Pseudovector

Un bucle de alambre (negro), llevando una corriente I, crea un campo magnético B (azul). Si la posición y la corriente del alambre se reflejan en el plano indicado por la línea desgarrada, el campo magnético que genera, no se refleja en: En su lugar, se reflejaría y revertidos. La posición y la corriente en cualquier punto del alambre son vectores "verdaderos", pero el campo magnético B es un pseudovector.

En física y matemáticas, un pseudovector (o vector axial) es una cantidad que se define en función de algunos vectores u otras formas geométricas, que se asemeja a un vector, y se comporta como un vector en muchas situaciones, pero se convierte en su opuesto si se cambia la orientación del espacio, o si se aplica una transformación rígida impropia, como un reflejo, a toda la figura. Geométricamente, la dirección de un pseudovector reflejado es opuesta a su imagen especular, pero con igual magnitud. Por el contrario, el reflejo de un vector verdadero (o polar) es exactamente igual a su imagen especular.

En tres dimensiones, el rotacional de un campo vectorial polar en un punto y el producto vectorial de dos vectores polares son pseudovectores.

Un ejemplo de pseudovector es la normal a un plano orientado. Un plano orientado se puede definir mediante dos vectores no paralelos, a y b, que abarcan el plano. El vector a × b es una normal al plano (hay dos normales, una a cada lado, la derecha -la regla de la mano determinará cuál), y es un pseudovector. Esto tiene consecuencias en los gráficos por computadora, donde debe tenerse en cuenta al transformar superficies normales.

Varias cantidades en física se comportan como pseudovectores en lugar de vectores polares, incluidos el campo magnético y la velocidad angular. En matemáticas, en tres dimensiones, los pseudovectores son equivalentes a los bivectores, de los que se pueden derivar las reglas de transformación de los pseudovectores. Más generalmente, en el álgebra geométrica n-dimensional, los pseudovectores son los elementos del álgebra con dimensión n − 1, escrita ⋀< sup>n−1Rⁿ. La etiqueta "pseudo" se puede generalizar aún más a pseudoescalares y pseudotensores, los cuales obtienen un cambio de signo adicional bajo rotaciones incorrectas en comparación con un verdadero escalar o tensor.

Ejemplos físicos

Los ejemplos físicos de pseudovectores incluyen torsión, velocidad angular, momento angular, campo magnético y momento dipolar magnético.

Cada rueda del coche a la izquierda alejando de un observador tiene un pseudovector de impulso angular apuntando a la izquierda. Lo mismo es cierto para la imagen del espejo del coche. El hecho de que las flechas apuntan en la misma dirección, en lugar de ser imágenes espejo de uno del otro indica que son pseudovectores.

Considere el momento angular del pseudovector L = Σ(r × p). Conduciendo en un automóvil, y mirando hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de momento angular que apunta hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia el lado derecho e izquierdo del automóvil, el "reflejo" de este momento angular "vector" (visto como un vector ordinario) apunta hacia la derecha, pero el vector de momento angular real de la rueda (que aún gira hacia adelante en el reflejo) aún apunta hacia la izquierda, lo que corresponde al cambio de signo adicional en la reflexión de un pseudovector.

La distinción entre vectores polares y pseudovectores se vuelve importante para comprender el efecto de la simetría en la solución de los sistemas físicos. Considere un bucle de corriente eléctrica en el plano z = 0 que dentro del bucle genera un campo magnético orientado en la dirección z. Este sistema es simétrico (invariante) bajo reflejos de espejo a través de este plano, con el campo magnético sin cambios por el reflejo. Pero se esperaría que reflejar el campo magnético como un vector a través de ese plano lo invirtiera; esta expectativa se corrige al darse cuenta de que el campo magnético es un pseudovector, con el cambio de signo adicional dejándolo sin cambios.

En física, los pseudovectores generalmente son el resultado de tomar el producto vectorial de dos vectores polares o el rotacional de un campo vectorial polar. El producto vectorial y el rotacional se definen, por convención, de acuerdo con la regla de la mano derecha, pero podrían haberse definido con la misma facilidad en términos de una regla de la mano izquierda. Todo el cuerpo de la física que se ocupa de los pseudovectores (diestros) y la regla de la mano derecha podría reemplazarse mediante el uso de pseudovectores (zurdos) y la regla de la mano izquierda sin problemas. Los pseudovectores (izquierdos) así definidos serían opuestos en dirección a los definidos por la regla de la mano derecha.

