un modesto esfuerzo de mantenimiento de la posición mantiene una nave espacial en una órbita Lissajous deseada durante mucho tiempo.

Para las misiones Sol-Tierra-L₁, es preferible que la nave espacial se encuentre en una órbita Lissajous de gran amplitud (100 000–200 000 km o 62 000–124 000 mi) alrededor de L ₁ que quedarse en L₁, porque la línea entre el Sol y la Tierra ha aumentado la interferencia solar en las comunicaciones entre la Tierra y las naves espaciales. De manera similar, una órbita de Lissajous de gran amplitud alrededor de L₂ mantiene una sonda fuera de la sombra de la Tierra y, por lo tanto, garantiza la iluminación continua de sus paneles solares.

Los puntos L4 y L5 son estables siempre que la masa del cuerpo primario (por ejemplo, la Tierra) sea al menos 25 veces la masa del cuerpo secundario (por ejemplo, la Luna), y la masa del secundario sea al menos 10 veces la del terciario (por ejemplo, el satélite). La Tierra tiene más de 81 veces la masa de la Luna (la Luna tiene el 1,23% de la masa de la Tierra). Aunque los puntos L₄ y L₅ se encuentran en la cima de una "colina", como en el gráfico de contorno de potencial efectivo anterior, no obstante, son estable. La razón de la estabilidad es un efecto de segundo orden: a medida que un cuerpo se aleja de la posición exacta de Lagrange, la aceleración de Coriolis (que depende de la velocidad de un objeto en órbita y no se puede modelar como un mapa de contorno) curva la trayectoria en un camino alrededor (en lugar de lejos) del punto. Debido a que la fuente de estabilidad es la fuerza de Coriolis, las órbitas resultantes pueden ser estables, pero generalmente no son planas, sino "tridimensionales": se encuentran en una superficie alabeada que se cruza con el plano de la eclíptica. Las órbitas en forma de riñón que normalmente se muestran anidadas alrededor de L₄ y L₅ son las proyecciones de las órbitas en un plano (por ejemplo, la eclíptica) y no las órbitas tridimensionales completas..

Valores del Sistema Solar

Sun-planet Lagrange apunta a escala (Haga clic en puntos más claros.)

Esta tabla enumera valores de muestra de L₁, L₂ y L₃ dentro del Sistema Solar. Los cálculos asumen que los dos cuerpos orbitan en un círculo perfecto con una separación igual al semieje mayor y que no hay otros cuerpos cerca. Las distancias se miden desde el centro de masa del cuerpo más grande con L₃ mostrando una ubicación negativa. Las columnas de porcentaje muestran cómo se comparan las distancias con el semieje mayor. P.ej. para la Luna, L₁ se encuentra 326400 km del centro de la Tierra, que es el 84,9 % de la distancia Tierra-Luna o el 15,1 % frente a la Luna; L₂ se encuentra 448900 km del centro de la Tierra, que es el 116,8 % de la distancia Tierra-Luna o el 16,8 % más allá de la Luna; y L₃ se encuentra −381700 km del centro de la Tierra, que es el 99,3 % de la distancia Tierra-Luna o el 0,7084 % frente al 'negativo' de la Luna; posición.

Aplicaciones de vuelos espaciales

Sol-Tierra

El satélite ACE en una órbita alrededor de Sun-Earth L₁

órbitas Gaia (amarillo) y James Webb Space Telescope (azul) alrededor de Sun-Earth L₂

Sol-Tierra L₁ es adecuado para realizar observaciones del sistema Sol-Tierra. Los objetos aquí nunca están a la sombra de la Tierra o la Luna y, si observa la Tierra, siempre vea el hemisferio iluminado por el sol. La primera misión de este tipo fue la misión International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) de 1978, utilizada como monitor de tormentas interplanetarias de alerta temprana para perturbaciones solares. Desde junio de 2015, DSCOVR ha orbitado el punto L₁. Por el contrario, también es útil para los telescopios solares basados en el espacio, ya que proporciona una vista ininterrumpida del Sol y cualquier clima espacial (incluido el viento solar y las eyecciones de masa coronal) alcanza L₁ hasta una hora ante la Tierra. Las misiones solares y heliosféricas ubicadas actualmente alrededor de L₁ incluyen el Observatorio Solar y Heliosférico, el Viento y el Explorador de Composición Avanzado. Las misiones planificadas incluyen la sonda de aceleración y mapeo interestelar (IMAP) y el NEO Surveyor.

