Proyección isométrica

Algunas formas 3D usando el método de dibujo isométrico. Las dimensiones negras son las longitudes verdaderas que se encuentran en una proyección ortográfico. Las dimensiones rojas se utilizan al dibujar con el método de dibujo isométrico. Las mismas formas 3D dibujadas en proyección isométrica se verían más pequeñas; una proyección isométrica mostrará los lados del objeto predestinados, aproximadamente un 80%.

La proyección isométrica es un método para representar visualmente objetos tridimensionales en dos dimensiones en dibujos técnicos y de ingeniería. Es una proyección axonométrica en la que los tres ejes de coordenadas aparecen igualmente acortados y el ángulo entre dos cualesquiera de ellos es de 120 grados.

Resumen

Isométrico dibujo de un cubo

Roturas de cámara necesarias para lograr esta perspectiva

Clasificación Proyección yosométrica y algunas proyecciones 3D

El término "isométrico" proviene del griego para "igual medida", lo que refleja que la escala a lo largo de cada eje de la proyección es la misma (a diferencia de otras formas de proyección gráfica).

Se puede obtener una vista isométrica de un objeto eligiendo la dirección de visualización de modo que los ángulos entre las proyecciones de x, y y z los ejes son todos iguales, o 120°. Por ejemplo, con un cubo, esto se hace mirando primero directamente hacia una cara. A continuación, el cubo se gira ±45° sobre el eje vertical, seguido de una rotación de aproximadamente 35,264° (precisamente arcsen 1⁄√3 o arctan 1⁄√2, que está relacionado con el ángulo mágico) sobre el eje horizontal. Tenga en cuenta que con el cubo (ver imagen) el perímetro del dibujo 2D resultante es un hexágono regular perfecto: todas las líneas negras tienen la misma longitud y todas las caras del cubo tienen la misma área. El papel cuadriculado isométrico se puede colocar debajo de un papel de dibujo normal para ayudar a lograr el efecto sin cálculo.

De manera similar, se puede obtener una vista isométrica en una escena 3D. Comenzando con la cámara alineada paralela al suelo y alineada con los ejes de coordenadas, primero se gira horizontalmente (alrededor del eje vertical) ±45°, luego 35,264° alrededor del eje horizontal.

Otra forma en que se puede visualizar la proyección isométrica es considerando una vista dentro de una habitación cúbica comenzando en una esquina superior y mirando hacia la esquina inferior opuesta. El eje x se extiende en diagonal hacia abajo y hacia la derecha, el eje y se extiende en diagonal hacia abajo y hacia la izquierda, y el eje z se extiende hacia arriba. La profundidad también se muestra por altura en la imagen. Las líneas trazadas a lo largo de los ejes están a 120° entre sí.

En todos estos casos, al igual que con todas las proyecciones axonométricas y ortográficas, dicha cámara necesitaría una lente telecéntrica del espacio del objeto para que las longitudes proyectadas no cambien con la distancia a la cámara.

El término "isométrico" a menudo se usa erróneamente para referirse a proyecciones axonométricas, en general. Sin embargo, en realidad existen tres tipos de proyecciones axonométricas: isométricas, dimétricas y oblicuas.

Ángulos de rotación

Desde los dos ángulos necesarios para una proyección isométrica, el valor del segundo puede parecer contradictorio y merece una explicación más detallada. Primero imaginemos un cubo con lados de longitud 2 y su centro en el origen del eje, lo que significa que todas sus caras intersecan los ejes a una distancia de 1 desde el origen. Podemos calcular la longitud de la línea desde su centro hasta la mitad de cualquier borde como √2 usando Pitágoras' teorema. Al girar el cubo 45° sobre el eje x, el punto (1, 1, 1) se convertirá en (1, 0, √2) como se muestra en el diagrama. La segunda rotación tiene como objetivo traer el mismo punto en el eje z positivo y, por lo tanto, necesita realizar una rotación de valor igual al arcotangente de 1⁄√ 2 que es aproximadamente 35.264°.

Matemáticas

Hay ocho orientaciones diferentes para obtener una vista isométrica, según en qué octante mire el espectador. La transformación isométrica desde un punto a_x,y,z en el espacio 3D a un punto b_x,y en el espacio 2D mirando hacia el primer octante se puede escribir matemáticamente con matrices de rotación como:

