Proyección Mollweide
La proyección Mollweide es una proyección cartográfica pseudocilíndrica de áreas iguales que se utiliza generalmente para mapas del mundo o de la esfera celeste. También se la conoce como proyección de Babinet, proyección homalográfica, proyección homológica y proyección elíptica. La proyección cambia la precisión del ángulo y la forma por la precisión de las proporciones en el área y, como tal, se utiliza donde se necesita esa propiedad, como en mapas que representan distribuciones globales.
La proyección fue publicada por primera vez por el matemático y astrónomo Karl (o Carl) Brandan Mollweide (1774–1825) de Leipzig en 1805. Fue reinventada y popularizada en 1857 por Jacques Babinet, quien le dio el nombre de proyección homalográfica. . La variación homolográfica surgió del uso frecuente en los atlas estelares del siglo XIX.
Propiedades
Mollweide es una proyección pseudocilíndrica en la que el ecuador se representa como una línea horizontal recta perpendicular a un meridiano central que mide la mitad de la longitud del ecuador. Los otros paralelos se comprimen cerca de los polos, mientras que los otros meridianos están igualmente espaciados en el ecuador. Los meridianos a 90 grados este y oeste forman un círculo perfecto y toda la Tierra está representada en una elipse proporcional 2:1. La proporción del área de la elipse entre cualquier paralelo dado y el ecuador es la misma que la proporción del área del globo entre ese paralelo y el ecuador, pero a expensas de la distorsión de la forma, que es significativa en el perímetro del elipse, aunque no tan severa como en la proyección sinusoidal.
La distorsión de la forma se puede reducir utilizando una versión interrumpida. Una proyección de Mollweide sinusoidal interrumpida descarta el meridiano central en favor de semimeridianos alternos que terminan en ángulo recto con el ecuador. Esto tiene el efecto de dividir el globo en lóbulos. Por el contrario, una proyección Mollweide interrumpida paralela utiliza múltiples meridianos centrales separados, dando el efecto de múltiples elipses unidas en el ecuador. Más raramente, la proyección se puede dibujar de manera oblicua para desplazar las áreas de distorsión hacia los océanos, permitiendo que los continentes sigan siendo más fieles a su forma.
El Mollweide, o sus propiedades, ha inspirado la creación de varias otras proyecciones, incluida la homolosina de Goode, la de van der Grinten y la eumórfica de Boggs.
Formulación matemática
La proyección se transforma de latitud y longitud a las coordenadas del mapa x e y mediante las siguientes ecuaciones:
![{displaystyle {begin{aligned}x&=R{frac {2{sqrt {2}}}{pi }}left(lambda -lambda _{0}right)cos theta\[5px]y&=R{sqrt {2}}sin thetaend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d102dfe56f0528f69f7465783a19bd26243213)
donde θ es un ángulo auxiliar definido por
y λ es la longitud, λ0 es el meridiano central, φ es la latitud y R es el radio del globo a proyectar. El mapa tiene un área 4πR2, conforme a la superficie Área del globo generador. La coordenada x tiene un rango de [−2R√2, 2R√2], y la coordenada y tiene un rango de [−R√< span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2, R√2].
La ecuación (1) se puede resolver con una convergencia rápida (pero lenta cerca de los polos) usando la iteración de Newton-Raphson:
Si φ = ±π/2, luego también θ = ±π/2. En ese caso, se debe omitir la iteración; de lo contrario, puede resultar la división por cero.
Existe una transformación inversa de forma cerrada:
![{displaystyle {begin{aligned}varphi &=arcsin {frac {2theta +sin 2theta }{pi }},\[5px]lambda &=lambda _{0}+{frac {pi x}{2R{sqrt {2}}cos theta }},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486692ca2140e06ab80675638f1aeee7482b4078)
donde θ se puede encontrar mediante la relación
Las transformaciones inversas permiten encontrar la latitud y longitud correspondientes a las coordenadas del mapa x y y.