Prueba de esfericidad de Mauchly

La prueba de esfericidad de Mauchly o W de Mauchly es una prueba estadística que se utiliza para validar un análisis de varianza (ANOVA) de medidas repetidas. Fue desarrollada en 1940 por John Mauchly.La esfericidad es un supuesto importante de un ANOVA de medidas repetidas. Es la condición de varianzas iguales entre las diferencias entre todos los pares posibles de condiciones intrasujeto (es decir, los niveles de la variable independiente). Si se viola la esfericidad (es decir, si las varianzas de las diferencias entre todas las combinaciones de las condiciones no son iguales), los cálculos de varianza pueden distorsionarse, lo que resultaría en un F-ratio inflado. La esfericidad se puede evaluar cuando hay tres o más niveles de un factor de medida repetida y, con cada factor de medida repetida adicional, aumenta el riesgo de violar la esfericidad. Si se viola la esfericidad, se debe decidir si se selecciona un análisis univariante o multivariante. Si se selecciona un método univariante, el ANOVA de medidas repetidas debe corregirse adecuadamente según el grado de violación de la esfericidad.

Gráfico 1

Pacientes	Tx A	Tx B	Tx C	Tx A - Tx B	Tx A - Tx C	Tx B - Tx C
1	30	27	20	3	10	7
2	35	30	28	5	7	2
3	25	30	20	; 5 -	5	10
4	15	15	12	0	3	3
5	9	12	7	−3	2	5
Diferencia:				17	10.3	10.3

Para ilustrar mejor el concepto de esfericidad, considere una matriz que representa datos de pacientes que reciben tres tipos diferentes de tratamientos farmacológicos en la Figura 1. Sus resultados se representan en el lado izquierdo de la matriz, mientras que las diferencias entre los resultados de cada tratamiento se representan en el lado derecho. Tras obtener las puntuaciones diferenciales para todos los pares de grupos posibles, se pueden contrastar las varianzas de cada diferencia de grupo. En el ejemplo de la Figura 1, la varianza de las diferencias entre los tratamientos A y B (17) parece ser mucho mayor que la varianza de las diferencias entre los tratamientos A y C (10.3) y entre los tratamientos B y C (10.3). Esto sugiere que los datos podrían violar el supuesto de esfericidad. Para determinar si existen diferencias estadísticamente significativas entre las varianzas de las diferencias, se puede realizar la prueba de esfericidad de Mauchly.Desarrollada en 1940 por John W. Mauchly, la prueba de esfericidad de Mauchly es una prueba popular para evaluar si se ha violado el supuesto de esfericidad. La hipótesis nula de esfericidad y la hipótesis alternativa de no esfericidad en el ejemplo anterior pueden expresarse matemáticamente en términos de puntuaciones diferenciales.

${\displaystyle ¿Qué? _{\text{ Tx A}-{\text{Tx B} {2}=\sigma _{\text{ Tx A}-{\text{Tx C} {2}=\sigma _{\text{ Tx B}-{\text{Tx C}} {2}}$

${\displaystyle H_{1}:{\text{Las diferencias no son todas iguales}}$

Interpretar la prueba de Mauchly es bastante directa. Cuando la probabilidad de la estadística de prueba de Mauchly es mayor o igual a ${\displaystyle \alpha }$ (es decir, p ■ ${\displaystyle \alpha }$Con ${\displaystyle \alpha }$ comúnmente se establece a.05), no podemos rechazar la hipótesis nula de que las diferencias son iguales. Por lo tanto, podríamos concluir que el supuesto no ha sido violado. Sin embargo, cuando la probabilidad de la estadística de prueba de Mauchly es menor o igual a ${\displaystyle \alpha }$ (es decir, p c) ${\displaystyle \alpha }$), la esfericidad no se puede asumir y por lo tanto concluiríamos que hay diferencias significativas entre las diferencias de las diferencias. La esfericidad siempre se cumple para dos niveles de un factor de medida repetido y, por lo tanto, es innecesaria para evaluar.

El software estadístico no debería generar resultados para una prueba de esfericidad para dos niveles de un factor de medida repetida; sin embargo, algunas versiones de SPSS generan una tabla de resultados con grados de libertad iguales a 0 y un punto en lugar de un valor numérico p.

