Proyección azimutal de áreas iguales de Lambert

La proyección azimutal de áreas iguales de Lambert es un mapeo particular de una esfera a un disco. Representa con precisión el área en todas las regiones de la esfera, pero no representa con precisión los ángulos. Debe su nombre al matemático suizo Johann Heinrich Lambert, quien lo anunció en 1772. "Zenithal" al ser sinónimo de "azimutal", la proyección también se conoce como proyección cenital de áreas iguales de Lambert.

La proyección azimutal de Lambert se utiliza como proyección cartográfica en cartografía. Por ejemplo, el Atlas Nacional de EE. UU. utiliza una proyección azimutal de áreas iguales de Lambert para mostrar información en la aplicación en línea Map Maker, y la Agencia Europea de Medio Ambiente recomienda su uso para la cartografía europea con fines de análisis y visualización estadísticos. También se utiliza en disciplinas científicas como la geología para trazar las orientaciones de líneas en el espacio tridimensional. Este trazado se ayuda con un tipo especial de papel cuadriculado llamado red de Schmidt.

Definición

Para definir la proyección azimutal de Lambert, imagine un plano tangente a la esfera en algún punto S de la esfera. Sea P cualquier punto de la esfera distinto de la antípoda de S. Sea d la distancia entre S y P en un espacio tridimensional (no la distancia a lo largo de la superficie de la esfera ). Luego, la proyección envía P a un punto P′ en el plano que está a una distancia d de S.

Para hacer esto más preciso, hay un círculo único centrado en S, que pasa por P y es perpendicular al plano. Interseca el plano en dos puntos; sea P′ el que esté más cerca de P. Este es el punto proyectado. Ver la figura. La antípoda de S se excluye de la proyección porque el círculo requerido no es único. El caso de S es degenerado; S se proyecta sobre sí mismo, a lo largo de un círculo de radio 0.

Se requieren fórmulas explícitas para realizar la proyección en una computadora. Considere la proyección centrada en S = (0, 0, −1) en la esfera unitaria, que es el conjunto de puntos (x, y, z) en el espacio tridimensional R³ tal que x² + y² + z² = 1. En coordenadas cartesianas (x, y, z) en la esfera y (X, Y) en el plano, la proyección y su inversa se describen entonces por

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y) {2}{1-z}}\,x,{\sqrt {\frac {2}{1-z}}\,y\right),\(x,y,z) â=\left({\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}} {4}}}}}\,X,{\sqrt {1-{\sq\sq\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}{\c}}} {\c}}}}}}}}} {1- {\c}{\c}}}}{\c} {\c}{\c}{\c}} {\c}}}}}}}}}}}{\c}} {\c}{\c}}} {\c} {\c}}}}}}}}} {\c} - Sí. Bien.$

En coordenadas esféricas (ψ, θ) en la esfera (con ψ la colatitud y θ la longitud) y las coordenadas polares (R, Θ) en el disco, el mapa y su inversa están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta) recur=\left(2\cos {\tfrac {1}{2}}\psi-\theta\right),\\\(\psi\theta) ventaja=\left(2\arccos {\tfrac {}{2}}}},-\Theta\right}\end{aligned}}}}}} {}}}} {\begin {\begin{\begin {\begin{aligned}}}}}}}} {\begin {\begin{\begin{\begin{aligned}}}}}}}}}}}}}} {\begin{\begin {\begin{\begin{aligned}} {\begin{aligned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\begin {\begin {\begin{$

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z) en la esfera y coordenadas polares (R, Θ) en el plano, el mapa y su inversa están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta) ventaja=\left({\sqrt {2(1+z)}}},\theta \right),\(r,\thetaz) ventaja=\left(R{\sqrt {1-{\frac\frac {R^{2} {4}}}}}\ Theta-1+{\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

La proyección se puede centrar en otros puntos y definir en esferas de radio distinto de 1, utilizando fórmulas similares.

Propiedades

Como se definió en la sección anterior, la proyección azimutal de Lambert de la esfera unitaria no está definida en (0, 0, 1). Envía el resto de la esfera al disco abierto de radio 2 centrado en el origen (0, 0) en el plano. Envía el punto (0, 0, −1) a (0, 0), el ecuador z = 0 al círculo de radio √2 centrado en (0, 0), y el hemisferio inferior z < 0 al disco abierto contenido en ese círculo.

La proyección es un difeomorfismo (una biyección que es infinitamente diferenciable en ambas direcciones) entre la esfera (menos (0, 0, 1)) y el disco abierto de radio 2. Es una proyección que conserva el área (igual área ) mapa, que se puede ver calculando el elemento de área de la esfera cuando está parametrizado por la inversa de la proyección. En coordenadas cartesianas es

${\displaystyle DA=dX\;dY.}$

Esto significa que medir el área de una región de la esfera equivale a medir el área de la región correspondiente del disco.

Por otro lado, la proyección no conserva las relaciones angulares entre las curvas de la esfera. Ningún mapeo entre una porción de una esfera y el plano puede preservar tanto los ángulos como las áreas. (Si lo hiciera, entonces sería una isometría local y preservaría la curvatura gaussiana; pero la esfera y el disco tienen curvaturas diferentes, por lo que esto es imposible). Este hecho, que las imágenes planas no pueden representar perfectamente regiones de esferas, es el problema fundamental. de cartografía.

