Propiedad de producto cero

En álgebra, el Propiedad cero-producto afirma que el producto de dos elementos no cero no es cero. En otras palabras, ${\displaystyle {\text{if}ab=0,{\text{ then }a=0{\text{ or }b=0}$

Esta propiedad también se conoce como regla del producto cero, el null factor law, el propiedad de la multiplicación de cero, el nonexistence of nontrivial cero divisors, o uno de los dos Propiedades del factor cero. Todos los sistemas de números estudiados en matemáticas elementales — los enteros ${\displaystyle \mathbb {Z}$, los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q}$, los números reales ${\displaystyle \mathbb {R}$y los números complejos ${\displaystyle \mathbb}$ - satisfacer la propiedad cero-producto. En general, un anillo que satisface la propiedad cero-producto se llama un dominio.

Contexto algebraico

Suppose ${\displaystyle A}$ es una estructura algebraica. Podríamos preguntar, ¿verdad? ${\displaystyle A}$ ¿Tiene la propiedad cero-producto? Para que esta cuestión tenga sentido, ${\displaystyle A}$ debe tener estructura aditiva y estructura multiplicativa. Normalmente uno asume que ${\displaystyle A}$ es un anillo, aunque podría ser algo más, por ejemplo, el conjunto de enteros no negativos ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots}}$ con adición y multiplicación ordinaria, que es sólo una semiring (commutante).

Note que si ${\displaystyle A}$ satisfice la propiedad cero-producto, y si ${\displaystyle B}$ es un subconjunto de ${\displaystyle A}$Entonces ${\displaystyle B}$ también satisface la propiedad cero del producto: si ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son elementos de ${\displaystyle B}$ tales que ${\displaystyle ab=0}$, entonces ${\displaystyle a=0}$ o ${\displaystyle b=0}$ porque ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ puede considerarse también como elementos ${\displaystyle A}$.

Ejemplos

• Un anillo en el que la propiedad cero-producto se llama un dominio. Un dominio conmutativo con un elemento de identidad multiplicativo se llama un dominio integral. Cualquier campo es un dominio integral; de hecho, cualquier subing de un campo es un dominio integral (si es que contiene 1). Del mismo modo, cualquier subringe de un campo es un dominio. Por lo tanto, la propiedad cero-producto tiene para cualquier subing de un campo de juguetón.
• Si ${\displaystyle p}$ es un número primo, entonces el anillo de integers modulo ${\displaystyle p}$ tiene la propiedad cero-producto (de hecho, es un campo).
• Los enteros gaussianos son un dominio integral porque son un subing de los números complejos.
• En el campo estrictamente deslumbrado de las quaterniones, la propiedad cero-producto sostiene. Este anillo no es un dominio integral, porque la multiplicación no es conmutativa.
• El conjunto de enteros no negativos ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots}}$ no es un anillo (ser en lugar de una semiring), pero sí satisface la propiedad cero-producto.

no exámenes

• Vamos. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}$ denota el anillo de integers modulo ${\displaystyle n}$. Entonces... ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}$ no satisface la propiedad cero del producto: 2 y 3 son elementos no cero, sin embargo ${\displaystyle 2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$.
• En general, si ${\displaystyle n}$ es un número compuesto, entonces ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}$ no satisface la propiedad cero-producto. Es decir, si ${\displaystyle n=qm}$ Donde ${\displaystyle 0 wonq,mcantado}$Entonces ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle q}$ no cero modulo ${\displaystyle n}$, aún ${\displaystyle qm\equiv 0{\pmod {n}}$.
• El anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2\times 2}}$ de 2×2 matrices con entradas de enteros no satisface la propiedad cero-producto: si $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1 ventaja-1\0}}$$ y ${\displaystyle N={\begin{pmatrix}0 tarde1\0$ entonces $${\displaystyle MN={\begin{pmatrix}1 {\0}{0\end{0\pmatrix}{\begin{pmatrix}0 limit1\0}\0}={pmatrix}={\begin{pmatrix}0 simultáneamente0\0}=0,}=0}$$ aún no ${\displaystyle M}$ ni ${\displaystyle N}$ es cero.
• El anillo de todas las funciones ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R}$, desde el intervalo de unidad a los números reales, tiene divisores notriviales cero: hay pares de funciones que no son idénticos a cero pero cuyo producto es la función cero. De hecho, no es difícil construir, para ningún n ≥ 2, funciones ${\displaystyle f_{1},\ldotsf_{n}$, ninguno de los cuales es idéntico cero, tal que ${\displaystyle ¿Qué?$ es idéntico cero cuando ${\displaystyle i\neq j}$.
• Lo mismo es cierto incluso si consideramos sólo funciones continuas, o sólo funciones infinitamente suaves. Por otro lado, las funciones analíticas tienen la propiedad cero-producto.

Aplicación para encontrar raíces de polinomios

Suppose ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle Q}$ son polinomios univariados con coeficientes reales, y ${\displaystyle x}$ es un número real tal que ${\displaystyle P(x)Q(x)=0}$. (En realidad, podemos permitir los coeficientes y ${\displaystyle x}$ para venir de cualquier dominio integral.) Por la propiedad cero-producto, sigue que o ${\displaystyle P(x)=0}$ o ${\displaystyle Q(x)=0}$. En otras palabras, las raíces de ${\displaystyle PQ}$ son precisamente las raíces ${\displaystyle P}$ junto con las raíces de ${\displaystyle Q}$.

Así, se puede utilizar la factorización para encontrar las raíces de un polinomio. Por ejemplo, el polinomio ${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-5x+6}$ factoriza como ${\displaystyle (x-3)(x-1)(x+2)}$; por lo tanto, sus raíces son precisamente 3, 1, y −2.

En general, supongamos ${\displaystyle R.$ es un dominio integral y ${\displaystyle f}$ es un monic univariate polinomial de grado ${\displaystyle d\geq 1}$ con coeficientes en ${\displaystyle R.$. Suponga también que ${\displaystyle f}$ tiene ${\displaystyle d}$ raíces distintas ${\displaystyle r_{1},\ldotsr_{d} R.$. Sigue (pero no demostramos aquí) que ${\displaystyle f}$ factoriza como ${\displaystyle f(x)=(x-r_{1})\cdots (x-r_{d}$. Por la propiedad cero-producto, sigue que ${\displaystyle r_{1},\ldotsr_{d}$ son sólo raíces de ${\displaystyle f}$: cualquier raíz de ${\displaystyle f}$ debe ser una raíz de ${\displaystyle (x-r_{i})}$ para algunos ${\displaystyle i}$. En particular, ${\displaystyle f}$ tiene ${\displaystyle d}$ raíces distintas.

Sin embargo ${\displaystyle R.$ no es un dominio integral, entonces la conclusión no necesita mantener. Por ejemplo, el polinomio cúbico ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x}$ tiene seis raíces en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}$ (aunque sólo tiene tres raíces en ${\displaystyle \mathbb {Z}$).