Propiedad distributiva

En matemáticas, la propiedad distributiva de las operaciones binarias generaliza la ley distributiva, que afirma que la igualdad

x⋅ ⋅ ()Sí.+z)=x⋅ ⋅ Sí.+x⋅ ⋅ z{displaystyle xcdot (y+z)=xcdot y+xcdot z}

2⋅ ⋅ ()1+3)=()2⋅ ⋅ 1)+()2⋅ ⋅ 3).{displaystyle 2cdot (1+3)=(2cdot 1)+(2cdot 3).}

Esta propiedad básica de números es parte de la definición de la mayoría de las estructuras algebraicas que tienen dos operaciones llamadas adición y multiplicación, tales como números complejos, polinomios, matrices, anillos, y campos. También se encuentra en álgebra booleana y lógica matemática, donde cada uno de la lógica y (denotado) ∧ ∧ {displaystyle ,land ,}) y la lógica o (denotado Alternativa Alternativa {displaystyle ,lor ,}) distribuye sobre el otro.

Definición

Dado un conjunto S{displaystyle S. y dos operadores binarios Alternativa Alternativa {displaystyle ,*,} y +{displaystyle ,+,} on S,{displaystyle S,}

• la operación Alternativa Alternativa {displaystyle ,*,} es izquierda-distribución sobre (o con respecto a) +{displaystyle ,+,} si, dados los elementos x,Sí.,yz{displaystyle x,y,{text{ and }z} de S,{displaystyle S,}

xAlternativa Alternativa ()Sí.+z)=()xAlternativa Alternativa Sí.)+()xAlternativa Alternativa z);{displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z);}

• la operación Alternativa Alternativa {displaystyle ,*,} es derecho-distributivo sobre +{displaystyle ,+,} si, dados los elementos x,Sí.,yz{displaystyle x,y,{text{ and }z} de S,{displaystyle S,}

()Sí.+z)Alternativa Alternativa x=()Sí.Alternativa Alternativa x)+()zAlternativa Alternativa x);{displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x);}

• y la operación Alternativa Alternativa {displaystyle ,*,} es distributive sobre +{displaystyle ,+,} si es de distribución izquierda y derecha.

Cuando Alternativa Alternativa {displaystyle ,*,} es conmutativo, las tres condiciones anteriores son lógicamente equivalentes.

Significado

Los operadores utilizados para ejemplos en esta sección son los de la adición habitual +{displaystyle ,+,} y multiplicación ⋅ ⋅ .{displaystyle ,cdot.}

Si la operación se denotó ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } no es conmutativo, hay una distinción entre la distribución izquierda y la distribución derecha:

a⋅ ⋅ ()b± ± c)=a⋅ ⋅ b± ± a⋅ ⋅ c(izquierda distribución){displaystyle acdot left(bpm cright)=acdot bpm acdot cqquad {text{ (left-distributive)}}}

()a± ± b)⋅ ⋅ c=a⋅ ⋅ c± ± b⋅ ⋅ c(derecho-distributivo).{displaystyle (apm b)cdot c=acdot cpm bcdot cqquad {text{ (right-distributive)}}}}

En cualquier caso, la propiedad distributiva se puede describir en palabras como:

Para multiplicar una suma (o diferencia) por un factor, cada sumando (o minuendo y sustraendo) se multiplica por este factor y los productos resultantes se suman (o restan).

Si la operación fuera de los paréntesis (en este caso, la multiplicación) es conmutativa, entonces la distributividad por la izquierda implica distributividad por la derecha y viceversa, y se habla simplemente de distributividad.

Un ejemplo de una operación que es "solo" distributivo por la derecha es la división, que no es conmutativa:

()a± ± b).. c=a.. c± ± b.. c.{displaystyle (apm b)div c=adiv cpm bdiv c.}

a.. ()b± ± c)ل ل a.. b± ± a.. c{displaystyle adiv (bpm c)neq adiv bpm adiv c}

Las leyes distributivas se encuentran entre los axiomas para anillos (como el anillo de los números enteros) y campos (como el campo de los números racionales). Aquí la multiplicación es distributiva sobre la suma, pero la suma no es distributiva sobre la multiplicación. Ejemplos de estructuras con dos operaciones que son distributivas entre sí son las álgebras booleanas como el álgebra de conjuntos o el álgebra de conmutación.

