Proyección transversal de Mercator

La proyección cartográfica transversal de Mercator (TM, TMP) es una adaptación de la proyección estándar de Mercator. La versión transversal se utiliza ampliamente en sistemas cartográficos nacionales e internacionales de todo el mundo, incluido el Universal Transverse Mercator. Cuando se combina con un datum geodésico adecuado, el Mercator transversal ofrece una alta precisión en zonas de menos de unos pocos grados en la extensión este-oeste.

Aspectos estándar y transversal

La proyección transversal de Mercator es el aspecto transversal de la proyección estándar (o Normal) de Mercator. Comparten la misma construcción matemática subyacente y, en consecuencia, el Mercator transversal hereda muchos rasgos del Mercator normal:

• Ambas proyecciones son cilíndricas: para el Mercador Normal, el eje del cilindro coincide con el eje polar y la línea de la tangencia con el ecuador. Para el Mercador transversal, el eje del cilindro se encuentra en el plano ecuatorial, y la línea de la tangencia es cualquier meridiano elegido, por lo que designó el meridiano central.
• Ambas proyecciones pueden modificarse para secantar formas, lo que significa que la escala ha sido reducida para que el cilindro rebane por el globo modelo.
• Ambos existen en versiones esféricas y elipsoidales.
• Ambas proyecciones son conformes, por lo que la escala de puntos es independiente de dirección y local las formas están bien conservadas;
• Ambas proyecciones tienen una escala constante en la línea de la tangencia (el Ecuador para el Mercator normal y el meridiano central para el transversal).

Dado que el meridiano central del Mercator transversal se puede elegir a voluntad, se puede utilizar para construir mapas de alta precisión (de anchura estrecha) en cualquier parte del mundo. La forma secante y elipsoidal de Mercator transversal es la más ampliamente aplicada de todas las proyecciones para mapas precisos a gran escala.

Mercator transversal esférica

Al construir un mapa en cualquier proyección, normalmente se elige una esfera para modelar la Tierra cuando la extensión de la región cartografiada excede unos pocos cientos de kilómetros de longitud en ambas dimensiones. Para mapas de regiones más pequeñas, se debe elegir un modelo elipsoidal si se requiere mayor precisión; ver la siguiente sección. La forma esférica de la proyección transversal de Mercator fue una de las siete nuevas proyecciones presentadas, en 1772, por Johann Heinrich Lambert. (El texto también está disponible en una traducción al inglés moderno). Lambert no nombró sus proyecciones; el nombre Mercator transversal data de la segunda mitad del siglo XIX. Las principales propiedades de la proyección transversal se presentan aquí en comparación con las propiedades de la proyección normal.

