Punto de acumulación

En matemáticas, a punto límite, punto de acumulación, o Grupo temático de un conjunto S{displaystyle S. en un espacio topológico X{displaystyle X} es un punto x{displaystyle x} que puede ser "aproximado" por puntos S{displaystyle S. en el sentido de que cada barrio x{displaystyle x} con respecto a la topología en X{displaystyle X} también contiene un punto S{displaystyle S. de otros x{displaystyle x} en sí mismo. Un punto límite de un conjunto S{displaystyle S. no tiene que ser un elemento S.{displaystyle S.} También existe un concepto estrechamente relacionado con las secuencias. A Grupo temático o punto de acumulación de una secuencia ()xn)n▪ ▪ N{displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} en un espacio topológico X{displaystyle X} es un punto x{displaystyle x} así, por cada barrio V{displaystyle V} de x,{displaystyle x,} hay infinitamente muchos números naturales n{displaystyle n} tales que xn▪ ▪ V.{displaystyle x_{n}in V.} Esta definición de un cúmulo o punto de acumulación de una secuencia generaliza a redes y filtros.

La noción de nombre similar de un punto límite de una secuencia (respectivamente, un punto límite de un filtro, un punto límite de una red) por definición se refiere a un punto en el que converge la secuencia (respectivamente, el filtro converge a, la red converge a). Es importante destacar que, aunque "punto límite de un conjunto" es sinónimo de "cluster/punto de acumulación de un conjunto", esto no es cierto para secuencias (ni redes o filtros). Es decir, el término "punto límite de una secuencia" no es sinónimo de "grupo/punto de acumulación de una secuencia".

Los puntos límite de un conjunto no deben confundirse con puntos adherentes (también llamado puntos de cierre) para que cada barrio de x{displaystyle x} contiene un punto S{displaystyle S. (es decir, cualquier punto perteneciente al cierre del conjunto). A diferencia de los puntos límite, un punto adherente S{displaystyle S. puede ser x{displaystyle x} en sí mismo. Un punto límite se puede caracterizar como un punto adherente que no es un punto aislado.

Los puntos límite de un conjunto tampoco deben confundirse con los puntos límite. Por ejemplo, 0{displaystyle 0} es un punto límite (pero no un punto límite) del conjunto {}0}{displaystyle {0}} dentro R{displaystyle mathbb {R} con topología estándar. Sin embargo, 0.5{displaystyle 0,5} es un punto límite (aunque no un punto límite) de intervalo [0,1]{displaystyle [0,1]} dentro R{displaystyle mathbb {R} con topología estándar (para un ejemplo menos trivial de un punto límite, vea la primera capción).

Este concepto generaliza de manera provechosa la noción de límite y es la base de conceptos como conjunto cerrado y cierre topológico. De hecho, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite, y la operación de cierre topológico puede pensarse como una operación que enriquece un conjunto al unirlo con sus puntos límite.

Con respecto a la topología Euclideana habitual, la secuencia de números racionales xn=()− − 1)nnn+1{displaystyle x_{n}=(-1)}{n}{frac {n}{n+1}} no límite (es decir, no converge), pero tiene dos puntos de acumulación (que se consideran puntos límite aquí), viz. -1 y +1. Así, pensando en conjuntos, estos puntos son puntos límite del conjunto S={}xn}.{displaystyle Sí.

Definición

Puntos de acumulación de un conjunto

Una secuencia que enumera todos los números racionales positivos. Cada número real positivo es un punto de agrupación.

Vamos S{displaystyle S. ser un subconjunto de un espacio topológico X.{displaystyle X.} Un punto x{displaystyle x} dentro X{displaystyle X} es un punto límite o Grupo temático o punto de acumulación del conjunto S{displaystyle S. si todos los barrios x{displaystyle x} contiene al menos un punto S{displaystyle S. diferente x{displaystyle x} en sí mismo.

No hay diferencia si restringimos la condición solo a vecindarios abiertos. A menudo es conveniente utilizar el "vecindario abierto" forma de la definición para mostrar que un punto es un punto límite y para usar el "vecindario general" forma de la definición para derivar hechos a partir de un punto límite conocido.

Si X{displaystyle X} es un T1{displaystyle T_{1} espacio (como un espacio métrico), entonces x▪ ▪ X{displaystyle xin X} es un punto límite S{displaystyle S. si y sólo si cada barrio x{displaystyle x} contiene infinitamente muchos puntos S.{displaystyle S.} De hecho, T1{displaystyle T_{1} espacios se caracterizan por esta propiedad.

