Prueba M de Weierstrass

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Criterio sobre la convergencia de la serie

En matemáticas, la prueba M de Weierstrass es una prueba para determinar si una serie infinita de funciones converge de manera uniforme y absoluta. Se aplica a series cuyos términos son funciones acotadas con valores reales o complejos, y es análoga a la prueba de comparación para determinar la convergencia de series de números reales o complejos. Lleva el nombre del matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897).

Declaración

Prueba M de Weierstrass. Supongamos que (f_n) es una secuencia de funciones con valores reales o complejos definidas en un conjunto A, y que existe una secuencia de números no negativos (M_n) que satisfacen las condiciones

${displaystyle |f_{n}(x)|leq M_{n}}$ para todos $ngeq 1$ y todos $xin A$ , y
${displaystyle sum _{n=1}^{infty }M_{n}}$ converge.

Entonces la serie

sum _{{n=1}}^{{infty }}f_{n}(x)

convege absoluta y uniformemente en A.

El resultado se utiliza a menudo en combinación con el teorema del límite uniforme. Juntos dicen que si, además de las condiciones anteriores, el conjunto A es un espacio topológico y las funciones f_n son continuas en A, entonces la serie converge a una función continua.

Prueba

Considere la secuencia de funciones

{displaystyle S_{n}(x)=sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).}

Desde la serie $sum_{n=1}^{infty}M_{n}$ convergencias y $M n \geq 0$ para todos $n$ , entonces por el criterio de Cauchy,

0:exists N:forall m>n>N:sum _{k=n+1}^{m}M_{k}О О ε ε ■0:∃ ∃ N:О О m■n■N:.. k=n+1mMk.ε ε .{displaystyle forall varepsilon ###exists N:forall m confían en:sum ¿Qué?0:exists N:forall m>n>N:sum _{k=n+1}^{m}M_{k}

Para el $N$ elegido,

n>N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">О О x▪ ▪ A:О О m■n■N{displaystyle forall xin A:forall m confían N.n>N}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318d51605a6d04f1a4e5fad71a91b5e674b2f1a8" style="vertical-align: -0.338ex; width:22.131ex; height:2.176ex;"/>

<math alttext="{displaystyle left|S_{m}(x)-S_{n}(x)right|=left|sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)right|{overset {(1)}{leq }}sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|leq sum _{k=n+1}^{m}M_{k}SilencioSm()x)− − Sn()x)Silencio=Silencio.. k=n+1mfk()x)Silencio≤ ≤ ()1).. k=n+1mSilenciofk()x)Silencio≤ ≤ .. k=n+1mMk.ε ε .{displaystyle left habitS_{m}(x)-S_{n}(x)right sobre la vida=left durablesum ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{k=n+1}^{m} ¿Qué?<img alt="{displaystyle left|S_{m}(x)-S_{n}(x)right|=left|sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)right|{overset {(1)}{leq }}sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|leq sum _{k=n+1}^{m}M_{k}

(La desigualdad (1) se deriva de la desigualdad del triángulo.)

La secuencia $S n (x)$ es, por tanto, una secuencia de Cauchy en R o C, y por completitud, converge a algún número $S (x)$ que depende de x. Para n > N podemos escribir

{displaystyle left|S(x)-S_{n}(x)right|=left|lim _{mto infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)right|=lim _{mto infty }left|S_{m}(x)-S_{n}(x)right|leq varepsilon.}

Desde N no depende de x, esto significa que la secuencia $S n$ de sumas parciales converge uniformemente a la función S. Por lo tanto, por definición, la serie $sum_{k=1}^{infty}f_{k}(x)$ converge uniformemente.

Analógicamente, se puede probar que ${displaystyle sum _{k=1}^{infty }|f_{k}(x)|}$ converge uniformemente.

Generalización

Una versión más general de la prueba M de Weierstrass se cumple si el codominio común de las funciones (f_n) es un espacio de Banach, en cuyo caso la premisa

{displaystyle |f_{n}(x)|leq M_{n}}

debe ser reemplazado por

{displaystyle |f_{n}(x)|leq M_{n}}

Donde $|cdot |$ es la norma en el espacio de Banach. Por ejemplo, el uso de esta prueba en un espacio de Banach, vea el artículo derivado de Fréchet.

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