Una vez establecida la esfericidad, el F-ratio es válido y, por lo tanto, interpretable. Sin embargo, si la prueba de Mauchly es significativa, los F-ratio obtenidos deben interpretarse con cautela, ya que el incumplimiento de este supuesto puede resultar en un aumento de la tasa de error de tipo I e influir en las conclusiones extraídas del análisis. En los casos en que la prueba de Mauchly sea significativa, es necesario modificar los grados de libertad para obtener un F-ratio válido.En SPSS, se generan tres correcciones: la corrección de Greenhouse-Geisser (1959), la corrección de Huynh-Feldt (1976) y la cota inferior. Cada una de estas correcciones se ha desarrollado para modificar los grados de libertad y producir un F-ratio que reduce la tasa de error de tipo I. El F-ratio real no cambia al aplicar las correcciones; solo cambian los grados de libertad.El estadístico de prueba para estas estimaciones se denota por épsilon (ε) y se encuentra en el resultado de la prueba de Mauchly en SPSS. Épsilon proporciona una medida de desviación de la esfericidad. Al evaluar épsilon, podemos determinar el grado de violación de la esfericidad. Si las varianzas de las diferencias entre todos los pares de grupos posibles son iguales y se cumple exactamente la esfericidad, épsilon será exactamente 1, lo que indica que no hay desviación de la esfericidad. Si las varianzas de las diferencias entre todos los pares de grupos posibles son desiguales y se viola la esfericidad, épsilon será inferior a 1. Cuanto más se aleje épsilon de 1, mayor será la violación.De las tres correcciones, la de Huynh-Feldt se considera la menos conservadora, mientras que la de Greenhouse-Geisser se considera más conservadora, y la corrección de límite inferior es la más conservadora. Cuando épsilon es > 0,75, se considera que la corrección de Greenhouse-Geisser es demasiado conservadora y resultaría en el rechazo incorrecto de la hipótesis nula de esfericidad. Collier y sus colegas demostraron que esto era cierto cuando épsilon se extendía hasta 0,90. Sin embargo, se considera que la corrección de Huynh-Feldt es demasiado liberal y sobreestima la esfericidad. Esto resultaría en el rechazo incorrecto de la hipótesis alternativa de que la esfericidad no se cumple, cuando sí lo es. Girden recomendó una solución a este problema: cuando épsilon es > 0,75, se debe aplicar la corrección de Huynh-Feldt, y cuando épsilon es < 0,75 o no se conoce nada sobre la esfericidad, se debe aplicar la corrección de Greenhouse-Geisser.Otro procedimiento alternativo es el estadístico de prueba multivariante (MANOVA), ya que no requiere el supuesto de esfericidad. Sin embargo, este procedimiento puede ser menos potente que el ANOVA de medidas repetidas, especialmente cuando la violación de la esfericidad no es grande o el tamaño de la muestra es pequeño. O’Brien y Kaiser sugirieron que cuando se tiene una violación grande de la esfericidad (es decir, épsilon < 0,70) y el tamaño de la muestra es mayor que k + 10 (es decir, el número de niveles del factor de medidas repetidas + 10), el MANOVA es más potente; en otros casos, se debe optar por un diseño de medidas repetidas. Además, la potencia del MANOVA depende de las correlaciones entre las variables dependientes, por lo que también debe considerarse la relación entre las diferentes condiciones.SPSS proporciona un cociente F a partir de cuatro métodos diferentes: traza de Pillai, lambda de Wilks, traza de Hotelling y raíz máxima de Roy. En general, lambda de Wilks se recomienda como el estadístico de prueba multivariante más adecuado.Si bien la prueba de Mauchly es una de las más utilizadas para evaluar la esfericidad, no detecta desviaciones de la esfericidad en muestras pequeñas y las sobredetecta en muestras grandes. Por consiguiente, el tamaño de la muestra influye en la interpretación de los resultados. En la práctica, es extremadamente improbable que se cumpla con exactitud el supuesto de esfericidad, por lo que es prudente corregir una posible violación sin realizar una prueba para detectarla.

• Girden, E. R. (1992). ANOVA: medidas reiteradas. Newbury Park: Sage.
• Greenhouse, S. W., " Geisser, S. (1959). "Sobre métodos en el análisis de datos de perfil." Psychometrika, 24, 95-112.
• Huynh, H., " Feldt, L. S. (1976). "Estimación de la corrección de caja para grados de libertad de datos de muestra en diseños de bloques aleatorizados y split-plot". Journal of Educational Statistics, 1, 69-82.
• Mauchly, J. W. (1940). "La prueba de significación para la esférica de una normalidad n- Distribución variable." Los Anales de las Estadísticas Matemáticas11, 204–209.