Pseudoesfera

En geometría, una pseudoesfera es una superficie con curvatura gaussiana negativa constante.

Una pseudosfera de radio R es una superficie en ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$ teniendo curvatura −1/R² en cada punto. Su nombre proviene de la analogía con la esfera del radio R, que es una superficie de curvatura 1/R². El término fue introducido por Eugenio Beltrami en su documento de 1868 sobre modelos de geometría hiperbólica.

Tractroide

Tractroid

La misma superficie también se puede describir como el resultado de hacer girar una tractriz alrededor de su asíntota. Por este motivo, la pseudoesfera también recibe el nombre de tractroide. Como ejemplo, la (media) pseudoesfera (con radio 1) es la superficie de revolución de la tractriz parametrizada por

${displaystyle tmapsto left(t-tanh {t},operatorname {sech} ,{t}right),quad quad 0leq t madeinfty.}$

Es un espacio singular (el ecuador es una singularidad), pero fuera de las singularidades, tiene una curvatura gaussiana negativa constante y, por lo tanto, es localmente isométrico a un plano hiperbólico.

El nombre "pseudosfera" surge porque tiene una superficie bidimensional de curvatura gaussiana negativa constante, al igual que una esfera tiene una superficie con curvatura gaussiana positiva constante. Así como la esfera tiene en cada punto una geometría de curvatura positiva de una cúpula, toda la pseudoesfera tiene en cada punto la geometría de curvatura negativa de una silla de montar.

Ya en 1693, Christiaan Huygens descubrió que el volumen y el área de superficie de la pseudoesfera son finitos, a pesar de la extensión infinita de la forma a lo largo del eje de rotación. Para un radio de borde dado R, el área es 4πR ² tal como lo es para la esfera, mientras que el volumen es 2/3πR ³ y por lo tanto la mitad de una esfera de ese radio.

Espacio de cobertura universal

La pseudoesférica y su relación con otros tres modelos de geometría hiperbólica

La mitad de la pseudoesfera de curvatura −1 está cubierta por el interior de un horociclo. En el modelo de semiplano de Poincaré, una opción conveniente es la parte del semiplano con y ≥ 1. Entonces el mapa de cobertura es periódico en la dirección x del período 2π, y lleva los horociclos y = c a los meridianos de la pseudoesfera y las geodésicas verticales x = c a las tractrices que generan la pseudoesfera. Este mapeo es una isometría local y, por lo tanto, muestra la porción y ≥ 1 del semiplano superior como el espacio de cobertura universal de la pseudoesfera. El mapeo preciso es

${displaystyle (x,y)mapsto {big (}v(operatorname {arcosh} y)cos x,v(operatorname {arcosh} y)sin x,u(operatorname {arcosh} y){big)}}}}}$

dónde

${displaystyle tmapsto {big (}u(t)=t-operatorname {tanh} t,v(t)=operatorname {sech} t{big)}}$

es la parametrización de la tractriz anterior.

Hiperboloide

Deformando la pseudosfera a la superficie de Dini. En geometría diferencial, esta es una transformación de Lie. En las soluciones correspondientes a la ecuación Sine-Gordon, esta deformación corresponde a un Lorentz Boost de la solución estática 1-soliton

En algunas fuentes que utilizan el modelo hiperboloide del plano hiperbólico, el hiperboloide se denomina pseudoesfera. Este uso de la palabra se debe a que el hiperboloide puede considerarse como una esfera de radio imaginario, incrustada en un espacio de Minkowski.

Superficies pseudoesféricas

Una superficie pseudoesférica es una generalización de la pseudoesférica. Una superficie ligeramente inmersa en ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$ con curvatura negativa constante es una superficie pseudoesférica. El tractroide es el ejemplo más simple. Otros ejemplos incluyen las superficies de Dini, las superficies respiratorias y la superficie de Kuen.

Relación con las soluciones de la ecuación Seno-Gordon

Las superficies pseudoesféricas se pueden construir a partir de soluciones a la ecuación Sine-Gordon. Una prueba de boceto comienza reparametrizando el tractoide con coordenadas en las que las ecuaciones de Gauss-Codazzi se pueden reescribir como la ecuación de Seno-Gordon.

En particular, para el tractoide, las ecuaciones de Gauss-Codazzi son la ecuación de Seno-Gordon aplicada a la solución estática del solitón, por lo que se cumplen las ecuaciones de Gauss-Codazzi. En estas coordenadas, la primera y la segunda forma fundamental se escriben de manera que quede claro que la curvatura gaussiana es -1 para cualquier solución de las ecuaciones de Seno-Gordon.

Entonces cualquier solución a la ecuación Sine-Gordon se puede utilizar para especificar una primera y segunda forma fundamental que satisface las ecuaciones Gauss-Codazzi. Hay entonces un teorema que cualquier conjunto de datos iniciales se puede utilizar para al menos localmente especificar una superficie inmersa en ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$.

A continuación se dan algunos ejemplos de soluciones Sine-Gordon y su superficie correspondiente:

• Static 1-soliton: pseudosphere
• Moving 1-soliton: la superficie de Dini
• Solución Breather: Superficie de la respiración
• 2-soliton: superficie de Kuen