Prueba de la segunda derivada parcial

El Hessian aproxima la función en un punto crítico con un polinomio de segundo grado.

En matemáticas, la prueba de la segunda derivada parcial es un método de cálculo multivariable que se utiliza para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo local, un máximo o un punto de silla.

Funciones de dos variables

Supongamos que f(x, y) es una función real diferenciable de dos variables cuyas segundas derivadas parciales existen y son continuas. La matriz de Hesse H de f es la matriz 2 × 2 de derivadas parciales de f:

$${\displaystyle H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y) limitf_{xy}(x,y)\\\f_{yx}(x,y) limitf_{yyyyy}(x,y)\end{bmatrix}}}}}$$

Defina D(x, y) como el determinante

$${\displaystyle D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}}$$

1. Si D()a, b) 0 y f_xx()a, b) 0 entonces ()a, b) es un mínimo local f.
2. Si D()a, b) 0 y f_xx()a, b) 0 entonces ()a, b) es un máximo local f.
3. Si D()a, b) 0 entonces ()a, b) es un punto de silla f.
4. Si D()a, b) = 0 entonces el punto ()a, b) podría ser cualquiera de un punto mínimo, máximo o de silla (es decir, la prueba es inconclusiva).

A veces se utilizan otras versiones equivalentes de la prueba. En los casos 1 y 2, el requisito de que f_xx f_yy − f_xy² es positivo en (x, < i>y) implica que f_xx y f_yy tiene el mismo signo allí. Por lo tanto, la segunda condición, que f_xx sea mayor (o menor) que cero, podría ser equivalente ya sea f_yy o tr(H) = f_xx + f_yy ser mayor (o menor) que cero en ese punto.

Una condición implícita en la declaración de la prueba es que si ${\displaystyle f_{xx}=0}$ o ${\displaystyle F_{yyy}=0}$Debe ser el caso de que ${\displaystyle D(a,b)\leq 0,}$ y por lo tanto sólo los casos 3 o 4 son posibles.

Funciones de muchas variables

Para una función f de tres o más variables, existe una generalización de la regla anterior. En este contexto, en lugar de examinar el determinante de la matriz de Hesse, hay que observar los valores propios de la matriz de Hesse en el punto crítico. La siguiente prueba se puede aplicar en cualquier punto crítico a para el cual la matriz de Hesse sea invertible:

1. Si el Hessian es definitivo positivo (equivalentemente, tiene todos los eigenvalues positivos) aEntonces f alcanza un mínimo local a.
2. Si el Hessian es negativo definido (equivalentemente, tiene todos los eigenvalues negativos) aEntonces f alcanza un máximo local a.
3. Si el Hessian tiene eigenvalues positivos y negativos entonces a es un punto de silla para f (y de hecho esto es cierto incluso si a es degenerado).

En aquellos casos no enumerados anteriormente, la prueba no es concluyente.

Para funciones de tres o más variables, el determinante del hessiano no proporciona suficiente información para clasificar el punto crítico, porque el número de condiciones de segundo orden conjuntamente suficientes es igual al número de variables, y la condición de signo en el determinante del hessiano es sólo una de las condiciones. Tenga en cuenta que en el caso de una variable, la condición de Hesse simplemente proporciona la prueba habitual de la segunda derivada.

En el caso dos variables, ${\displaystyle D(a,b)}$ y ${\displaystyle f_{xx}(a,b)}$ son los principales menores de Hessian. Las dos primeras condiciones enumeradas anteriormente en los signos de estos menores son las condiciones para la definición positiva o negativa del hesiano. Para el caso general de un número arbitrario n de variables, hay n condiciones de registro en n principales menores de la matriz hesiana que juntos son equivalentes a la definición positiva o negativa del Hessian ( criterio de Silvester): por un mínimo local, todos los principales menores deben ser positivos, mientras que para un máximo local, los menores con un número impar de filas y columnas necesitan ser negativos y los menores con un número uniforme de filas y columnas necesitan ser positivos. Ver matriz hesiana# Hessian Fronterizo para una discusión que generaliza estas reglas al caso de la optimización con restricciones a la igualdad.

Ejemplos

Encontrar y clasificar los puntos críticos de la función.

${\displaystyle z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2}$,

primero establecemos las derivadas parciales

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}=y(2x+y)(y+1)}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}=x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)}$

igual a cero y resuelve las ecuaciones resultantes simultáneamente para encontrar los cuatro puntos críticos

${\displaystyle (0,0),(0,-1),(1,-1)}$ y ${\displaystyle \left {\frac {3}},-{\frac {3}{4}\right)}$.

Para clasificar los puntos críticos, examinamos el valor del determinante D(x, y) del hessiano de < i>f en cada uno de los cuatro puntos críticos. Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}D(a,b) limit=f_{xx}(a,b)f_{y}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right)^{2}\2=2^b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)$

Ahora conectamos todos los diferentes valores críticos que encontramos para etiquetarlos; tenemos

${\displaystyle D(0,0)=0;~D(0,-1)=-1;~D(1,-1)=-1;~D\left({\frac {3}{8},-{\frac {3} {4}\right)={\frac {27}{128}}}$

Así, la segunda prueba derivada parcial indica que f()x, Sí.) tiene puntos de silla en (0, −1) y (1, −1) y tiene un máximo local ${\displaystyle \left {\frac {3}},-{\frac {3}{4}\right)}$ desde entonces ${\displaystyle f_{xx}=-{\frac {3}{8} {0}$. En el punto crítico restante (0, 0) la segunda prueba derivada es insuficiente, y se debe utilizar pruebas de orden superior u otras herramientas para determinar el comportamiento de la función en este punto. (De hecho, uno puede demostrar que f toma tanto valores positivos como negativos en pequeños barrios alrededor (0, 0) y por lo tanto este punto es un punto de silla f)