Proyecciones esféricas normales y transversales

	Mercator normal			Mercator transversal
•	Los proyectos meridianos centrales a la línea recta xOtros meridianos proyectan líneas rectas con xconstante.		•	Los proyectos meridianos centrales a la línea recta x= 0. Meridianos 90 grados este y oeste del proyecto meridiano central a líneas de constanteSí. por los polos proyectados. Todos los demás meridianos proyectan curvas complicadas.
•	El Ecuador proyecta a la línea recta Sí.= 0 y paralelo círculos proyecto a líneas rectas de constanteSí..		•	El Ecuador proyecta a la línea recta Sí.= 0 pero todos los otros paralelos son curvas cerradas complicadas.
•	Los meridianos y paralelos proyectados intersecan en ángulos rectos.		•	Los meridianos y paralelos proyectados intersecan en ángulos rectos.
•	La proyección no tiene límites en la Sí. dirección. Los postes se encuentran en el infinito.		•	La proyección no tiene límites en la x dirección. Los puntos en el Ecuador a 90 grados del meridiano central se proyectan a infinito.
•	La proyección es conforme. Las formas de elementos pequeños están bien conservadas.		•	La proyección es conforme. Las formas de elementos pequeños están bien conservadas.
•	Aumento de la distorsión conSí.. La proyección no es adecuada para los mapas del mundo. La distorsión es pequeña cerca del ecuador y la proyección (particularmente en su forma ellipsoidal) es adecuada para el mapeo preciso de las regiones ecuatoriales.		•	Aumento de la distorsión conx. La proyección no es adecuada para los mapas del mundo. La distorsión es pequeña cerca del meridiano central y la proyección (en particular en su forma elipsoidal) es adecuada para el mapeo preciso de regiones estrechas.
•	Groenlandia es casi tan grande como África; la zona real es aproximadamente una catorce la de África.		•	Cuando Groenlandia y África están cerca del meridiano central, sus formas son buenas y la proporción de las áreas es una buena aproximación a los valores reales.
•	El factor de escala de puntos es independiente de la dirección. Es una funciónSí. en la proyección. (En la esfera sólo depende de la latitud). La escala es verdadera en el Ecuador.		•	El factor de escala de puntos es independiente de la dirección. Es una función x en la proyección. (En la esfera depende tanto de la latitud como de la longitud). La escala es verdadera en el meridiano central.
•	La proyección es razonablemente exacta cerca del Ecuador. Escala a una distancia angular de 5° (en latitud) lejos del ecuador es menos de 0,4% mayor que la escala en el ecuador, y es aproximadamente 1,54% mayor a una distancia angular de 10°.		•	La proyección es razonablemente exacta cerca del meridiano central. Escala a una distancia angular de 5° (en longitud) lejos del meridiano central es menos de 0,4% mayor que la escala en el meridiano central, y es aproximadamente 1,54% a una distancia angular de 10°.
•	En la versión secant la escala se reduce en el ecuador y es verdad en dos líneas paralelas al ecuador proyectado (y correspondiente a dos círculos paralelos en la esfera).		•	En la versión secant la escala se reduce en el meridiano central y es verdad en dos líneas paralelas al meridiano central proyectado. (Las dos líneas no son meridianos.)
•	Convergencia (el ángulo entre meridianos proyectados y líneas de rejilla con x constante) es idénticamente cero. Grid norte y verdadero norte coinciden.		•	La convergencia es cero en el Ecuador y no cero en todas partes. Aumenta a medida que se acercan los polos. Grid norte y verdadero norte no coinciden.
•	Líneas Rhumb (de azimut constante en la esfera) proyecto a líneas rectas.

Mercator transversal elipsoidal

La forma elipsoidal de la proyección transversal de Mercator fue desarrollada por Carl Friedrich Gauss en 1822 y analizada más a fondo por Johann Heinrich Louis Krüger en 1912.

La proyección se conoce con varios nombres: (elipsoidal) transversal de Mercator en EE. UU.; Gauss conforme o Gauss-Krüger en Europa; o Gauss-Krüger transversal Mercator de manera más general. Además de ser simplemente un sinónimo de la proyección cartográfica elipsoidal transversal de Mercator, el término Gauss-Krüger puede usarse de otras maneras ligeramente diferentes:

• A veces, el término se utiliza para un método computacional particular para el Mercator transversal: es decir, cómo convertir entre latitud/longitud y coordenadas proyectadas. No hay una simple fórmula cerrada para hacerlo cuando la tierra se modela como un elipsoide. Pero... Gauss–Krüger método da los mismos resultados que otros métodos, al menos si usted está suficientemente cerca del meridiano central: menos de 100 grados de longitud, decir. Más lejos, algunos métodos se vuelven inexactos.
• El término también se utiliza para un conjunto particular de proyecciones transversales de Mercator utilizadas en zonas estrechas en Europa y América del Sur, al menos en Alemania, Turquía, Austria, Eslovenia, Croacia, Bosnia-Herzegovina, Serbia, Montenegro, Macedonia del Norte, Finlandia y Argentina. Esto Gauss–Krüger El sistema es similar al sistema universal de Mercator transversal, pero los meridianos centrales de las zonas Gauss–Krüger son sólo 3° separados, en lugar de 6° en UTM.

La proyección es conforme con una escala constante en el meridiano central. (Existen otras generalizaciones conformes del Mercator transversal desde la esfera hasta el elipsoide, pero sólo Gauss-Krüger tiene una escala constante en el meridiano central). A lo largo del siglo XX se adoptó el Mercator transversal de Gauss-Krüger, de una forma u otra, por muchas naciones (y organismos internacionales); además proporciona la base para la serie de proyecciones Universal Transverse Mercator. La proyección Gauss-Krüger es ahora la proyección más utilizada en la cartografía precisa a gran escala.

La proyección, desarrollada por Gauss y Krüger, se expresó en términos de series de potencias de orden bajo que se suponía divergían en dirección este-oeste, exactamente como en la versión esférica. El cartógrafo británico E. H. Thompson demostró que esto era falso, cuya versión exacta (forma cerrada) inédita de la proyección, reportada por Laurence Patrick Lee en 1976, mostró que la proyección elipsoidal es finita (abajo). Ésta es la diferencia más llamativa entre las versiones esférica y elipsoidal de la proyección transversal de Mercator: Gauss-Krüger proporciona una proyección razonable del elipsoide completo al plano, aunque su aplicación principal es la precisión a gran escala. mapeo "cerrar" al meridiano central.

