Pseudoescalar

En álgebra lineal, un pseudoescalar es una cantidad que se comporta como un escalar, excepto que cambia de signo bajo una inversión de paridad, mientras que un escalar verdadero no lo hace.

Un pseudoescalar, cuando se multiplica por un vector ordinario, se convierte en un pseudovector (o vector axial); una construcción similar crea el pseudotensor. Un pseudoescalar también resulta de cualquier producto escalar entre un pseudovector y un vector ordinario. El ejemplo prototípico de un pseudoescalar es el triple producto escalar, que puede escribirse como el producto escalar entre uno de los vectores del triple producto y el producto cruzado entre los otros dos vectores, donde este último es un pseudovector.

En física

En física, un pseudoescalar denota una cantidad física análoga a un escalar. Ambas son cantidades físicas que asumen un valor único que es invariante bajo rotaciones adecuadas. Sin embargo, bajo la transformación de paridad, los pseudoescalares invierten sus signos mientras que los escalares no. Así como las reflexiones a través de un plano son la combinación de una rotación con la transformación de paridad, los pseudoescalares también cambian de signo bajo las reflexiones.

Motivación

Una de las ideas más poderosas de la física es que las leyes físicas no cambian cuando se cambia el sistema de coordenadas utilizado para describir estas leyes. El hecho de que un pseudoescalar invierta su signo cuando se invierten los ejes de coordenadas sugiere que no es el mejor objeto para describir una cantidad física. En el espacio 3D, las cantidades descritas por un pseudovector son tensores antisimétricos de orden 2, que son invariantes bajo inversión. El pseudovector puede ser una representación más simple de esa cantidad, pero sufre el cambio de signo bajo inversión. De manera similar, en el espacio 3D, el dual de Hodge de un escalar es igual a una constante multiplicada por el pseudotensor tridimensional de Levi-Civita (o pseudotensor de "permutación"); mientras que el dual de Hodge de un pseudoescalar es un tensor antisimétrico (puro) de orden tres. El pseudotensor de Levi-Civita es un pseudotensor completamente antisimétrico de orden 3. Dado que el dual del pseudoescalar es el producto de dos "pseudocantidades", el tensor resultante es un tensor verdadero y no cambia. firmar sobre una inversión de ejes. La situación es similar a la situación de los pseudovectores y tensores antisimétricos de orden 2. El dual de un pseudovector es un tensor antisimétrico de orden 2 (y viceversa). El tensor es una cantidad física invariante bajo una inversión de coordenadas, mientras que el pseudovector no es invariante.

La situación se puede extender a cualquier dimensión. Generalmente, en un espacio n-dimensional, el dual de Hodge de un tensor de orden r será un pseudotensor antisimétrico de orden ( n − r) y viceversa. En particular, en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de la relatividad especial, un pseudoescalar es el dual de un tensor de cuarto orden y es proporcional al pseudotensor de Levi-Civita de cuatro dimensiones.

Ejemplos

• La función de flujo ↑ ↑ ()x,Sí.){displaystyle psi (x,y)} para un flujo de fluido bidimensional, incompresible v()x,Sí.)=.∂ ∂ Sí.↑ ↑ ,− − ∂ ∂ x↑ ↑ .{displaystyle mathbf {v} left(x,yright)=leftlangle partial ¿Qué? ¿Por qué?.
• La carga magnética es un pseudoscalar ya que se define matemáticamente, independientemente de si existe físicamente.
• El flujo magnético es el resultado de un producto de punto entre un vector (la superficie normal) y un pseudovector (el campo magnético).
• La helicidad es la proyección (producto de puntos) de un pseudovector de giro en la dirección del impulso (un verdadero vector).
• Partículas pseudoscalar, es decir, partículas con giro 0 y paridad extraña, es decir, una partícula sin giro intrínseco con función de onda que cambia el signo bajo la inversión de paridad. Ejemplos son mesones pseudoscalar.

En álgebra geométrica

Un pseudoscalar en un álgebra geométrica es un elemento de grado más alto del álgebra. Por ejemplo, en dos dimensiones hay dos vectores de base ortogonal, e1{displaystyle E_{1}, e2{displaystyle E_{2} y el elemento de base de más alto grado asociado

e1e2=e12.{displaystyle E_{1}e_{2}=e_{12}

Entonces un pseudoescalar es un múltiplo de e₁₂. El elemento e₁₂ se eleva a −1 y conmuta con todos los elementos pares, comportándose por lo tanto como el escalar imaginario i en los números complejos. Son estas propiedades escalares las que dan origen a su nombre.

En esta configuración, un pseudoescalar cambia de signo bajo una inversión de paridad, ya que si

()e₁, e₂) →u₁, u₂)

es un cambio de base que representa una transformación ortogonal, entonces

e₁e₂ → u₁u₂ = ±e₁e₂,

donde el signo depende del determinante de la transformación. Los pseudoescalares en álgebra geométrica corresponden, por tanto, a los pseudoescalares en física.