Mientras que las relaciones vectoriales en la física se pueden expresar de forma libre de coordenadas, se requiere un sistema de coordenadas para expresar vectores y pseudovectores como cantidades numéricas. Los vectores están representados como tripletes ordenados de números: por ejemplo. ${displaystyle mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}) }$, y los pseudovectores están representados en esta forma también. Cuando se transforman entre sistemas de coordenadas izquierda y derecha, las representaciones de pseudovectores no se transforman como vectores, y tratarlas como representaciones vectoriales causarán un cambio de signo incorrecto, de modo que se debe tener cuidado para hacer un seguimiento de qué tripletes ordenados representan vectores, y que representan pseudovectores. Este problema no existe si el producto cruzado de dos vectores es reemplazado por el producto exterior de los dos vectores, que produce un bivector que es un tensor de 2o rango y está representado por una matriz 3×3. Esta representación del 2-tensor se transforma correctamente entre cualquier dos sistemas de coordenadas, independientemente de su entrega.

Detalles

La definición de un "vector" en física (incluidos los vectores polares y los pseudovectores) es más específico que la definición matemática de "vector" (es decir, cualquier elemento de un espacio vectorial abstracto). Según la definición de la física, un "vector" se requiere tener componentes que "transformen" de cierta manera bajo una rotación propia: En particular, si todo en el universo fuera rotado, el vector rotaría exactamente de la misma manera. (El sistema de coordenadas es fijo en esta discusión; en otras palabras, esta es la perspectiva de las transformaciones activas). Matemáticamente, si todo en el universo sufre una rotación descrita por una matriz de rotación R, de modo que un desplazamiento el vector x se transforma en x′ = Rx, entonces cualquier "vector" v debe transformarse de manera similar a v′< /span> = Rv. Este importante requisito es lo que distingue a un vector (que podría estar compuesto, por ejemplo, por x-, y- y z-componentes de la velocidad) de cualquier otro triplete de cantidades físicas (por ejemplo, la longitud, el ancho y la altura de una caja rectangular no pueden considerarse las tres componentes de un vector, ya que rotar la caja no transforma apropiadamente estos tres componentes.)

(En el lenguaje de la geometría diferencial, este requisito es equivalente a definir un vector como un tensor de contravariante de rango uno. En este marco más general, los tensores de rango superior también pueden tener arbitrariamente muchos y rangos covariantes y contravariantes mixtos al mismo tiempo, denotados por índices elevados y reducidos dentro de la convención de suma de Einstein.

Un ejemplo básico y bastante concreto es el de los vectores de fila y columna bajo el operador habitual de multiplicación de matrices: en un orden producen el producto punto, que es solo un escalar y, como tal, un tensor de rango cero, mientras que en el otro producir el producto diádico, que es una matriz que representa un tensor mixto de rango dos, con un índice contravariante y otro covariante. Como tal, la no conmutatividad del álgebra matricial estándar se puede utilizar para realizar un seguimiento de la distinción entre vectores covariantes y contravariantes. De hecho, así es como se llevaba la contabilidad antes de que surgiera la notación tensorial más formal y generalizada. Todavía se manifiesta en cómo se exhiben los vectores base de los espacios tensoriales generales para su manipulación práctica).

La discusión hasta ahora solo se relaciona con las rotaciones adecuadas, es decir, rotaciones alrededor de un eje. Sin embargo, también se pueden considerar rotaciones incorrectas, es decir, un reflejo de espejo posiblemente seguido de una rotación adecuada. (Un ejemplo de una rotación impropia es la inversión a través de un punto en el espacio tridimensional). Suponga que todo en el universo sufre una rotación impropia descrita por la matriz de rotación impropia R, de modo que un vector de posición x se transforma en x′ = Rx. Si el vector v es un vector polar, se transformará en v′ = Rv. Si es un pseudovector, se transformará en v′ = −Rv.

Las reglas de transformación para vectores polares y pseudovectores se pueden establecer de manera compacta como

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {v} ' sensible=Rmathbf {v} {text{(polar vector)}}\mathbf {v} '♪ {det R)(Rmathbf {v}) {text{(pseudovector}}end{aligned}}}}}$

donde los símbolos son como se describe arriba, y la matriz de rotación R puede ser propia o impropia. El símbolo det denota determinante; esta fórmula funciona porque el determinante de las matrices de rotación propias e impropias son +1 y −1, respectivamente.