Características

• Cerca del meridiano central (Greenwich en el ejemplo anterior) la proyección tiene baja distorsión y las formas de África, Europa occidental, la Isla Británica, Groenlandia y la Antártida se comparan favorablemente con un globo.
• Las regiones centrales de las proyecciones transversales en la esfera y ellipsoide son indistinguibles en las proyecciones a pequeña escala mostradas aquí.
• Los meridianos a 90° este y oeste del proyecto meridiano central elegido a líneas horizontales a través de los polos. El hemisferio más distante se proyecta sobre el polo norte y debajo del polo sur.
• El ecuador bisects Africa, cruza América del Sur y luego continúa hacia el límite exterior completo de la proyección; los bordes superior e inferior y los bordes derecho e izquierdo deben ser identificados (es decir, representan las mismas líneas en el globo). (Indonesia está bisecta.)
• La distorsión aumenta hacia los límites derecho e izquierdo de la proyección, pero no aumenta a la infinidad. Observe las Islas Galápagos donde el meridiano occidental de 90° se encuentra con el Ecuador en la parte inferior izquierda.
• El mapa es conforme. Líneas que se intersectan en cualquier ángulo especificado en el proyecto ellipsoide en líneas que se intersectan en el mismo ángulo de la proyección. En particular, los paralelos y los meridianos intersecan a 90°.
• El factor de escala de puntos es independiente de la dirección en cualquier punto para que la forma de un pequeño región está razonablemente bien conservada. La condición necesaria es que la magnitud del factor de escala no debe variar demasiado sobre la región de que se trate. Tenga en cuenta que mientras América del Sur está distorsionada grandemente la isla de Ceylán es lo suficientemente pequeña como para ser razonablemente moldeada aunque está lejos del meridiano central.
• La elección del meridiano central afecta mucho la apariencia de la proyección. Si 90°W es elegido entonces todo el continente americano es razonable. Si 145°E es elegido el Lejano Oriente es bueno y Australia está orientada hacia el norte hacia arriba.

En la mayoría de las aplicaciones, el sistema de coordenadas Gauss-Krüger se aplica a una franja estrecha cerca de los meridianos centrales donde las diferencias entre las versiones esférica y elipsoidal son pequeñas, pero importantes para un mapeo preciso. Las series directas de escala, convergencia y distorsión son funciones de la excentricidad y tanto de la latitud como de la longitud en el elipsoide: las series inversas son funciones de la excentricidad y de x e y en la proyección. En la versión secante, las líneas de escala verdadera en la proyección ya no son paralelas al meridiano central; se curvan ligeramente. El ángulo de convergencia entre los meridianos proyectados y las líneas constantes de la cuadrícula x ya no es cero (excepto en el ecuador), por lo que se debe corregir el rumbo de la cuadrícula para obtener un acimut desde el norte verdadero. La diferencia es pequeña, pero no despreciable, especialmente en latitudes altas.

Implementaciones de la proyección Gauss-Krüger

En su artículo de 1912, Krüger presentó dos soluciones distintas, distinguidas aquí por el parámetro de expansión:

• Krüger –n (párrafos 5 a 8): Fórmula para la proyección directa, dando las coordenadas x y Sí., son las expansiones de cuarta orden en términos del tercer aplanamiento, n (la relación de la diferencia y la suma de los ejes principales y menores del elipsoide). Los coeficientes se expresan en términos de latitud (φ), longitud (λ), eje principal (a) y excentricidad (e). La fórmula inversa para φ y λ son también cuarto orden de expansión en n pero con coeficientes expresados en términos de x, Sí., a y e.
• Krüger –λ (párrafos 13 y 14): Formulae dando las coordenadas de proyección x y Sí. son expansiones (de órdenes 5 y 4 respectivamente) en términos de longitud λ, expresado en radianos: los coeficientes se expresan en términos de φ, a y e. La proyección inversa para φ y λ son las expansiones de sexto orden en términos de la relación x/a, con coeficientes expresados en términos Sí., a y e. (Véase el Mercator transversal: Redfearn series.)

Las series Krüger–λ fueron las primeras en implementarse, posiblemente porque eran mucho más fáciles de evaluar con las calculadoras manuales de mediados del siglo XX.