Sol-Tierra L₂ es un buen lugar para los observatorios espaciales. Debido a que un objeto alrededor de L₂ mantendrá la misma posición relativa con respecto al Sol y la Tierra, el blindaje y la calibración son mucho más simples. Sin embargo, está un poco más allá del alcance de la umbra de la Tierra, por lo que la radiación solar no está completamente bloqueada en L₂. Las naves espaciales generalmente orbitan alrededor de L₂, evitando eclipses parciales de Sol para mantener una temperatura constante. Desde ubicaciones cercanas a L₂, el Sol, la Tierra y la Luna están relativamente juntos en el cielo; esto significa que una gran sombrilla con el telescopio en el lado oscuro puede permitir que el telescopio se enfríe pasivamente a alrededor de 50 K; esto es especialmente útil para la astronomía infrarroja y las observaciones del fondo cósmico de microondas. El telescopio espacial James Webb se colocó en una órbita de halo alrededor de L₂ el 24 de enero de 2022.

Sol-Tierra L₁ y L₂ son puntos de silla y exponencialmente inestables con una constante de tiempo de aproximadamente 23 días. Los satélites en estos puntos se alejarán en unos pocos meses a menos que se realicen correcciones de rumbo.

Sol–Tierra L₃ era un lugar popular para colocar una "Contra-Tierra" en pulpa de ciencia ficción y cómics, a pesar de que la existencia de un cuerpo planetario en este lugar se había entendido como una imposibilidad una vez que se entendieron la mecánica orbital y las perturbaciones de los planetas sobre las órbitas de los demás, mucho antes la era espacial; la influencia de un cuerpo del tamaño de la Tierra sobre otros planetas no habría pasado desapercibida, ni el hecho de que los focos de la elipse orbital de la Tierra no hubieran estado en los lugares esperados, debido a la masa de la contra-Tierra. El Sol-Tierra L₃, sin embargo, es un punto débil y exponencialmente inestable con una constante de tiempo de aproximadamente 150 años. Además, no podría contener un objeto natural, grande o pequeño, durante mucho tiempo porque las fuerzas gravitatorias de los otros planetas son más fuertes que las de la Tierra (por ejemplo, Venus se encuentra a 0,3 AU de este L₃ cada 20 meses).

Una nave espacial en órbita cerca del Sol-Tierra L₃ podría monitorear de cerca la evolución de las regiones activas de manchas solares antes de que giren a una posición geoefectiva, de modo que se pueda emitir una alerta temprana de siete días. por el Centro de Predicción del Clima Espacial de la NOAA. Además, un satélite cercano al Sol-Tierra L₃ proporcionaría observaciones muy importantes no solo para los pronósticos de la Tierra, sino también para el apoyo al espacio profundo (predicciones de Marte y para misiones tripuladas a asteroides cercanos a la Tierra). En 2010, se estudiaron las trayectorias de transferencia de naves espaciales al Sol-Tierra L₃ y se consideraron varios diseños.

Tierra–Luna

Tierra-Luna L₁ permite un acceso comparativamente fácil a las órbitas lunares y terrestres con un cambio mínimo en la velocidad y esto tiene la ventaja de posicionar una estación espacial habitable destinada a ayudar a transportar carga y personal al Luna y de regreso.

Tierra-Luna L₂ se ha utilizado para un satélite de comunicaciones que cubre la cara oculta de la Luna, por ejemplo, Queqiao, lanzado en 2018, y sería "un ideal ubicación" para un depósito de propulsor como parte de la arquitectura de transporte espacial basada en depósito propuesta.

Sol–Venus

Los científicos de la Fundación B612 planeaban usar el punto L₃ de Venus para posicionar su telescopio Sentinel planeado, cuyo objetivo era mirar hacia la órbita de la Tierra y compilar un catálogo. de asteroides cercanos a la Tierra.

Sol–Marte

En 2017, se discutió en una conferencia de la NASA la idea de colocar un escudo de dipolo magnético en el punto L₁ Sol-Marte para usarlo como una magnetosfera artificial para Marte. La idea es que esto protegería la atmósfera del planeta de la radiación solar y los vientos solares.

Notas explicativas