Proyección ortográfica

Proyección ortográfica (también proyección ortogonal y analemma) es un medio para representar objetos tridimensionales en dos dimensiones. La proyección ortográfica es una forma de proyección paralela en la que todas las líneas de proyección son ortogonales al plano de proyección, lo que da como resultado que cada plano de la escena aparezca en una transformación afín en la superficie de visualización. El anverso de una proyección ortográfica es una proyección oblicua, que es una proyección paralela en la que las líneas de proyección no son ortogonales al plano de proyección.

El término ortográfico a veces se refiere a una técnica de proyección multivista en la que los ejes principales o los planos del sujeto también son paralelos al plano de proyección para crear las vistas primarias. Si los planos o ejes principales de un objeto en una proyección ortográfica no son paralelos al plano de proyección, la representación se denomina axonométrica o vista auxiliar. (Proyección axonométrica es sinónimo de proyección paralela.) Los subtipos de vistas primarias incluyen planos, elevaciones y secciones; los subtipos de vistas auxiliares incluyen proyecciones isométricas, dimétricas y trimétricas.

Una lente que proporciona una proyección ortográfica es una lente telecéntrica de espacio de objetos.

Geometría

Comparación de varios tipos de proyección gráfica

Varias proyecciones y cómo se producen

Las tres opiniones. Los porcentajes muestran la cantidad de deshorte.

Una proyección ortográfica simple sobre el plano z = 0 se puede definir mediante la siguiente matriz:

P=[100010000]{displaystyle P={begin{bmatrix}1 tendría0}}

Para cada punto v = (v_x, v_y, v_z), el punto transformado Pv sería

Pv=[100010000][vxvSí.vz]=[vxvSí.0]{displaystyle Pv={bmatrix}1 limit0 âTMa âTMa âTMa âTMa {0 âTMa} {begin{bmatrix} {x}v_{x}v_{y}v_{z}end{bmatrix}}={btrix} {b}{x} {b}} {b} {c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c

A menudo, es más útil usar coordenadas homogéneas. La transformación anterior se puede representar para coordenadas homogéneas como

P=[1000010000000001]{displaystyle P={begin{bmatrix}1 tendría0 unos cuantos 0 tres veces0 tres veces 0, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres.

Para cada vector homogéneo v = (v_x, v_y, v_z, 1), el vector transformado Pv sería

Pv=[1000010000000001][vxvSí.vz1]=[vxvSí.01]{displaystyle {}fn} {fn}cH0} {cH0}} {cH}}cH} {cH}} {cH00}}}cH0}}cH0}}cH0}cH0} {cH0}c}cH00}cH0} {b} {b} {cH}}c}c}c}c}b}b}b}c}b} {c}c}c}b}cH0}b}cH0}b}c}c}c}c}c}c} {c} {c}c}cH0}c}cH0}c}cH0}cH0}c}cH0}b}b}cH0}c}cH0}c}c}c}c}c

En gráficos por computadora, una de las matrices más comunes utilizadas para la proyección ortográfica se puede definir mediante una tupla de 6 (izquierda, derecha, abajo, superior, cerca, lejos), que define los planos de recorte. Estos planos forman un cuadro con la esquina mínima en (izquierda, abajo, -cerca) y la esquina máxima en (derecha, arriba, -lejos).

La caja se traslada para que su centro esté en el origen, luego se escala al cubo unitario que se define teniendo una esquina mínima en (−1,−1,−1) y una esquina máxima en (1,1,1).