• Lee-Redfearn-OSGB: En 1945, L. P. Lee confirmó el λ expansiones de Krüger y propuso su adopción por el OSGB pero Redfearn (1948) señaló que no eran exactos debido a (a) las latitudes relativamente altas de Gran Bretaña y (b) el gran ancho de la zona mapeado, más de 10 grados de longitud. Redfearn extendió la serie a octavo orden y examinó qué términos eran necesarios para alcanzar una precisión de 1 mm (medición de tierra). La serie Redfearn sigue siendo la base de las proyecciones de mapas OSGB.
• Thomas-UTM: El λ expansiones de Krüger también fueron confirmadas por Paul Thomas en 1952: están fácilmente disponibles en Snyder. Sus fórmulas de proyección, totalmente equivalentes a las presentadas por Redfearn, fueron adoptadas por la Agencia de Defensa de los Estados Unidos como base para la UTM. También se incorporan en el convertidor de coordenadas Geotrans puesto a disposición de la Agencia Nacional de Geoespacial-Inteligencia de los Estados Unidos [2].
• Otros países: La serie Redfearn es la base para la cartografía geodésica en muchos países: Australia, Alemania, Canadá, Sudáfrica, por nombrar algunos. (En el Apéndice A.1 de Stuifbergen 2009.)
• Se han propuesto muchas variantes de la serie Redfearn, pero sólo las adoptadas por los organismos cartográficos nacionales son de importancia. Por ejemplo de modificaciones que no tienen este estatus véase Transverse Mercator: Bowring series). Todas estas modificaciones han sido eclipsadas por el poder de las computadoras modernas y el desarrollo de alto orden n-series outlined below. La precisa serie Redfearn, aunque de bajo orden, no puede ser ignorada ya que todavía están consagradas en las definiciones cuasi legales de OSGB y UTM, etc.

La serie Krüger–n ha sido implementada (hasta el cuarto orden en n) por las siguientes naciones.

• Francia
• Finlandia
• Suecia
• Japón

Engsager y Poder han implementado versiones de orden superior de la serie Krüger–n hasta el séptimo orden y Kawase hasta el décimo orden. Además de una expansión de la serie para la transformación entre latitud y latitud conforme, Karney ha implementado la serie al trigésimo orden.

Gauss-Krüger exacto y precisión de la serie truncada

L. P. Lee describe una solución exacta de E. H. Thompson. Está construido en términos de funciones elípticas (definidas en los capítulos 19 y 22 del manual del NIST) que pueden calcularse con precisión arbitraria utilizando sistemas informáticos algebraicos como Maxima. Karney (2011) describe una implementación de este tipo de la solución exacta.

La solución exacta es una herramienta valiosa para evaluar la precisión de las series n y λ truncadas. Por ejemplo, la serie original de Krüger–n de 1912 se compara muy favorablemente con los valores exactos: difieren en menos de 0,31 μm dentro de los 1000 km del meridiano central y en menos de 1 mm hasta los 6000 km. Por otro lado, la diferencia entre la serie Redfearn utilizada por Geotrans y la solución exacta es de menos de 1 mm en una diferencia de longitud de 3 grados, lo que corresponde a una distancia de 334 km del meridiano central en el ecuador pero a sólo 35 km en el límite norte de una zona UTM. Por tanto, las series de Krüger–n son mucho mejores que las series de Redfearn λ.

La serie Redfearn empeora a medida que la zona se amplía. Karney analiza Groenlandia como un ejemplo instructivo. La larga y delgada masa de tierra está centrada en 42W y, en su punto más ancho, no está a más de 750 km de ese meridiano, mientras que la longitud alcanza casi 50 grados. Krüger–n tiene una precisión de 1 mm, pero la versión Redfearn de la serie Krüger–λ tiene un error máximo de 1 kilómetro.

La propia serie de Karney de octavo orden (en n) tiene una precisión de 5 nm dentro de 3900 km del meridiano central.