Comportamiento bajo suma, resta, multiplicación escalar

Suponga que v₁ y v₂ son pseudovectores conocidos, y v ₃ se define como su suma, v₃ = v₁ + v₂. Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R, entonces v₃ se transforma en

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {v_{3} '=Mathbf {v_{1} '+mathbf {v_{2} {det R)(Rmathbf {v_{1})+(det R)(Rmathbf {v_{2})\\det R)(R(mathbf) {v_{1} +mathbf {v_{2})=(det R)(Rmathbf {v_{3}).end{aligned}}}$

Entonces v₃ también es un pseudovector. De manera similar, se puede demostrar que la diferencia entre dos pseudovectores es un pseudovector, que la suma o diferencia de dos vectores polares es un vector polar, que al multiplicar un vector polar por cualquier número real se obtiene otro vector polar y que al multiplicar un pseudovector por cualquier número real número produce otro pseudovector.

Por otro lado, supongamos que se sabe que v₁ es un vector polar, v₂ es se sabe que es un pseudovector, y v₃ se define como su suma, v₃ = v₁ + v₂. Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación impropia R, entonces v₃ se transforma en

${displaystyle mathbf {v_{3} '=Mathbf {v_{1} '+mathbf {v_{2} '=(Rmathbf {v_{1})+(det R)(Rmathbf {v_{2})=R(mathbf {v_{1} +(det R)mathbf {v_{2}}}}$

Por lo tanto, v₃ no es ni un vector polar ni un pseudovector (aunque sigue siendo un vector, según la definición física). Para una rotación impropia, v₃ en general ni siquiera mantiene la misma magnitud:

${fnMicrosoft Sans Serif} Silencio. #Mathbf {v_{2} Silencio,{text{ but }left arrestmathbf {V_{3} 'justo de la vida=izquierda 'Mathbf {v_{1} 'Mathbf {v_{2} "Justo en la vida"$.

Si la magnitud de v₃ fuera a describir una cantidad física medible, eso significaría que las leyes de la física no parecerían las mismas si el universo fuera visto en un espejo. De hecho, esto es exactamente lo que sucede en la interacción débil: Ciertas desintegraciones radiactivas tratan a "izquierda" y "derecha" de manera diferente, un fenómeno que se puede atribuir a la suma de un vector polar con un pseudovector en la teoría subyacente. (Ver violación de paridad.)

Comportamiento bajo productos cruzados

Bajo la inversión los dos vectores cambian de signo, pero su producto cruzado es invariante [los negros son los dos vectores originales, gris son los vectores invertidos, y rojo es su producto de cruz mutua].

Para una matriz de rotación R, ya sea propia o impropia, la siguiente ecuación matemática siempre es verdadera:

${displaystyle (Rmathbf {v_{1})times (Rmathbf {v_{2})=(det R)(R(mathbf {v_{1}times mathbf {v_{2})})}}}}$,

donde v₁ y v₂ son vectores tridimensionales cualesquiera. (Esta ecuación se puede demostrar mediante un argumento geométrico o mediante un cálculo algebraico).

Suponga que v₁ y v₂ son vectores polares conocidos, y v₃ se define como su producto cruzado, v₃ = v ₁ × v₂. Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R, entonces v₃ se transforma en

${displaystyle mathbf {v_{3} '=Mathbf {v_{1} 'times mathbf {v_{2} '=(Rmathbf {v_{1})times (Rmathbf {v_{2}})=(det R)(R(mathbf {v_{1}times mathbf {v_{2}})=(det R)(Rmathbf {v_{3_{3}})}). }$

Entonces v₃ es un pseudovector. Del mismo modo, se puede mostrar:

• vector polar × vector polar
• pseudovector × pseudovector = pseudovector
• vector polar × pseudovector = vector polar
• pseudovector × vector polar = vector polar

Esto es isomorfo a la suma módulo 2, donde "polar" corresponde a 1 y "pseudo" a 0.