La transformada ortográfica puede estar dada por la siguiente matriz:

P=[2derecho− − izquierda00− − derecho+izquierdaderecho− − izquierda02arriba− − inferior0− − arriba+inferiorarriba− − inferior00− − 2lejos− − cerca− − lejos+cercalejos− − cerca0001]{displaystyle P={begin{bmatrix}{frac {2}{text{right} {text{left}}}}}} {0 limit0 limit0 {text{}}} golpe{frac} {text{right} {text{}}}} golpe{frac}}} {}}}} {}}}} {}}} {}}}}}}} {2}{text{top} {text{bottom}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {text{top}} âTMa}} {text{top}}} âTMa âTMa âTMa {text{}}}}} âTMa {frac {-2}{text{far} {text{near}}} {frac}} {f}} {f}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} { {text{far}}} âtext{near}}} âTMa {f}} âTMa {f}}} âTMa}} âTMa {f}}}} â âtext{near}}}} â âtext{near}}}}}}}}\0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}}}}\\\\\0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\}\\\\0}}}}}}}}}}\\0}\\\0}}}}}}}}}}

que se puede dar como una escala S seguida de una traducción T de la forma

P=ST=[2derecho− − izquierda00002arriba− − inferior00002lejos− − cerca00001][100− − izquierda+derecho2010− − arriba+inferior200− − 1− − lejos+cerca20001]{displaystyle P=ST={begin{bmatrix}{frac {2}{text{right}-{text{left}}}}}} {0 Pulso0 {2}{text{top}} {text{bottom}}}} {}} {}}} {}}}} {}}}} {}}}}} {} {}} {}}}} {}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\# {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\ {2}{text{far}} {text{near}}}}}} {}}}}}}} {begin{bmatrix} {bmatrix}1 {0}0}==0 âTMa}{frac {}} âTMa âTMa} âTMa âTMa} { âTMa} âTMa { âTMa} âTMa} âTMa { âTMa} âTMa} âTMa { âTMa} âTMa} âTMa { âTMa âTMa âTMa} âTMa} âTMa âTMa} âTMa} âTMa} âTMa âTMa} âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa â {}} âTMa âTMa} { âTMa} âTMa {f}} {m}} { â âTMa} âTMa} â âTMa} âTMa} âTMa} âTMa} â âTMa {text{text{f}}}}}}}}}}}} â â â â â âm} â âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} âm} â {}} âTMa} âTMa { âTMa} âTMa {f}} âTMa {f}} âTMa} âTMa} âTMa {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\0}}}}}}}}}

Se define la inversión de la matriz de proyección P⁻¹, que se puede utilizar como matriz de no proyección:

P− − 1=[derecho− − izquierda200izquierda+derecho20arriba− − inferior20arriba+inferior200lejos− − cerca− − 2− − lejos+cerca20001]{displaystyle {text{}}}{2}}}} {f}}}}}}} {f}} {f}}}m} {f} {f} {f}} {f}}}}}} {m} {f} {f}m} {m}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}m}m}}} {} {m} {m}m}m}}}}}}}}}m} {m} {m}m}m} {m}m} {m} {m}}m}}}}m}m}}m}}}}}}}}}}}}}m}}}}}m}}}}m}}}}}}}}}} {fnK} {\fnK}}}}m} {fnK} {f}}} {}}}}}}}}}} {m}}\}}}}}\0}}}}}}\}\}\\\\\\\\m}m}{\m}}}\\\\\\\\\\\\\m}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\ {fnK} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}} {fn}}}}}}}}}} {\fn}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\fnfn\\\\fnfnfn\fnfn\\\fnfnfnfnfnfnfnfnfn\fn\\\\\fnfn\fn\\fnfnfn\fn\\\fn\\\fn {}} âTMa} âTMa { âTMa} âTMa {f}} âTMa {f}} âTMa} âTMa} âTMa {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\0}}}}}}}}}

Tipos

Clasificación Proyección ortográfica y algunas proyecciones 3D

Tres subtipos de proyección ortográfica son proyección isométrica, proyección dimétrica y proyección trimétrica, según el ángulo exacto en el que se vista se desvía de la ortogonal. Por lo general, en el dibujo axonométrico, como en otros tipos de ilustraciones, se muestra que un eje del espacio es vertical.