Si X{displaystyle X} es un espacio Fréchet-Urysohn (que todos los espacios métricos y los espacios de primera cuenta son), entonces x▪ ▪ X{displaystyle xin X} es un punto límite S{displaystyle S. si y sólo si hay una secuencia de puntos en S∖ ∖ {}x}{displaystyle Ssetminus {x} cuyo límite es x.{displaystyle x.} De hecho, los espacios Fréchet-Urysohn se caracterizan por esta propiedad.

El conjunto de puntos límite de S{displaystyle S. se llama el conjunto derivado de S.{displaystyle S.}

Tipos especiales de punto de acumulación de un conjunto

Si cada barrio de x{displaystyle x} contiene infinitamente muchos puntos S,{displaystyle S,} entonces x{displaystyle x} es un tipo específico de punto límite llamado ω-accumulation point de S.{displaystyle S.}

Si cada barrio de x{displaystyle x} contiene incontablemente muchos puntos S,{displaystyle S,} entonces x{displaystyle x} es un tipo específico de punto límite llamado punto de condensación de S.{displaystyle S.}

Si cada barrio U{displaystyle U} de x{displaystyle x} es tal que el cardenalismo U∩ ∩ S{displaystyle Ucap S} igual al cardenalismo S,{displaystyle S,} entonces x{displaystyle x} es un tipo específico de punto límite llamado punto de acumulación completo de S.{displaystyle S.}

Puntos de acumulación de secuencias y redes

En un espacio topológico X,{displaystyle X. un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} se dice que es un Grupo temático o punto de acumulación de una secuencia x∙ ∙ =()xn)n=1JUEGO JUEGO {displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)_{n=1}{infty }} si, por cada barrio V{displaystyle V} de x,{displaystyle x,} hay infinitamente muchos n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N} tales que xn▪ ▪ V.{displaystyle x_{n}in V.} Es equivalente a decir eso por cada barrio V{displaystyle V} de x{displaystyle x} y todos n0▪ ▪ N,{displaystyle n_{0}in mathbb {N} hay algunos n≥ ≥ n0{displaystyle ngeq n_{0} tales que xn▪ ▪ V.{displaystyle x_{n}in V.} Si X{displaystyle X} es un espacio métrico o un espacio de primera cuenta (o, más generalmente, un espacio Fréchet-Urysohn), entonces x{displaystyle x} es un punto de agrupación x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} si x{displaystyle x} es un límite de alguna subsequencia x∙ ∙ .{displaystyle x_{bullet } El conjunto de todos los puntos de racimo de una secuencia se llama a veces el conjunto límite.

Tenga en cuenta que ya existe la noción de límite de una secuencia para significar un punto x{displaystyle x} a la que converge la secuencia (es decir, cada barrio de x{displaystyle x} contiene todos pero finitamente muchos elementos de la secuencia). Por eso no usamos el término punto límite de una secuencia como sinónimo de punto de acumulación de la secuencia.

El concepto de una red generaliza la idea de una secuencia. Una red es una función f:()P,≤ ≤ )→ → X,{displaystyle f:(P,leq)to X,} Donde ()P,≤ ≤ ){displaystyle (P,leq)} es un conjunto dirigido y X{displaystyle X} es un espacio topológico. Un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} se dice que es un punto de acumulación o punto de acumulación de una red f{displaystyle f} si, por cada barrio V{displaystyle V} de x{displaystyle x} y todos p0▪ ▪ P,{displaystyle p_{0}in P,} hay algunos p≥ ≥ p0{displaystyle pgeq p_{0} tales que f()p)▪ ▪ V,{displaystyle f(p)in V,} equivalente, si f{displaystyle f} tiene una subred que converge x.{displaystyle x.} Los puntos de agrupación en redes abarcan la idea de puntos de condensación y puntos de acumulación ω. También se definen puntos de agrupación y límite para filtros.

Relación entre el punto de acumulación de una secuencia y el punto de acumulación de un conjunto

Cada secuencia x∙ ∙ =()xn)n=1JUEGO JUEGO {displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)_{n=1}{infty }} dentro X{displaystyle X} es por definición sólo un mapa x∙ ∙ :N→ → X{displaystyle x_{bullet }:mathbb {N}to X} para que su imagen Im⁡ ⁡ x∙ ∙ :={}xn:n▪ ▪ N}{displaystyle operatorname {Im} x_{bullet - Sí. se puede definir de la manera habitual.

