Prototipo

Esta forma del azulejo aperiodic Penrose tiene dos prototiles, un rhombus grueso (de color azul en la figura) y un rimbo delgado (verde).

En la teoría matemática de teselaciones, un prototile es una de las formas de un mosaico en una teselación.

Definición

Una teselación del plano o de cualquier otro espacio es una cubierta del espacio por formas cerradas, llamadas mosaicos, que tienen interiores disjuntos. Algunas de las fichas pueden ser congruentes con una o más otras. Si S es el conjunto de mosaicos en una teselación, un conjunto R de formas se denomina conjunto de prototipos si no hay dos formas en R que sean congruentes con entre sí, y cada mosaico en S es congruente con una de las formas en R.

Es posible elegir muchos conjuntos diferentes de prototipos para un mosaico: trasladar o rotar cualquiera de los prototipos produce otro conjunto válido de prototipos. Sin embargo, cada conjunto de prototipos tiene la misma cardinalidad, por lo que el número de prototipos está bien definido. Se dice que una teselación es monoédrica si tiene exactamente un prototipo.

Aperiodicidad

Se dice que un conjunto de prototipos es aperiódico si cada mosaico con esos prototipos es un mosaico aperiódico. Se desconoce si existe una única forma bidimensional (llamada einstein) que forma el prototipo de una teselación aperiódica, pero no de ninguna teselación periódica. Es decir, la existencia de un conjunto de prototiles aperiódicos de un solo mosaico (monoédrico) es un problema abierto. La tesela de Socolar-Taylor forma teselaciones aperiódicas bidimensionales, pero se define por condiciones de coincidencia combinatoria en lugar de simplemente por su forma. En dimensiones superiores, el problema está resuelto: la tesela de Schmitt-Conway-Danzer es el prototipo de una teselación aperiódica monoédrica del espacio euclidiano tridimensional, y no puede teselar el espacio periódicamente.