En la proyección isométrica, la forma de proyección axonométrica más utilizada en el dibujo de ingeniería, la dirección de la vista es tal que los tres ejes del espacio aparecen igualmente acortados y hay un ángulo común de 120 ° entre ellos. Como la distorsión provocada por el escorzo es uniforme, se conserva la proporcionalidad entre longitudes y los ejes comparten una escala común; esto facilita la capacidad de tomar medidas directamente desde el dibujo. Otra ventaja es que los ángulos de 120° se construyen fácilmente usando solo un compás y una regla.

En la proyección dimétrica, la dirección de la mirada es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente acortados, de los cuales la escala correspondiente y los ángulos de presentación se determinan según el ángulo de la mirada; la escala de la tercera dirección se determina por separado. Las aproximaciones dimensionales son comunes en los dibujos dimétricos.

En la proyección trimétrica, la dirección de la vista es tal que los tres ejes del espacio aparecen desigualmente escorzados. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por separado según lo dicte el ángulo de visión. Las aproximaciones dimensionales en dibujos trimétricos son comunes y la perspectiva trimétrica rara vez se usa en dibujos técnicos.

Proyección multivista

Símbolos utilizados para definir si proyección multivista es un tercer ángulo (derecha) o un primer ángulo (izquierda).

En la proyección multivista, se producen hasta seis imágenes de un objeto, denominadas vistas primarias, con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se posicionan entre sí de acuerdo con cualquiera de dos esquemas: proyección de primer ángulo o tercer ángulo. En cada uno, las apariencias de las vistas se pueden considerar como proyectadas en planos que forman una caja de seis lados alrededor del objeto. Aunque se pueden dibujar seis lados diferentes, generalmente tres vistas de un dibujo brindan suficiente información para hacer un objeto tridimensional. Estas vistas se conocen como vista frontal, vista superior y vista final. Otros nombres para estas vistas incluyen plano, alzado y sección. Cuando el plano o eje del objeto representado no es paralelo al plano de proyección, y donde se ven varios lados de un objeto en la misma imagen, se denomina vista auxiliar. Así, la proyección isométrica, la proyección dimétrica y la proyección trimétrica se considerarían vistas auxiliares en la proyección multivista. Una característica típica de la proyección de múltiples vistas es que un eje del espacio generalmente se muestra como vertical.

Cartografía

Proyección ortoográfica (aspecto ecuatorial) del hemisferio oriental 30°W–150°E

Un mapa de proyección ortográfica es una proyección cartográfica de la cartografía. Al igual que la proyección estereográfica y la proyección gnomónica, la proyección ortográfica es una proyección en perspectiva (o azimutal), en la que la esfera se proyecta en un plano tangente o plano secante. El punto de perspectiva para la proyección ortográfica está a una distancia infinita. Representa un hemisferio del globo tal como aparece desde el espacio exterior, donde el horizonte es un gran círculo. Las formas y áreas están distorsionadas, particularmente cerca de los bordes.

La proyección ortográfica se conoce desde la antigüedad, estando bien documentados sus usos cartográficos. Hiparco usó la proyección en el siglo II a. C. para determinar los lugares de salida y puesta de estrellas. Aproximadamente en el año 14 a. C., el ingeniero romano Marcus Vitruvius Pollio usó la proyección para construir relojes de sol y calcular las posiciones del sol.

Vitruvio también parece haber inventado el término ortográfico, del griego orthos ("recto") y graphē ("dibujo" 34;) – para la proyección. Sin embargo, el nombre analemma, que también significaba un reloj de sol que mostraba la latitud y la longitud, era el nombre común hasta que François d'Aguilon de Amberes promovió su nombre actual en 1613.

Los mapas más antiguos que se conservan en la proyección aparecen como dibujos grabados en madera de globos terrestres de 1509 (anónimo), 1533 y 1551 (Johannes Schöner) y 1524 y 1551 (Apian).