Proyección escalar

En matemáticas, la proyección de escalar de un vector a{displaystyle mathbf {a} en (o sobre) un vector b,{displaystyle mathbf} también conocido como scalar resolute de a{displaystyle mathbf {a} en la dirección de b,{displaystyle mathbf} es dado por:

s=.a.#⁡ ⁡ Silencio Silencio =a⋅ ⋅ b^ ^ ,{displaystyle s=leftfnMitbf {a}rightfnsecos theta =mathbf {a} {fnh}

donde el operador ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } denota un producto de puntos, b^ ^ {displaystyle {hat {mathbf} } es el vector de unidad en la dirección b,{displaystyle mathbf} .a.{displaystyle leftfnMitbf {a} rightfnse} es la longitud de a,{displaystyle mathbf {a} y Silencio Silencio {displaystyle theta } es el ángulo entre a{displaystyle mathbf {a} y b{displaystyle mathbf}.

El término componente escalar se refiere a veces a la proyección escalar, ya que, en coordenadas cartesianas, los componentes de un vector son las proyecciones escalares en las direcciones de los ejes de coordenadas.

La proyección escalar es un escalar, igual a la longitud de la proyección ortogonal de a{displaystyle mathbf {a} on b{displaystyle mathbf}, con un signo negativo si la proyección tiene una dirección opuesta con respecto a b{displaystyle mathbf}.

Multiplicación de la proyección de escalar a{displaystyle mathbf {a} on b{displaystyle mathbf} por b^ ^ {displaystyle mathbf {}} la convierte en la proyección ortogonal antes mencionada, también llamada proyección vectorial a{displaystyle mathbf {a} on b{displaystyle mathbf}.

Definición basada en el ángulo θ

Si el ángulo Silencio Silencio {displaystyle theta } entre a{displaystyle mathbf {a} y b{displaystyle mathbf} es conocido, la proyección de escalar a{displaystyle mathbf {a} on b{displaystyle mathbf} puede ser calculado utilizando

s=.a.#⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle s=leftfnMitbf {a}rightfnsta.} ()s=.a1.{displaystyle s=leftfnMithbf {a}justofnh00} en la figura)

La fórmula anterior se puede invertir para obtener el ángulo, Silencio.

Definición en términos de a y b

Cuando Silencio Silencio {displaystyle theta } no se conoce, el cosino de Silencio Silencio {displaystyle theta } puede ser calculado en términos de a{displaystyle mathbf {a} y b,{displaystyle mathbf} por la siguiente propiedad del producto del punto a⋅ ⋅ b{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b}:

a⋅ ⋅ b.a..b.=#⁡ ⁡ Silencio Silencio {displaystyle {frac {Mathbf} cdot mathbf {b} {leftf}mathbf {a}rightfnseleftfnegomathbf {b} rightf}=cos theta }

Por esta propiedad, la definición de la proyección de escalar s{displaystyle s} se convierte en:

s=.a1.=.a.#⁡ ⁡ Silencio Silencio =.a.a⋅ ⋅ b.a..b.=a⋅ ⋅ b.b.{displaystyle s=leftfnMitbf {a} _{1}rightcos theta =leftmathbf {a}derechaderecha=leftperfectmathbf {a}derechaderecha {frac {Mathbf {a} cdot mathbf {b} {leftf}mathbf {a}rightfnselefthmhmhb}h}={frac {mathbf {a} {fnh} cdot mathbf {b} {fnMitbf {b} rightf}},}

Propiedades

La proyección de escalar tiene un signo negativo si <math alttext="{displaystyle 90^{circ }90∘ ∘ c)Silencio Silencio ≤ ≤ 180∘ ∘ {displaystyle 90^{circ }traducidotheta leq 180^{circ }<img alt="{displaystyle 90^{circ }. Coincide con la longitud de la proyección vectorial correspondiente si el ángulo es menor a 90°. Más exactamente, si la proyección vectorial es denotada a1{displaystyle mathbf {a} ¿Qué? y su longitud .a1.{displaystyle leftfnstimamathbf {a} _{1}rightfnh00}:

s=.a1.{displaystyle s=leftfnMithbf {a}justofnh00} si 0∘ ∘ ≤ ≤ Silencio Silencio ≤ ≤ 90∘ ∘ ,{displaystyle 0^{fnMicrosoft} }leq theta leq 90^{circ }}

s=− − .a1.{displaystyle s=-leftfnMithbf {a}justofn} si <math alttext="{displaystyle 90^{circ }90∘ ∘ c)Silencio Silencio ≤ ≤ 180∘ ∘ .{displaystyle 90^{circ }traducidotheta leq 180^{circ }<img alt="{displaystyle 90^{circ }