[cxcSí.cz]=[1000#⁡ ⁡ α α pecado⁡ ⁡ α α 0− − pecado⁡ ⁡ α α #⁡ ⁡ α α ][#⁡ ⁡ β β 0− − pecado⁡ ⁡ β β 010pecado⁡ ⁡ β β 0#⁡ ⁡ β β ][axaSí.az]=16[30− − 31212− − 22][axaSí.az]{fnMicrosoft}\\\fnK}\\\fnMicrosoft {}\\fn}\\fnK} {fnK}={f}= {begin{bmatrix}1 âTMa âTMa {fncip}0 âTMa {} alpha } {sin alpha {cccccH0} {cccccccc\cH00}} {begin{bmatrix}{cosbeta } {0}ccccsbeta }} p > p > } {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnK} {fnMicroc {f}}} {begin{bmatrix}{sqrt {6}}} {begin{bmatrix}{sqrt} {sqrt}}} {fncip}}} {begin{bmatrix}{sqrt}}} {f}}}}} {f} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}} {f}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnf}}}}} {3}} {3}1}2}\\sqrt {2}} {\sqrt {2} {sqrt {2}} {sqrt {2}}\\\\fn} {\fn} {\fn} {\f}}\\\\fn}\\\\\fn}}}\\\\\\fn}\\\\fn}}}}}\\\fn}}\\\\fn}}}}}}}\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\fn}}}}}}}} ¿Qué?

donde α = arcsen(tan 30°) ≈ 35,264° y β = 45°. Como se explicó anteriormente, se trata de una rotación alrededor del eje vertical (aquí y) por β, seguida de una rotación alrededor del eje horizontal (aquí x) eje por α. Luego sigue una proyección ortográfica al plano xy:

[bxbSí.0]=[100010000][cxcSí.cz]{fnMicrosoft}\\\fnK}\\\\\fnMicrosoft}\\\\fnMicrosoft} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {c} _{x}\\\\\\\fnMicrosoft {c} ¿Qué?

Las otras 7 posibilidades se obtienen rotando hacia los lados opuestos o no, y luego invirtiendo la dirección de la vista o no.

Historia y limitaciones

Modelo de motor de perforación óptica (1822), dibujado en 30° isométrico.

Ejemplo de arte axonométrico en una edición ilustrada de la Romance of the Three KingdomsChina, siglo XV.

Formalizado por primera vez por el profesor William Farish (1759–1837), el concepto de isometría había existido en una forma empírica aproximada durante siglos. Desde mediados del siglo XIX, la isometría se convirtió en una "herramienta invaluable para los ingenieros, y poco después se incorporaron la axonometría y la isometría en el plan de estudios de los cursos de formación arquitectónica en Europa y los EE. UU." Sin embargo, según Jan Krikke (2000), la 'axonometria se originó en China. Su función en el arte chino era similar a la perspectiva lineal en el arte europeo. La axonometría, y la gramática pictórica que la acompaña, ha adquirido un nuevo significado con el advenimiento de la computación visual.

Un ejemplo de las limitaciones de la proyección isométrica. La diferencia de altura entre las bolas rojas y azules no se puede determinar localmente.

Las escaleras del Penrose representan una escalera que parece ascender (anteriormente) o descender (en horario) sin embargo forma un bucle continuo.

Al igual que con todos los tipos de proyección paralela, los objetos dibujados con proyección isométrica no parecen más grandes o más pequeños a medida que se acercan o se alejan del espectador. Si bien es ventajoso para los dibujos arquitectónicos en los que las medidas deben tomarse directamente, el resultado es una distorsión percibida, ya que, a diferencia de la proyección en perspectiva, no es así como funcionan normalmente la visión humana o la fotografía. También puede resultar fácilmente en situaciones en las que la profundidad y la altitud son difíciles de medir, como se muestra en la ilustración de la derecha o arriba. Esto puede parecer que crea formas paradójicas o imposibles, como las escaleras de Penrose.

Uso en videojuegos y pixel art

Los gráficos de videojuegos isométricos son gráficos empleados en videojuegos y pixel art que utilizan una proyección paralela, pero que inclinan el punto de vista para revelar facetas del entorno que de otro modo no serían visibles desde una perspectiva de arriba hacia abajo o una vista lateral, por lo que produciendo un efecto tridimensional. A pesar del nombre, los gráficos isométricos por computadora no son necesariamente realmente isométricos, es decir, el estilo x, y y z no están necesariamente orientados 120° entre sí. otro. En su lugar, se utiliza una variedad de ángulos, siendo la proyección dimétrica y una proporción de píxeles de 2:1 los más comunes. Los términos "3⁄4 perspectiva", "3⁄4 vista", "2.5D" y "pseudo 3D" también se utilizan a veces, aunque estos términos pueden tener significados ligeramente diferentes en otros contextos.

Una vez común, la proyección isométrica dejó de serlo con la llegada de sistemas de gráficos 3D más potentes y, a medida que los videojuegos comenzaron a centrarse más en la acción y los personajes individuales. Sin embargo, los videojuegos que utilizan proyección isométrica, especialmente los juegos de rol de computadora, han experimentado un resurgimiento en los últimos años dentro de la escena de los juegos independientes.