Punto aislado

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Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S

En matemáticas, un punto $x$ se llama punto aislado de un subconjunto $S$ (en un espacio topológico $X$ ) si $x$ es un elemento de $S$ y existe una vecindad de $x$ que no contiene ningún otro punto de $S$ . Esto equivale a decir que el singleton ${x}$ es un conjunto abierto en el espacio topológico $S$ (considerado como un subespacio de $X$ ). Otra formulación equivalente es: un elemento $x$ de $S$ es un punto aislado de $S$ si y sólo si no es un punto límite de $S$ .

Si el espacio $X$ es un espacio métrico, por ejemplo un espacio euclidiano, entonces un elemento $x$ de $S$ es un punto aislado de $S$ si existe una bola abierta alrededor de $x$ que contiene sólo un número finito de elementos de $S$ .

Nociones relacionadas

Un conjunto que se compone únicamente de puntos aislados se llama conjunto discreto (ver también espacio discreto). Cualquier subconjunto discreto $S$ del espacio euclidiano debe ser contable, ya que el aislamiento de cada uno de sus puntos junto con el hecho de que los racionales son densos en los reales significa que los puntos de $S$ pueden mapearse inyectivamente en un conjunto de puntos con coordenadas racionales, de los cuales solo hay contablemente muchos. Sin embargo, no todos los conjuntos contables son discretos, de los cuales los números racionales bajo la métrica euclidiana habitual son el ejemplo canónico.

Un conjunto sin ningún punto aislado se dice que es denso en sí mismo (cada vecindad de un punto contiene otros puntos del conjunto). Un conjunto cerrado sin ningún punto aislado se llama conjunto perfecto (contiene todos sus puntos límite y ningún punto aislado).

El número de puntos aislados es una invariante topológica, es decir, si dos espacios topológicos $X, Y$ son homeomórficos, el número de puntos aislados en cada uno es igual.

Ejemplos

Ejemplos estándar

Los espacios topológicos en los siguientes tres ejemplos se consideran subespacios de la línea real con la topología estándar.

Para el set ${displaystyle S={0}cup [1,2],}$ el punto 0 es un punto aislado.
Para el set ${displaystyle S={0}cup {1,{tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{3}},dots },}$ cada uno de los puntos ${displaystyle {tfrac {1}{k}}}$ es un punto aislado, pero $0$ no es un punto aislado porque hay otros puntos en $S$ tan cerca $0$ como se desee.
El set ${displaystyle mathbb {N} ={0,1,2,ldots }}$ de números naturales es un conjunto discreto.

En el espacio topológico ${displaystyle X={a,b}}$ con topología ${displaystyle tau ={emptyset{a},X},}$ el elemento $a$ es un punto aislado, aunque $b$ pertenece al cierre de ${a}$ (y es, en cierto sentido, "cerrar" a $a$ ). Tal situación no es posible en un espacio Hausdorff.

El lema de Morse establece que los puntos críticos no degenerados de ciertas funciones están aislados.

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Two counterintuitive examples

Considere el conjunto $F$ de puntos $x$ en el intervalo real $(0,1)$ tal que cada dígito $x i$ de su representación binaria cumple las siguientes condiciones:

Cualquiera $x_{i}=0$ o ${displaystyle x_{i}=1.}$
$x_{i}=1$ sólo para los índices finitos $i$ .
Si $m$ denota el índice más grande tal que ${displaystyle x_{m}=1,}$ entonces ${displaystyle x_{m-1}=0.}$
Si $x_{i}=1$ y $<math alttext="{displaystyle ii.m,{displaystyle I wonm,} <img alt="{displaystyle i$ entonces exactamente una de las dos condiciones siguientes sostiene: ${displaystyle x_{i-1}=1}$ o ${displaystyle x_{i+1}=1.}$

Informalmente, estas condiciones significan que cada dígito de la representación binaria de $x$ que es igual a 1 pertenece a un par...0110... excepto por...010... al final.

Ahora, $F$ es un conjunto explícito que consta enteramente de puntos aislados pero tiene la propiedad contraria a la intuición de que su cierre es un conjunto incontable.

Otro set $F$ con las mismas propiedades se puede obtener de la siguiente manera. Vamos $C$ ser el conjunto de los tercios del Cantor, ${displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},ldotsI_{k}}$ ser los intervalos de componentes de ${displaystyle [0,1]-C}$ , y dejar $F$ ser un conjunto consistente en un punto desde cada punto $I k$ . Desde cada uno $I k$ contiene sólo un punto desde $F$ , cada punto de $F$ es un punto aislado. Sin embargo, si $p$ es cualquier punto en el set de Cantor, entonces cada barrio de $p$ contiene al menos uno $I k$ , y por lo tanto al menos un punto $F$ . Se deduce que cada punto del Cantor se encuentra en el cierre de $F$ , y por consiguiente $F$ tiene un cierre incontable.

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