La multiplicación de sumas se puede expresar con palabras de la siguiente manera: cuando una suma se multiplica por otra suma, multiplique cada sumando de una suma con cada sumando de la otra suma (manteniendo un registro de los signos) y luego sume todos los productos resultantes.

Ejemplos

Números reales

En los siguientes ejemplos, el uso de la ley distributiva sobre el conjunto de números reales R{displaystyle mathbb {R} está ilustrado. Cuando se menciona la multiplicación en las matemáticas elementales, generalmente se refiere a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un campo, que asegura la validez de la ley distributiva.

Primer ejemplo (implicación mental y escrita)

Durante la aritmética mental, la distributividad a menudo se utiliza inconscientemente:

6⋅ ⋅ 16=6⋅ ⋅ ()10+6)=6⋅ ⋅ 10+6⋅ ⋅ 6=60+36=96{displaystyle 6cdot 16=6cdot (10+6)=6cdot 10+6cdot 6=60+36=96}

Así, para calcular 6⋅ ⋅ 16{displaystyle 6cdot 16} en la cabeza de uno, uno primero multiplica 6⋅ ⋅ 10{displaystyle 6cdot 10} y 6⋅ ⋅ 6{displaystyle 6cdot 6} y añadir los resultados intermedios. La multiplicación escrita también se basa en la ley distributiva.

Segundo ejemplo (con variables)

3a2b⋅ ⋅ ()4a− − 5b)=3a2b⋅ ⋅ 4a− − 3a2b⋅ ⋅ 5b=12a3b− − 15a2b2{displaystyle 3a^{2}bcdot (4a-5b)=3a^{2}bcdot 4a-3a^{2}bcdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}b}

Tercer ejemplo (con dos sumas)

()a+b)⋅ ⋅ ()a− − b)=a⋅ ⋅ ()a− − b)+b⋅ ⋅ ()a− − b)=a2− − ab+ba− − b2=a2− − b2=()a+b)⋅ ⋅ a− − ()a+b)⋅ ⋅ b=a2+ba− − ab− − b2=a2− − b2{displaystyle {begin{aligned}(a+b)cdot (a-b) limit=acdot (a-b)+bcdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}c}cdotcdot a-(a+b) b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}

Aquí la ley distributiva fue aplicada dos veces, y no importa qué soporte se multiplica por primera vez.

Cuarto ejemplo

Aquí la ley distributiva se aplica de otra manera en comparación con los ejemplos anteriores. Considerar

12a3b2− − 30a4bc+18a2b3c2.{displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2},}

Desde el factor 6a2b{displaystyle 6a^{2}b} ocurre en todas las sumas, se puede tener en cuenta. Es decir, debido a la ley distributiva se obtiene

12a3b2− − 30a4bc+18a2b3c2=6a2b()2ab− − 5a2c+3b2c2).{displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{2}=6a^{2}bleft(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}right). }

Matrices

La ley distributiva es válida para la multiplicación de matrices. Más precisamente,

