Prueba de Dickey-Fuller

En estadística, la prueba de Dickey-Fuller prueba la hipótesis nula de que una raíz unitaria está presente en un modelo de series temporales autorregresivo (AR). La hipótesis alternativa es diferente según la versión de la prueba que se utilice, pero suele ser la de estacionariedad o la de estacionariedad de tendencia. La prueba lleva el nombre de los estadísticos David Dickey y Wayne Fuller, quienes la desarrollaron en 1979.

Explicación

Un modelo AR simple es

${\displaystyle Y... Y...$

Donde ${\displaystyle y_{t}$ es la variable de interés, ${\displaystyle t}$ es el índice de tiempo, ${\displaystyle \rho }$ es un coeficiente, y ${\displaystyle U_{t}$ es el término de error (según sea el ruido blanco). Una raíz de unidad está presente si ${\displaystyle \rho =1}$. El modelo no sería estacionario en este caso.

El modelo de regresión se puede escribir como

${\displaystyle \Delta y_{t}=(\rho -1)y_{t-1}+u_{t}=\delta Y...$

Donde ${\displaystyle \Delta }$ es la primera diferencia de operador y ${\displaystyle \delta \equiv \rho -1}$. Este modelo puede ser estimado, y la prueba para una raíz de unidad es equivalente a la prueba ${\displaystyle \delta =0}$. Dado que la prueba se hace a lo largo del término residual en lugar de datos brutos, no es posible utilizar la distribución t estándar para proporcionar valores críticos. Por lo tanto, esta estadística ${\displaystyle t}$ tiene una distribución específica simplemente conocida como la mesa Dickey-Fuller.

Hay tres versiones principales de la prueba:

1. Prueba para una raíz de unidad:

${\displaystyle \Delta y_{t}=\delta Y...$

2. Prueba de raíz unitaria con constante:

${\displaystyle \Delta Y... Y...$

3. Prueba de raíz unitaria con tendencia temporal constante y determinista:

${\displaystyle \Delta Y... Y...$

Cada versión de la prueba tiene su propio valor crítico que depende del tamaño de la muestra. En cada caso, la hipótesis nula es que hay una raíz de unidad, ${\displaystyle \delta =0}$. Las pruebas tienen una baja potencia estadística, ya que a menudo no pueden distinguir entre verdaderos procesos unitarios-root (${\displaystyle \delta =0}$) y procesos cercanos a la unidad-root (${\displaystyle \delta }$ está cerca de cero). Esto se llama el problema de "casi equivalencia de observación".

La intuición detrás de la prueba es la siguiente. Si la serie ${\displaystyle y}$ es estacionario (o estacionario de tendencia), entonces tiene una tendencia a volver a una constante (o deterministamente tendencia) significa. Por lo tanto, los valores grandes tienden a ser seguidos por valores más pequeños (cambios negativos), y pequeños valores por valores mayores (cambios positivos). En consecuencia, el nivel de la serie será un predictor significativo del cambio del próximo período, y tendrá un coeficiente negativo. Si, por otro lado, la serie está integrada, entonces se producirán cambios positivos y cambios negativos con probabilidades que no dependen del nivel actual de la serie; en un paseo aleatorio, donde ahora no afecta a qué manera irás después.

Es notable que

${\displaystyle \Delta Y...$

puede reescribirse como

${\displaystyle Y... ¿Qué?$

con una tendencia determinista proveniente de ${\displaystyle A_{0}t$ y un término de interceptación estocástica procedente de ${\displaystyle Y... ¿Qué?$, resultando en lo que se refiere como tendencia estocástica.

También existe una extensión de la prueba de Dickey-Fuller (DF) llamada prueba de Dickey-Fuller aumentada (ADF), que elimina todos los efectos estructurales (autocorrelación) en la serie temporal y luego prueba usando el mismo procedimiento.

Abordar la incertidumbre sobre la inclusión de los términos de intersección y tendencia temporal determinista

cuál de las tres versiones principales de la prueba debe ser utilizado no es un problema menor. La decisión es importante para el tamaño de la prueba de raíz de unidad (la probabilidad de rechazar la hipótesis nula de una raíz unidad cuando hay una) y el poder de la prueba de raíz de unidad (la probabilidad de rechazar la hipótesis nula de una raíz unidad cuando no hay uno). La exclusión inapropiada del plazo de interceptación o tendencia determinista conduce a sesgos en la estimación del coeficiente δ, lo que conduce al tamaño real para la prueba de raíz de unidad no coincide con el reportado. Si el plazo de la tendencia temporal se excluye inapropiadamente ${\displaystyle A_{0}$ term estimated, then the power of the unit root test can be substantially reduced as a trend may be captured through the random walk with drift model. Por otra parte, la inclusión inapropiada del término de interceptación o tendencia del tiempo reduce el poder de la prueba de raíz de la unidad, y a veces esa reducción de potencia puede ser sustancial.

El uso de conocimientos previos sobre si se debe incluir la tendencia de interceptación y tiempo determinista es, por supuesto, ideal pero no siempre posible. Cuando tal conocimiento previo no está disponible, se han sugerido varias estrategias de prueba (serie de pruebas ordenadas), por ejemplo Dolado, Jenkinson y Sosvilla-Rivero (1990) y Enders (2004), a menudo con la extensión ADF para eliminar la autocorrelación. El anciano y Kennedy (2001) presentan una simple estrategia de prueba que evita pruebas dobles y triples para la raíz de la unidad que puede ocurrir con otras estrategias de prueba, y discutir cómo utilizar conocimientos previos sobre la existencia o no de crecimiento a largo plazo (o reducción) en Sí.. Hacker y Hatemi-J (2010) proporcionan resultados de simulación sobre estos asuntos, incluyendo simulaciones que abarcan las estrategias de pruebas unitarias de Enders (2004) y Elder y Kennedy (2001). Los resultados de simulación se presentan en Hacker (2010) que indican que el uso de un criterio de información como el criterio de información Schwarz puede ser útil para determinar la raíz de unidad y el estado de tendencia dentro de un marco Dickey-Fuller.