• Si existe un elemento x▪ ▪ X{displaystyle xin X} que ocurre infinitamente muchas veces en la secuencia, x{displaystyle x} es un punto de acumulación de la secuencia. Pero... x{displaystyle x} no debe ser un punto de acumulación del conjunto correspondiente Im⁡ ⁡ x∙ ∙ .{displaystyle operatorname {Im} x_{bullet }} Por ejemplo, si la secuencia es la secuencia constante con valor x,{displaystyle x,} tenemos Im⁡ ⁡ x∙ ∙ ={}x}{displaystyle operatorname {Im} x_{bullet }= {x} y x{displaystyle x} es un punto aislado Im⁡ ⁡ x∙ ∙ {displaystyle operatorname {Im} x_{bullet } y no un punto de acumulación Im⁡ ⁡ x∙ ∙ .{displaystyle operatorname {Im} x_{bullet }}

• Si ningún elemento ocurre infinitamente muchas veces en la secuencia, por ejemplo si todos los elementos son distintos, cualquier punto de acumulación de la secuencia es un ⋅ ⋅ {displaystyle omega }- punto de acumulación del conjunto asociado Im⁡ ⁡ x∙ ∙ .{displaystyle operatorname {Im} x_{bullet }}

Por el contrario, dado un conjunto infinito contable A⊆ ⊆ X{displaystyle Asubseteq X} dentro X,{displaystyle X. podemos enumerar todos los elementos A{displaystyle A} de muchas maneras, incluso con repeticiones, y así asociarse con él muchas secuencias x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} que satisfaga A=Im⁡ ⁡ x∙ ∙ .{displaystyle A=operatorname {Im} x_{bullet }}

• Cualquier ⋅ ⋅ {displaystyle omega }- punto de acumulación A{displaystyle A} es un punto de acumulación de cualquiera de las secuencias correspondientes (porque cualquier barrio del punto contendrá infinitamente muchos elementos de A{displaystyle A} y por lo tanto también infinitamente muchos términos en cualquier secuencia asociada).

• Un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} eso es no an ⋅ ⋅ {displaystyle omega }- punto de acumulación A{displaystyle A} no puede ser un punto de acumulación de cualquiera de las secuencias asociadas sin repeticiones infinitas (porque x{displaystyle x} tiene un barrio que contiene sólo finitamente muchos (posiblemente incluso ninguno) puntos de A{displaystyle A} y ese barrio sólo puede contener finitamente muchos términos de tales secuencias).

Propiedades

Todo límite de una sucesión no constante es un punto de acumulación de la sucesión. Y por definición, todo punto límite es un punto adherente.

El cierre cl⁡ ⁡ ()S){displaystyle operatorname {cl} (S)} de un conjunto S{displaystyle S. es una unión disyuntiva de sus puntos límite L()S){displaystyle L(S)} y puntos aislados I()S){displaystyle I(S)}:

cl⁡ ⁡ ()S)=L()S)∪ ∪ I()S),L()S)∩ ∩ I()S)=∅ ∅ .{displaystyle operatorname {cl} (S)=L(S)cup I(S),L(S)cap I(S)=varnothing.}

Un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} es un punto límite S⊆ ⊆ X{displaystyle Ssubseteq X} si y sólo si está en el cierre de S∖ ∖ {}x}.{displaystyle Ssetminus {x}

Si usamos L()S){displaystyle L(S)} to denote the set of limit points of S,{displaystyle S,} entonces tenemos la siguiente caracterización del cierre S{displaystyle S.: El cierre S{displaystyle S. es igual a la unión de S{displaystyle S. y L()S).{displaystyle L(S).} Este hecho a veces se toma como definición de cierre.

Un corolario de este resultado nos da una caracterización de conjuntos cerrados: Un juego S{displaystyle S. está cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite.

Ningún punto aislado es punto límite de ningún conjunto.

Un espacio X{displaystyle X} es discreto si y sólo si no hay subconjunto X{displaystyle X} tiene un punto límite.

Si un espacio X{displaystyle X} tiene la topología trivial y S{displaystyle S. es un subconjunto de X{displaystyle X} con más de un elemento, entonces todos los elementos X{displaystyle X} son puntos límite de S.{displaystyle S.} Si S{displaystyle S. es un singleton, entonces cada punto X∖ ∖ S{displaystyle Xsetminus S} es un punto límite S.{displaystyle S.}