()A+B)⋅ ⋅ C=A⋅ ⋅ C+B⋅ ⋅ C{displaystyle (A+B)cdot C=Acdot C+Bcdot C}

l× × m{displaystyle ltimes m}

A,B{displaystyle A,B}

m× × n{displaystyle mtimes n}

C,{displaystyle C,}

A⋅ ⋅ ()B+C)=A⋅ ⋅ B+A⋅ ⋅ C{displaystyle Acdot (B+C)=Acdot B+Acdot C}

l× × m{displaystyle ltimes m}

A{displaystyle A}

m× × n{displaystyle mtimes n}

B,C.{displaystyle B,C.}

Otros ejemplos

• La multiplicación de números ordinal, en cambio, es sólo de distribución izquierda, no de distribución derecha.
• El producto cruzado es de distribución izquierda y derecha sobre la adición de vectores, aunque no conmutativa.
• La unión de conjuntos es distributiva sobre intersección, y la intersección es distributiva sobre unión.
• La disyunción lógica ("o") es distributiva sobre la conjunción lógica ("y"), y viceversa.
• Para números reales (y para cualquier conjunto totalmente ordenado), la operación máxima es distributiva sobre la operación mínima, y viceversa:
  max()a,min()b,c))=min()max()a,b),max()a,c))ymin()a,max()b,c))=max()min()a,b),min()a,c)).{displaystyle max(a,min(b,c))=min(max(a,b),max(a,c)quad {text{ and }quad min(a,max(b,c))=max(min(a,b),min(a,c)). }

  
• Para los enteros, el mayor divisor común es distributivo sobre el múltiplo menos común, y viceversa:
  gcd()a,lcm⁡ ⁡ ()b,c))=lcm⁡ ⁡ ()gcd()a,b),gcd()a,c))ylcm⁡ ⁡ ()a,gcd()b,c))=gcd()lcm⁡ ⁡ ()a,b),lcm⁡ ⁡ ()a,c)).{displaystyle gcd(a,operatorname {lcm} (b,c)=operatorname {lcm} (gcd(a,b),gcd(a,c))quad {text{ and }quad operatorname {lcm} (a,gcd(b,c))=gcd(}

  
• Para números reales, la adición distribuye sobre la operación máxima, y también sobre la operación mínima:
  a+max()b,c)=max()a+b,a+c)ya+min()b,c)=min()a+b,a+c).{displaystyle a+max(b,c)=max(a+b,a+c)quad {text{ and }quad a+min(b,c)=min(a+b,a+c). }

  
• Para la multiplicación binomial, la distribución a veces se denomina método FOIL (Primeros términos ac,{displaystyle ac,} externa ad,{displaystyle ad,} Inner bc,{displaystyle bc,} y el último bd{displaystyle bd}) tales como: ()a+b)⋅ ⋅ ()c+d)=ac+ad+bc+bd.{displaystyle (a+b)cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}
• En todas las semirings, incluyendo los números complejos, las quaterniones, polinomios y matrices, la multiplicación distribuye sobre adición: u()v+w)=uv+uw,()u+v)w=uw+vw.{displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}
• En todos los álgebras sobre un campo, incluyendo las octoniones y otros álgebras no asociativas, la multiplicación distribuye sobre adición.

Lógica proposicional

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional funcional de verdad estándar, la distribución en las pruebas lógicas usa dos reglas válidas de reemplazo para expandir las ocurrencias individuales de ciertos conectivos lógicos, dentro de alguna fórmula, en aplicaciones separadas de esos conectivos a través de subfórmulas de la fórmula dada. las reglas son

()P∧ ∧ ()QAlternativa Alternativa R)).. ()()P∧ ∧ Q)Alternativa Alternativa ()P∧ ∧ R))y()PAlternativa Alternativa ()Q∧ ∧ R)).. ()()PAlternativa Alternativa Q)∧ ∧ ()PAlternativa Alternativa R)){displaystyle (Pland (Qlor R))Leftrightarrow ((Pland Q)lor (Pland R))qquad {text{ and }qquad (Plor (Qland R)))Leftrightarrow (Plor Q)land (Plor R)}}}

.. {displaystyle Leftrightarrow

↑ ↑ ,{displaystyle ,equiv,}

Conectores funcionales de verdad

La distributividad es una propiedad de algunos conectivos lógicos de la lógica proposicional funcional veritativa. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de los conectivos particulares. Las siguientes son tautologías veritativo-funcionales.