Como consecuencia, las regiones de la esfera pueden proyectarse al plano con formas muy distorsionadas. Esta distorsión es particularmente dramática lejos del centro de la proyección (0, 0, −1). En la práctica, la proyección suele limitarse al hemisferio centrado en ese punto; el otro hemisferio se puede cartografiar por separado, utilizando una segunda proyección centrada en la antípoda.

Aplicaciones

La proyección azimutal de Lambert se concibió originalmente como una proyección cartográfica de áreas iguales. Ahora también se utiliza en disciplinas como la geología para trazar datos direccionales, como se muestra a continuación.

Una dirección en el espacio tridimensional corresponde a una línea que pasa por el origen. El conjunto de todas esas líneas es en sí mismo un espacio, llamado plano proyectivo real en matemáticas. Cada línea que pasa por el origen corta la esfera unitaria exactamente en dos puntos, uno de los cuales está en el hemisferio inferior z ≤ 0. (Las líneas horizontales cortan el ecuador z = 0 en dos puntos antípodas. Se entiende que los puntos antípodas en el ecuador representan una sola línea (ver topología del cociente). Por lo tanto, las direcciones en el espacio tridimensional corresponden (casi perfectamente) a puntos en el hemisferio inferior. Luego, el hemisferio se puede trazar como un disco de radio √2 usando la proyección azimutal de Lambert.

Así, la proyección azimutal de Lambert nos permite trazar direcciones como puntos en un disco. Debido a la propiedad de áreas iguales de la proyección, se pueden integrar regiones del plano proyectivo real (el espacio de direcciones) integrando las regiones correspondientes del disco. Esto es útil para el análisis estadístico de datos direccionales, incluida la rotación rígida aleatoria.

Con la proyección azimutal de Lambert no sólo se pueden trazar líneas, sino también planos que pasan por el origen. Un plano interseca el hemisferio en un arco circular, llamado traza del plano, que se proyecta hacia una curva (normalmente no circular) en el disco. Se puede trazar esta curva o, alternativamente, se puede reemplazar el plano con la línea perpendicular a él, llamada polo, y trazar esa línea en su lugar. Cuando se trazan muchos planos juntos, trazar polos en lugar de trazas produce un gráfico menos desordenado.

Los investigadores en geología estructural utilizan la proyección azimutal de Lambert para trazar ejes y caras cristalográficas, lineación y foliación en rocas, lados lisos en fallas y otras características lineales y planas. En este contexto, la proyección se denomina proyección hemisférica de áreas iguales. También hay una proyección hemisférica de ángulos iguales definida por proyección estereográfica.

La discusión aquí ha enfatizado una visión de adentro hacia afuera del hemisferio inferior z ≤ 0 (como podría verse en un mapa estelar), pero algunas disciplinas (como la cartografía) prefieren una visión de adentro hacia afuera. en vista del hemisferio superior z ≥ 0. De hecho, cualquier hemisferio puede usarse para registrar las líneas que pasan por el origen en un espacio tridimensional.

Comparación de la Lambert azimuthal equal-area projection y algunas proyecciones azimutales se centraron en 90° N a la misma escala, ordenada por altitud de proyección en el radio terrestre. (haga clic para el detalle)

Proyección animada de Lambert

Vamos. ${\displaystyle (u,\phi)}$ ser dos parámetros para los cuales ${\displaystyle -1 wonu\leq 1}$ y ${\displaystyle 0\leq\phi }$. Vamos. ${\displaystyle H.$ ser un parámetro "tiempo" (igual a la altura, o espesor vertical, de la cáscara en la animación). Si se dibuja una rejilla rectilínea uniforme ${\displaystyle (u,\phi)}$ espacio, entonces cualquier punto en esta red se transforma en un punto ${\displaystyle (x,y,z)}$ sobre una cáscara esférica de altura ${\displaystyle H.$ según la asignación

${\displaystyle x=\lambda (u,H)\cos(\phi)}$

${\displaystyle y=\lambda (u,H)\sin(\phi)}$

${\displaystyle z={\frac} {\c}}}$

Donde ${\displaystyle \lambda (u,H)={\frac {1}{2}{\sqrt {(1-u)\left[8-H^{2}(1-u)}}}}}$. Cada marco en la animación corresponde a una trama paramétrica de la rejilla deformada a un valor fijo de la altura de la concha ${\displaystyle H.$ (de 0 a 2). Físicamente, ${\displaystyle \lambda }$ es el tramo (longitud deformada dividida por longitud inicial) de línea infinitesimal ${\displaystyle d\phi }$ segmentos de línea. Este mapeo se puede convertir en uno que mantiene el polo sur fijado por el uso ${\displaystyle z={\frac {H(1-u)}{2}}$

Independientemente de los valores de ${\displaystyle (u,\phiH)}$, el Jacobiano de este mapeo es en todas partes iguales a 1, mostrando que es de hecho un mapeo de área igual a lo largo de la animación. Esta cartografía generalizada incluye la proyección de Lambert como un caso especial cuando ${\displaystyle H=0}$.

Aplicación: este mapeo puede ayudar a explicar el significado de una proyección de Lambert mostrándola como "abierta" la esfera en un polo, transformándola en un disco sin cambiar el área encerrada por celdas de cuadrícula.