Fórmulas para el Mercator transversal esférico

Mercator normal esférico revisitado

Las proyecciones cilíndricas normales se describen en relación con un cilindro tangencial en el ecuador con eje a lo largo del eje polar de la esfera. Las proyecciones cilíndricas se construyen para que todos los puntos sobre un meridiano sean proyectados a puntos con ${displaystyle x=alambda}$ (donde) ${displaystyle a}$ es el radio terrestre) y ${displaystyle y}$ es una función prescrita ${displaystyle phi }$. Para una proyección tangente del Mercator Normal la fórmula (unique) que garantiza la conformalidad son:

${displaystyle x=alambda ,qquad y=aln left[tan left({frac {pi {4}}+{frac {varphi }{2}right)right]={frac {a}{2}ln left[{frac {1+sin varphi }{1-sin varphi }right].}$

La conformidad implica que la escala de puntos, k, es independiente de la dirección: es función únicamente de la latitud:

${displaystyle k(varphi)=sec varphi.}$

Para la versión secante de la proyección hay un factor de k₀ en el lado derecho de todas estas ecuaciones: esto asegura que la escala sea igual a < i>k₀ en el ecuador.

Retículas normales y transversales

La figura de la izquierda muestra cómo se relaciona un cilindro transversal con la retícula convencional en la esfera. Es tangencial a algún meridiano elegido arbitrariamente y su eje es perpendicular al de la esfera. Los ejes x e y definidos en la figura están relacionados con el ecuador y el meridiano central exactamente como lo están en la proyección normal. En la figura de la derecha, una retícula girada está relacionada con el cilindro transversal de la misma manera que el cilindro normal está relacionado con la retícula estándar. El 'ecuador', los 'polos' (E y W) y 'meridianos' de la retícula rotada se identifican con el meridiano central elegido, los puntos en el ecuador a 90 grados al este y al oeste del meridiano central y los círculos máximos que pasan por esos puntos.

La posición de un punto arbitrario (φ,λ) en la retícula estándar también se puede identificar en términos de ángulos en la retícula girada: φ′ (ángulo M′CP) es una latitud efectiva y −λ′ (ángulo M′CO) se convierte en una longitud efectiva. (El signo menos es necesario para que (φ′,λ′) estén relacionados con la retícula rotada de la misma manera que (φ, λ) están relacionados con la retícula estándar). Los ejes cartesianos (x′,y′) están relacionados con la retícula rotada de la misma manera que los ejes (x, y) los ejes están relacionados con la retícula estándar.

La proyección tangente transversal de Mercator define las coordenadas (x′,y′) en términos de −λ′ y φ ′ por las fórmulas de transformación de la proyección tangente Normal de Mercator:

${displaystyle x'=-alambda ',qquad y'={frac {a}{2}ln left[{frac {1+sin varphi '}{1-sin varphi '}right].}$

Esta transformación proyecta el meridiano central a una línea recta de longitud finita y al mismo tiempo proyecta los grandes círculos a través de E y W (que incluyen el ecuador) a infinitas líneas rectas perpendiculares al meridiano central. Los verdaderos paralelos y meridianos (distintos del ecuador y el meridiano central) no tienen una relación simple con la retícula rotada y se proyectan en curvas complicadas.

La relación entre las retículas

Los ángulos de las dos retículas se relacionan mediante el uso de trigonometría esférica en el triángulo esférico NM′P definido por el meridiano verdadero que pasa por el origen, OM′N, el meridiano verdadero que pasa por un punto arbitrario, MPN, y el gran círculo WM. 'EDUCACIÓN FÍSICA. Los resultados son:

${displaystyle {begin{aligned}sin varphi ' sensible=sin lambda cos varphi\tan lambda ' limit=sec lambda tan varphi.end{aligned}}}$

Fórmulas de transformación directa

Las fórmulas directas que dan las coordenadas cartesianas (x,y) se derivan inmediatamente de lo anterior. Establecer x = y′ y y = −x′ (y restaurar los factores de k₀ para acomodar versiones secantes)

${displaystyle {begin{aligned}x(lambdavarphi) {1}{2}k_{0}aln left[{frac {1+sin lambda cos varphi }{1-sin lambda cos varphi }right],[5px]y(lambdavarphi) limit=k_{0}aarctanleft[secn]$

Las expresiones anteriores se dan en Lambert y también (sin derivaciones) en Snyder, Maling y Osborne (con todos los detalles).

