Prueba t de Welch

En estadística, la prueba t de Welch, o prueba t de varianzas desiguales, es una prueba de ubicación de dos muestras que se utiliza para probar la hipótesis (nula) de que dos poblaciones tienen medias iguales. Recibe su nombre por su creador, Bernard Lewis Welch, y es una adaptación de la prueba t de Student, y es más fiable cuando las dos muestras tienen varianzas desiguales y posiblemente tamaños de muestra desiguales. Estas pruebas suelen denominarse pruebas t "no pareadas" o "de muestras independientes", ya que normalmente se aplican cuando las unidades estadísticas subyacentes a las dos muestras que se comparan no se superponen. Dado que la prueba t de Welch ha sido menos popular que la prueba t de Student y puede ser menos familiar para los lectores, un nombre más informativo es "prueba t de varianzas desiguales de Welch" o, para abreviar, "prueba t de varianzas desiguales".

La prueba t de Student supone que las medias de las muestras que se comparan para dos poblaciones se distribuyen normalmente y que las poblaciones tienen varianzas iguales. La prueba t de Welch está diseñada para varianzas poblacionales desiguales, pero se mantiene el supuesto de normalidad. La prueba t de Welch es una solución aproximada al problema de Behrens-Fisher.

La prueba t de Welch define el estadístico t mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle t={\frac {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {X} {\fn} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fnMicrosoft}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\f}} {\f}} {\f}}}} {\fn\f}}}} {\\f}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\fn\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\fn\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Delta {\bar}}={\frac} {\fnMicrosoft}_{1}-{\overline {X}_{2}{\sqrt {\fnMicrosoft Sans Serif} {X}_{2}}}+{s_{{\bar} {X}_{2}}}\,}$

${\displaystyle s_{\i} {X}_{i}={s_{i} \over {\sqrt {N_{i}}}\,}$

Donde ${\displaystyle {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\fnMicrosoft}}}}}} {\f}}}}}} {\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ y ${\displaystyle s_{\i} {X}_{i}}$ son ${\displaystyle i^{\text{th}}}$ muestra media y su error estándar, con ${\displaystyle S_{i}$ denotando la desviación estándar de la muestra corregida y el tamaño de la muestra ${\displaystyle N_{i}$. A diferencia de la prueba t del estudiante, el denominador es no basado en una estimación de las diferencias mancomunadas.

Los grados de libertad ${\displaystyle \nu }$ asociado con esta estimación de varianza se aproxima utilizando la ecuación de Welch–Satterthwaite:

${\displaystyle \nu \quad \approx \quad {\frac {\left(\;{\frac {\fnMicroc}}\;+\;{\fn} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fn}}}}}\\\\\fnMicroc} {\fnMicroc}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicroc}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc {\fn} {\fn} {\cH00}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\n}}}} {\n}}}}} {\n}}}}}}}}}} {\\\\\\n}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\n}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué? {\fn} {\fn} {\cH00}} {\cH00}} {\fn}} {\fn}} {\c}}} {\fn}} {\cH00}}} {\fn}} {\fn}}}}} {\fn} {\f}}}} {\fn}}}}}}}}}}}} {\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ - ¿Qué?$

Esta expresión se puede simplificar cuando ${\displaystyle N_{1}=N_{2}$:

${\displaystyle \nu \approx {\s_\Delta {\bar}}{4}{\nu} {\nu}} {\nu}}} {\nu} - ¿Qué? {X}_{1} {4}+\nu} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {X}_{2} {4}}}}$

Aquí, ${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$ es los grados de libertad asociados con i- Estimaciones de varianza.

La estadística es aproximadamente de la t-distribución ya que tenemos una aproximación de la distribución chi-square. Esta aproximación se hace mejor cuando ambos ${\displaystyle N_{1}$ y ${\displaystyle N_{2}$ son más grandes que 5.

Una vez t y ${\displaystyle \nu }$ se han computado, estas estadísticas se pueden utilizar con la t-distribución para probar una de dos posibles hipótesis nulas:

• Una prueba de dos colas, en la que las dos poblaciones son iguales; o
• Una prueba de un solo detalle, en la que uno de los medios de población es mayor o igual al otro.

Los grados aproximados de libertad son números reales ${\displaystyle \left(\nu \in \mathbb {R} ^{+}\right)}$ y utilizado como tal en software orientado a estadísticas, mientras que se redondean al entero más cercano en hojas de cálculo.

Con base en la prueba t de Welch, también es posible construir un intervalo de confianza bilateral para la diferencia de medias (sin tener que suponer varianzas iguales). Esto se hará tomando:

${\displaystyle CI(\mu) ¿Qué? - ¿Qué? {X}_{1}-{\overline {X}_{2}\pm {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft Sans Serif} {X}_{2}}}+{s_{{\bar} Horas .$

Sobre la base de las definiciones mencionadas ${\displaystyle s_{\i} {X}_{i}}$ y ${\displaystyle \nu }$.

La prueba t de Welch es más robusta que la prueba t de Student y mantiene las tasas de error de tipo I cercanas a las nominales para varianzas desiguales y para tamaños de muestra desiguales en condiciones de normalidad. Además, la potencia de la prueba t de Welch se acerca a la de la prueba t de Student, incluso cuando las varianzas de la población son iguales y los tamaños de muestra están equilibrados. La prueba t de Welch se puede generalizar a más de dos muestras, lo que es más robusto que el análisis de varianza (ANOVA) unidireccional.

No se recomienda realizar pruebas previas para determinar si existen varianzas iguales y luego elegir entre la prueba t de Student o la prueba t de Welch. En cambio, la prueba t de Welch se puede aplicar directamente y sin desventajas sustanciales con respecto a la prueba t de Student, como se indicó anteriormente. La prueba t de Welch sigue siendo sólida para distribuciones sesgadas y muestras de gran tamaño. La confiabilidad disminuye para distribuciones sesgadas y muestras más pequeñas, en las que es posible realizar la prueba t de Welch.

• Estudiante t-test
• Z-test
• Experimento factorial
• Análisis indirecto de la diferencia
• Estadística de dos muestras de Hotelling, una extensión multivariada de Welch t- Felicitaciones