Proporción (matemáticas)

Una proporción es una declaración matemática que expresa la igualdad de dos razones.

${\displaystyle a:b=c:d}$

a y d se denominan extremos, b y c se denominan medios.

La proporción se puede escribir como ${\fnMicroc} {a}{b}={\frac} {C} {d}}$, donde las ratios se expresan como fracciones.

Dicha proporción se conoce como proporción geométrica , que no debe confundirse con proporción aritmética y proporción armónica .

Propiedades de proporciones

• Regla fundamental de proporción. Esta regla a veces se llama Medios-Extremes Propiedad. Si las ratios se expresan como fracciones, entonces la misma regla puede ser expresada en términos de igualdad de "productos cruzados" y se llama Cross‐Products Propiedad.

Si ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}={\frac} {C} {d}}$Entonces ${\displaystyle \ ad=bc}$

• Si ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}={\frac} {C} {d}}$Entonces ${\displaystyle \ {\frac {b}{a}={\frac} {d}{c}}$
• Si ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}={\frac} {C} {d}}$Entonces

${\displaystyle \ {\frac {a}{c}={\frac} {b} {d}}$,

${\displaystyle \ {\frac {d}{b}={\frac} {c}{a}}$.

• Si ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}={\frac} {C} {d}}$Entonces

${\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}={\dfrac {c+d}{d}}$,

${\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}={\dfrac {c-d}{d}}$.

• Si ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}={\frac} {C} {d}}$Entonces

${\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}={\frac} {a}{b}={\frac} {C} {d}}$,

${\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}={\frac} {a}{b}={\frac} {C} {d}}$.

Historia

Un matemático griego Eudoxus proporcionó una definición para el significado de la igualdad entre dos proporciones. Esta definición de proporción forma el tema del Libro V de Euclides, donde podemos leer:

Se dice que las magnitudes están en la misma proporción, la primera a la segunda y la tercera a la cuarta, cuando, si algún equimultiplica lo que se tome de la primera y tercera, y cualquier equimultiplica lo que sea del segundo y cuarto, los primeros equimultimentos por igual exceden, son iguales o por igual no, los últimos equimultiples respectivamente tomados en orden correspondiente.

Más tarde, la comprensión de que las razones son números permitió pasar de la resolución de proporciones a ecuaciones, y de la transformación de proporciones a transformaciones algebraicas.

Conceptos relacionados

Proporción aritmética

Una ecuación de la forma ${\displaystyle a-b=c-d}$ se llama proporción aritmética o diferencia.

Proporción armónica

Si los medios de la proporción geométrica son iguales, y el extremo más recto es igual a la diferencia entre el extremo izquierdo y un medio, entonces tal proporción se llama armónico: ${\displaystyle a:b=b:(a-b)}$. En este caso la relación ${\displaystyle a:b}$ se llama ratio de oro.