Ejemplos

De la definición, está claro que un vector de desplazamiento es un vector polar. El vector de velocidad es un vector de desplazamiento (un vector polar) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también es un vector polar. Del mismo modo, el vector de momento es el vector de velocidad (un vector polar) multiplicado por la masa (un escalar), por lo que es un vector polar. El momento angular es el producto cruzado de un desplazamiento (un vector polar) y un momento (un vector polar) y, por lo tanto, es un pseudovector. Continuando de esta manera, es sencillo clasificar cualquiera de los vectores comunes en física como un pseudovector o un vector polar. (Existen los vectores que violan la paridad en la teoría de las interacciones débiles, que no son ni vectores polares ni pseudovectores. Sin embargo, estos ocurren muy raramente en la física).

La regla de la mano derecha

Arriba, los pseudovectores se han discutido usando transformaciones activas. Un enfoque alternativo, más en la línea de las transformaciones pasivas, es mantener el universo fijo, pero cambiar la 'regla de la mano derecha'; con "regla de la mano izquierda" en todas partes en matemáticas y física, incluso en la definición del producto vectorial y el rotacional. Cualquier vector polar (p. ej., un vector de traslación) no cambiaría, pero los pseudovectores (p. ej., el vector de campo magnético en un punto) cambiarían de signo. Sin embargo, no habría consecuencias físicas, aparte de los fenómenos que violan la paridad, como ciertas desintegraciones radiactivas.

Formalización

Una forma de formalizar pseudovectores es la siguiente: si V es un espacio vectorial n-dimensional, entonces un pseudovector de V es un elemento de la (n − 1)-ésima potencia exterior de V: ⋀ⁿ⁻¹ (V). Los pseudovectores de V forman un espacio vectorial con la misma dimensión que V.

Esta definición no es equivalente a la que requiere un cambio de signo bajo rotaciones incorrectas, pero es general para todos los espacios vectoriales. En particular, cuando n es par, tal pseudovector no experimenta un cambio de signo, y cuando la característica del campo subyacente de V es 2, un cambio de signo no tiene efecto. De lo contrario, las definiciones son equivalentes, aunque debe tenerse en cuenta que sin una estructura adicional (específicamente, ya sea una forma de volumen o una orientación), no hay una identificación natural de ⋀ⁿ⁻¹ (V) con V.

Otra manera de formalizarlos es considerarlos como elementos de un espacio de representación para ${displaystyle {text{O}(n) }$. Los vectores se transforman en la representación fundamental de ${displaystyle {text{O}(n) }$ con datos proporcionados ${displaystyle (mathbb {R} {n},rho _{text{fund}},{text{O}(n)}}$, así que para cualquier matriz ${displaystyle R.$ dentro ${displaystyle {text{O}(n) }$, uno tiene ${displaystyle rho _{text{fund}(R)=R}$. Pseudovectores se transforman en una representación pseudofundamental ${displaystyle (mathbb {R} {n},rho _{text{pseudo}},{text{O}(n)}}$, con ${displaystyle rho _{text{pseudo}(R)=det(R)R}$. Otra manera de ver este homomorfismo ${displaystyle n}$ extraño es que en este caso ${displaystyle {text{O}(n)cong {text{SO}(n)times mathbb {Z} _{2}$. Entonces... ${displaystyle rho _{text{pseudo}}$ es un producto directo de homomorfismos de grupo; es el producto directo del homomorfismo fundamental en ${displaystyle {text{SO}(n) }$ con el homomorfismo trivial en ${displaystyle mathbb {Z} _{2}$.

Álgebra geométrica

En álgebra geométrica, los elementos básicos son los vectores, y estos se usan para construir una jerarquía de elementos usando las definiciones de productos en esta álgebra. En particular, el álgebra construye pseudovectores a partir de vectores.

La multiplicación básica en el álgebra geométrica es el producto geométrico, denotado simplemente yuxtaponiendo dos vectores como en ab. Este producto se expresa como:

${displaystyle mathbf {ab} =mathbf {acdot b} +mathbf {awedge b}}$

donde el término inicial es el producto escalar vectorial habitual y el segundo término se denomina producto cuña. Utilizando los postulados del álgebra, se pueden evaluar todas las combinaciones de productos punto y cuña. Se proporciona una terminología para describir las diversas combinaciones. Por ejemplo, un multivector es una suma de productos de cuña de pliegues de k de varios valores de k. Un producto de cuña con pliegues en k también se conoce como hoja en k.