Fórmulas de transformación inversa

Invertir las ecuaciones anteriores da

${displaystyle {begin{aligned}lambda (x,y) {x}{k_{0}a} {frac {y}{k_{0}a}right],[5px]varphi (x,y) limit=arcsin left[{mbox{sech};{frac {x}{k_{0}a}sin {frac {y}{k_}a}right].end{aligned}}}$

Escala de puntos

En términos de las coordenadas con respecto a la retícula rotada, el factor de escala de puntos viene dado por k = sec φ′: esto se puede expresar en términos de coordenadas geográficas o en términos de las coordenadas de proyección:

${displaystyle {begin{aligned}k(lambdavarphi) {k_{0}{sqrt {1-sin ^{2}lambda cos ^{2}varphi }}}}\[5px]k(x,y) limit=k_{0}cosh left({frac {x}{0}a}a}}}right)end{aligned}}}}}}}}}}}}}{0}}}}}}}{0}}}}{0}}}}}}}{0}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

La segunda expresión muestra que el factor de escala es simplemente una función de la distancia desde el meridiano central de la proyección. Un valor típico del factor de escala es k₀ = 0,9996, de modo que k = 1 cuando x es aproximadamente 180 km. Cuando x tiene aproximadamente 255 km y k₀ = 1,0004: el factor de escala está dentro del 0,04 % de la unidad en una franja de aproximadamente 510 km de ancho.

Convergencia

El ángulo de convergencia γ en un punto de la proyección se define por el ángulo medido desde el meridiano proyectado, que define el norte verdadero, a una línea de cuadrícula de constante x, que define el norte de la cuadrícula. Por lo tanto, γ es positivo en el cuadrante al norte del ecuador y al este del meridiano central y también en el cuadrante al sur del ecuador y al oeste del meridiano central. La convergencia debe agregarse a un rumbo de cuadrícula para obtener un rumbo desde el norte verdadero. Para la secante transversal de Mercator, la convergencia puede expresarse en términos de coordenadas geográficas o en términos de coordenadas de proyección:

${displaystyle {begin{aligned}gamma (lambdavarphi) reducida=arctan(tan lambda sin varphi),\[5px]gamma (x,y) limit=arctan left(tanh {frac {x}{k_{0}a}tan {frac {y} {k_{0}a}right)end{aligned}}}$

Fórmulas para el elipsoidal transversal de Mercator

Detalles de implementaciones reales

• Serie Gauss-Kruger en longitud: Mercator transversal: Redfearn series
• Serie Gauss-Kruger en n (tercer aplanamiento): Mercator transversal: flattening series
• Exacto (forma cerrada) proyección transversal Mercator: Mercador transversal: solución exacta
• Cuarta orden Redfearn series por fórmulas concisas (ejemplo): Mercator transversal: Serie Bowring

Coordenadas, cuadrículas, este y norte

Las coordenadas de proyección resultantes de los distintos desarrollos del elipsoidal transversal de Mercator son coordenadas cartesianas de modo que el meridiano central corresponde al eje x y el ecuador corresponde al y eje. Tanto x como y están definidos para todos los valores de λ y ϕ. La proyección no define una cuadrícula: la cuadrícula es una construcción independiente que podría definirse arbitrariamente. En la práctica, las implementaciones nacionales y UTM sí utilizan cuadrículas alineadas con los ejes cartesianos de la proyección, pero son de extensión finita, con orígenes que no necesariamente coinciden con la intersección del meridiano central con el ecuador.

El verdadero origen de la cuadrícula siempre se toma en el meridiano central, de modo que las coordenadas de la cuadrícula serán negativas al oeste del meridiano central. Para evitar este tipo de coordenadas de cuadrícula negativas, la práctica estándar define un origen falso al oeste (y posiblemente al norte o al sur) del origen de la cuadrícula: las coordenadas relativas al origen falso definen orientaciones y nortes que siempre serán positivos. El falso este, E₀, es la distancia del origen verdadero de la cuadrícula al este del origen falso. El norte falso, N₀, es la distancia del origen verdadero de la cuadrícula al norte del origen falso. Si el verdadero origen de la cuadrícula está en la latitud φ₀ en el meridiano central y el factor de escala, el meridiano central es k₀ entonces estas definiciones dan el este y el norte por:

${displaystyle {begin{aligned}E paciente=E_{0}+x(lambdavarphi),\[5px]N limit=N_{0}+y(lambdavarphi)-k_{0}m(varphi _{0}).end{aligned}}}}}}}}}}$

Los términos "eastings" y "nortes" No me refiero a direcciones estrictas hacia el este y el norte. Las líneas de cuadrícula de la proyección transversal, distintas de los ejes x e y, no corren de norte a sur ni de este a oeste según lo definido por los paralelos y meridianos. Esto es evidente a partir de las proyecciones globales que se muestran arriba. Cerca del meridiano central las diferencias son pequeñas pero mensurables. La diferencia entre las líneas de la cuadrícula norte-sur y los meridianos verdaderos es el ángulo de convergencia.