Punto adherente

En matemáticas, un punto adherente (también punto de cierre o punto de cierre o punto de contacto) de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de un espacio topológico ${\displaystyle X.$ es un punto ${\displaystyle x}$ dentro ${\displaystyle X}$ tal que cada barrio de ${\displaystyle x}$ (o equivalentemente, cada barrio abierto de ${\displaystyle x}$) contiene al menos un punto de ${\displaystyle A.}$ Un punto ${\displaystyle x\in X}$ es un punto adherente para ${\displaystyle A}$ si ${\displaystyle x}$ se encuentra en el cierre de ${\displaystyle A,}$ así

${\displaystyle x\in \operatorname {Cl} _{X}A}$ si y sólo si para todos los subconjuntos abiertos ${\displaystyle U\subseteq X,}$ si ${\displaystyle x\in U{\text{ then }U\cap A\neq \varnothing.}$

Esta definición difiere de la de un punto límite de un conjunto, en que para un punto límite se requiere que cada barrio de ${\displaystyle x}$ contiene al menos un punto ${\displaystyle A}$ diferente de ${\displaystyle x.}$ Así, cada punto límite es un punto adherente, pero el contrario no es cierto. Un punto adherente ${\displaystyle A}$ o es un punto límite ${\displaystyle A}$ o elemento de ${\displaystyle A}$ (o ambas). Un punto adherente que no es un punto límite es un punto aislado.

Intuitivamente, tener un conjunto abierto ${\displaystyle A}$ definido como el área dentro (pero no incluyendo) algunos límites, los puntos adherentes ${\displaystyle A}$ son los de ${\displaystyle A}$ incluyendo el límite.

Si ${\displaystyle S.$ es un subconjunto no vacío ${\displaystyle \mathbb {R}$ que está atado arriba, entonces el supremum ${\displaystyle \sup S}$ es adherente a ${\displaystyle S.}$ En el intervalo ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$ es un punto adherente que no está en el intervalo, con la topología habitual de ${\displaystyle \mathbb {R}$

A subset ${\displaystyle S.$ de un espacio métrico ${\displaystyle M}$ contiene todos sus puntos adherentes si y sólo si ${\displaystyle S.$ es (sequencialmente) cerrado en ${\displaystyle M.}$

Suppose ${\displaystyle x\in X}$ y ${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Sí.$ Donde ${\displaystyle X}$ es un subespacio topológico ${\displaystyle Sí.$ (es decir, ${\displaystyle X}$ está dotado con la topología subespacial inducida por ${\displaystyle Sí.$). Entonces... ${\displaystyle x}$ es un punto adherente ${\displaystyle S.$ dentro ${\displaystyle X}$ si ${\displaystyle x}$ es un punto adherente ${\displaystyle S.$ dentro ${\displaystyle Sí.$

En consecuencia, ${\displaystyle x}$ es un punto adherente ${\displaystyle S.$ dentro ${\displaystyle X}$ si y sólo si esto es verdad ${\displaystyle x}$ en cada (o alternativamente, en algunos) superespacio topológico de ${\displaystyle X.}$

Si ${\displaystyle S.$ es un subconjunto de un espacio topológico entonces el límite de una secuencia convergente en ${\displaystyle S.$ no pertenece necesariamente a ${\displaystyle S,}$ sin embargo es siempre un punto adherente ${\displaystyle S.}$ Vamos. ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N}$ ser tal secuencia y dejar ${\displaystyle x}$ sea su límite. Entonces por definición de límite, para todos los barrios ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x}$ existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N}$ tales que ${\displaystyle x_{n}\in U}$ para todos ${\displaystyle n\geq N.}$ En particular, ${\displaystyle x_{N}\in U}$ y también ${\displaystyle x_{N}\in S,}$ Así que... ${\displaystyle x}$ es un punto adherente ${\displaystyle S.}$ En contraste con el ejemplo anterior, el límite de una secuencia convergente en ${\displaystyle S.$ no es necesariamente un punto límite ${\displaystyle S.$; por ejemplo considerar ${\displaystyle S=\{0}$ como subconjunto ${\displaystyle \mathbb {R}$ Entonces la única secuencia en ${\displaystyle S.$ es la secuencia constante ${\displaystyle 0,0,\ldots }$ cuyo límite es ${\displaystyle 0,}$ pero ${\displaystyle 0}$ no es un punto límite ${\displaystyle S;}$ es sólo un punto adherente ${\displaystyle S.}$

• Conjunto cerrado – Complemento de un subconjunto abierto
• Closure (topology) – Todos los puntos y puntos límite en un subconjunto de un espacio topológico
• Límite de una secuencia – valor a la que tiende una secuencia infinita
• Límite de un conjunto – Punto de racimo en un espacio topológicoPáginas que muestran descripciones cortas de objetivos redireccionados
• Límite subsecuente – El límite de una subsecuencia

• Adamson, Iain T, Un libro de trabajo de topología general, Birkhäuser Boston; 1a edición (29 de noviembre de 1995). ISBN 978-0-8176-3844-3.
• Apostol, Tom M., Análisis matemático, Addison Wesley Longman; segunda edición (1974). ISBN 0-201-00288-4
• Lipschutz, Seymour; Esquema de la Topología General de Schaum, McGraw-Hill; 1a edición (1 de junio de 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr., Contraexampos en topologíaHolt, Rinehart y Winston, Inc.
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