()P∧ ∧ ()QAlternativa Alternativa R)).. ()()P∧ ∧ Q)Alternativa Alternativa ()P∧ ∧ R))Distribuciónconjunciónsobredisjunción()PAlternativa Alternativa ()Q∧ ∧ R)).. ()()PAlternativa Alternativa Q)∧ ∧ ()PAlternativa Alternativa R))Distribucióndisjunciónsobreconjunción()P∧ ∧ ()Q∧ ∧ R)).. ()()P∧ ∧ Q)∧ ∧ ()P∧ ∧ R))Distribuciónconjunciónsobreconjunción()PAlternativa Alternativa ()QAlternativa Alternativa R)).. ()()PAlternativa Alternativa Q)Alternativa Alternativa ()PAlternativa Alternativa R))Distribucióndisjunciónsobredisjunción()P→ → ()Q→ → R)).. ()()P→ → Q)→ → ()P→ → R))Distribuciónimplicación()P→ → ()QAdministración Administración R)).. ()()P→ → Q)Administración Administración ()P→ → R))Distribuciónimplicaciónsobreequivalencia()P→ → ()Q∧ ∧ R)).. ()()P→ → Q)∧ ∧ ()P→ → R))Distribuciónimplicaciónsobreconjunción()PAlternativa Alternativa ()QAdministración Administración R)).. ()()PAlternativa Alternativa Q)Administración Administración ()PAlternativa Alternativa R))Distribucióndisjunciónsobreequivalencia{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Distribución doble

()()P∧ ∧ Q)Alternativa Alternativa ()R∧ ∧ S)).. ()()()PAlternativa Alternativa R)∧ ∧ ()PAlternativa Alternativa S))∧ ∧ ()()QAlternativa Alternativa R)∧ ∧ ()QAlternativa Alternativa S)))()()PAlternativa Alternativa Q)∧ ∧ ()RAlternativa Alternativa S)).. ()()()P∧ ∧ R)Alternativa Alternativa ()P∧ ∧ S))Alternativa Alternativa ()()Q∧ ∧ R)Alternativa Alternativa ()Q∧ ∧ S))){displaystyle {begin{alignedat}{13} limite(Pland Q) limit;lor (Rland S)) limitándose;Leftrightarrow ; convict((Plor R)land (Plor S)land (Plor S)

Distributividad y redondeo

En aritmética aproximada, como aritmética de punto flotante, la propiedad distributiva de la multiplicación (y división) sobre adición puede fallar debido a las limitaciones de la precisión aritmética. Por ejemplo, la identidad 1/3+1/3+1/3=()1+1+1)/3{displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3} falla en aritmética decimal, independientemente del número de dígitos significativos. Métodos como el redondeo del banquero pueden ayudar en algunos casos, como puede aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia algunos errores de cálculo son inevitables.

En anillos y otras estructuras

La distributividad se encuentra más comúnmente en los semianillos, especialmente en los casos particulares de anillos y retículas distributivas.

Una semiring tiene dos operaciones binarias, comúnmente denotadas +{displaystyle ,+,} y Alternativa Alternativa ,{displaystyle ,*,} y requiere eso Alternativa Alternativa {displaystyle ,*,} debe distribuirse +.{displaystyle ,+.}

Un anillo es un semicírculo con inversos aditivos.

Una celo es otro tipo de estructura algebraica con dos operaciones binarias, ∧ ∧ yAlternativa Alternativa .{displaystyle ,land {text{ and }lor.} Si cualquiera de estas operaciones se distribuye sobre la otra (ensayo ∧ ∧ {displaystyle ,land ,} distribuye sobre Alternativa Alternativa {displaystyle ,lor }), entonces el reverso también sostiene (Alternativa Alternativa {displaystyle ,lor ,} distribuye sobre ∧ ∧ {displaystyle ,land ,}), y la celosa se llama distributivo. Véase también Distributividad (orden teoría).

Un álgebra booleana se puede interpretar como un tipo especial de anillo (un anillo booleano) o como un tipo especial de retícula distributiva (una retícula booleana). Cada interpretación es responsable de diferentes leyes distributivas en el álgebra booleana.

