Punto de equilibrio (matemáticas)

En matemáticas, específicamente en ecuaciones diferenciales, un punto de equilibrio es una solución constante de una ecuación diferencial.

Definición formal

El punto ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x}\in \mathbb {R} {\fn}$ es un punto de equilibrio para la ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} ¿Qué?$

si ${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x}})=\mathbf {0}$ para todos ${\displaystyle t}$.

Análogamente, el punto ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x}\in \mathbb {R} {\fn}$ es un punto de equilibrio (o punto fijo) para la ecuación de diferencia

${\textstyle \mathbf {x} ¿Por qué?$

si ${\displaystyle \mathbf {\f} {\f}}={\f} {\f} {\f}} {\f}}} {\f}}}} {\f}$ para ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$.

Los equilibrios se pueden clasificar observando los signos de los valores propios de la linealización de las ecuaciones sobre los equilibrios. Es decir, al evaluar la matriz jacobiana en cada uno de los puntos de equilibrio del sistema y luego encontrar los valores propios resultantes, se pueden categorizar los equilibrios. Entonces, el comportamiento del sistema en las proximidades de cada punto de equilibrio se puede determinar cualitativamente (o incluso cuantitativamente, en algunos casos), encontrando el vector propio asociado con cada valor propio.

Un punto de equilibrio es hiperbólico si ninguno de los valores propios tiene parte real cero. Si todos los valores propios tienen partes reales negativas, el punto es estable. Si al menos uno tiene parte real positiva, el punto es inestable. Si al menos un valor propio tiene parte real negativa y al menos uno tiene parte real positiva, el equilibrio es un punto de silla y es inestable. Si todos los valores propios son reales y tienen el mismo signo, el punto se llama nodo.