En el presente contexto, el pseudovector es una de estas combinaciones. Este término se adjunta a un multivector diferente según las dimensiones del espacio (es decir, el número de vectores linealmente independientes en el espacio). En tres dimensiones, el bivector o 2 palas más general se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores y es un pseudovector. En cuatro dimensiones, sin embargo, los pseudovectores son trivectores. En general, es una hoja (n − 1), donde n es la dimensión del espacio y el álgebra. Un espacio n-dimensional tiene vectores base n y también pseudovectores base n. Cada pseudovector base se forma a partir del producto exterior (cuña) de todos menos uno de los vectores base n. Por ejemplo, en cuatro dimensiones donde los vectores base se toman como {e₁, e₂, < b>e₃, e₄}, los pseudovectores se pueden escribir como: {e ₂₃₄, e₁₃₄, e₁₂₄, e₁₂₃}.

Transformaciones en tres dimensiones

Baylis ha comparado las propiedades de transformación del pseudovector en tres dimensiones con las del producto vectorial vectorial. Él dice: "Los términos vector axial y pseudovector a menudo se tratan como sinónimos, pero es bastante útil poder distinguir un bivector de su dual.& #34; Parafraseando a Baylis: dados dos vectores polares (es decir, vectores verdaderos) a y b en tres dimensiones, el producto vectorial compuesto por a y b es el vector normal a su plano dado por c = a × b. Dado un conjunto de vectores de base ortonormales diestros { e_ℓ }, el producto vectorial se expresa en términos de su componentes como:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {cHFF} {cHFF} {cH0}}ccHFF} {cHFF}cH00}}cH00}} {cH00}} {cH00}}}b} {cH00}}}}}}} {b}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {b}} {b}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}} {b}}} {b}}}}}} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

donde los superíndices etiquetan componentes vectoriales. Por otro lado, el plano de los dos vectores está representado por el producto exterior o cuña, denotado por a ∧ b. En este contexto de álgebra geométrica, este bivector se denomina pseudovector y es el dual de Hodge del producto vectorial. El dual de e₁ se presenta como e_{23< /sub> ≡} e₂e₃ =< /span> e₂ ∧ e₃, y así sucesivamente. Es decir, el dual de e₁ es el subespacio perpendicular a e₁, es decir, el subespacio atravesado por < b>e₂ y e₃. Con este entendimiento,

${fnMicrosoft Sans Serif} {f}b} {cHFF}b} {cHFF}b} {ccH0} {cHFF}cHFF}cH0}cH00}cH00} {cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}}}}cH00}}cH00}}cH00}}}}cH00}cH00}cH00}$

Para obtener más información, consulte Operador estrella de Hodge § Tres dimensiones. El producto cruz y el producto cuña están relacionados por:

${displaystyle mathbf {a} wedge mathbf {b} - ¿Qué? {a} times mathbf {b}$

donde i = e₁ ∧ e₂ ∧ e₃ se llama la unidad pseudoescalar. Tiene la propiedad:

${fnMicrosoft {fnMitit} {I} {2}=-1}$

Usando las relaciones anteriores, se ve que si los vectores a y b se invierten cambiando los signos de sus componentes y dejando fijos los vectores base, tanto los el pseudovector y el producto vectorial son invariantes. Por otro lado, si los componentes son fijos y los vectores base e_ℓ están invertidos, entonces el pseudovector es invariante, pero el producto vectorial cambia de signo. Este comportamiento de los productos cruzados es consistente con su definición como elementos similares a vectores que cambian de signo bajo la transformación de un sistema de coordenadas de mano derecha a mano izquierda, a diferencia de los vectores polares.

Nota sobre el uso

Aparte, cabe señalar que no todos los autores en el campo del álgebra geométrica utilizan el término pseudovector, y algunos autores siguen la terminología que no distingue entre el pseudovector y el producto vectorial. Sin embargo, debido a que el producto vectorial no se generaliza a otras dimensiones que no sean tres, la noción de pseudovector basada en el producto cruz tampoco puede extenderse a un espacio de cualquier otro número de dimensiones. El pseudovector como hoja (n – 1) en un espacio n-dimensional no está restringido de esta manera.

Otra nota importante es que los pseudovectores, a pesar de su nombre, son "vectores" en el sentido de ser elementos de un espacio vectorial. La idea de que "un pseudovector es diferente de un vector" solo es cierto con una definición diferente y más específica del término "vector" como se discutió anteriormente.