Estructuras similares sin leyes distributivas son anillos cercanos y campos cercanos en lugar de anillos y anillos de división. Las operaciones generalmente se definen como distributivas a la derecha pero no a la izquierda.

Generalizaciones

En varias áreas matemáticas, se consideran las leyes de distributividad generalizadas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitas. Especialmente en la teoría del orden se encuentran numerosas variantes importantes de distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitas, como la ley distributiva infinita; otros se definen en presencia de una sola operación binaria one, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en el artículo distributividad (teoría del orden). Esto también incluye la noción de una red completamente distributiva.

En presencia de una relación de orden, también se puede debilitar las igualdades anteriores reemplazando ={displaystyle ,=,} por cualquiera ≤ ≤ {displaystyle ,leq ,} o ≥ ≥ .{displaystyle ,geq.} Naturalmente, esto conducirá a conceptos significativos sólo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es la noción de subdistributividad como se explica en el artículo sobre intervalo aritmético.

En la teoría de la categoría, si ()S,μ μ ,.. ){displaystyle (S,munu)} y ()S.. ,μ μ .. ,.. .. ){displaystyle left(S^{prime },mu ^{prime },nu ^{prime }right)} are monads on a category C,{displaystyle C,} a Ley de distribución S.S.. → → S.. .S{displaystyle S.S^{prime }to S^{prime }S} es una transformación natural λ λ :S.S.. → → S.. .S{displaystyle lambda:S.S^{prime }to S^{prime }S} tales que ()S.. ,λ λ ){displaystyle left(S^{prime },lambda right)} es un mapa de lax de monads S→ → S{displaystyle Sto S} y ()S,λ λ ){displaystyle (S,lambda)} es un mapa de colax de las monadas S.. → → S.. .{displaystyle S^{prime }to S^{prime } Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura monad S.. .S{displaystyle S^{prime }S}: el mapa de multiplicación es S.. μ μ .μ μ .. S2.S.. λ λ S{displaystyle Si. }S^{2}.S^{prime }lambda S. y el mapa unitario .. .. S... .{displaystyle eta ^{prime }S.eta.} Véase: ley distributiva entre monads.

También se ha propuesto una ley distributiva generalizada en el área de la teoría de la información.

Antidistributividad

La identidad omnipresente que relaciona inversos con la operación binaria en cualquier grupo, es decir, ()xSí.)− − 1=Sí.− − 1x− − 1,{displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1} que se toma como axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución, a veces se ha llamado un propiedad antidistribuible (de la inversión como una operación siniestra).

En el contexto de una aproximación, que elimina la conmutación del grupo aditivo escrito y asume sólo una distribución unilateral, se puede hablar de (dos lados) elementos distributivos pero también de elementos antidistributivos. Este último revierte el orden de (la adición no-commutativa); asumiendo un principio izquierdo (es decir, uno que todos los elementos distribuyen cuando se multiplica en la izquierda), entonces un elemento antidistributivo a{displaystyle a} revierte el orden de adición cuando se multiplica a la derecha: ()x+Sí.)a=Sí.a+xa.{displaystyle (x+y)a=ya+xa.}

En el estudio de la lógica proposicional y el álgebra booleana, el término ley antidistributiva se usa a veces para denotar el intercambio entre conjunción y disyunción cuando la implicación influye sobre ellas:

()aAlternativa Alternativa b)⇒ ⇒ c↑ ↑ ()a⇒ ⇒ c)∧ ∧ ()b⇒ ⇒ c){displaystyle (alor b)Rightarrow cequiv (aRightarrow c)land (bRightarrow c)}

()a∧ ∧ b)⇒ ⇒ c↑ ↑ ()a⇒ ⇒ c)Alternativa Alternativa ()b⇒ ⇒ c).{displaystyle (aland b)Rightarrow cequiv (aRightarrow c)lor (bRightarrow c).}

Estas dos tautologías son una consecuencia directa de la dualidad en las leyes de De Morgan.