Propiedad de intersección finita

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En la topología general, una rama de las matemáticas, una familia no vacía A de subconjuntos de un conjunto $X$ se dice que tiene Finite intersection property (FIP) si la intersección sobre cualquier subcollección finita $A$ no es vacío. Tiene fuerte propiedad de intersección finita (SFIP) si la intersección sobre cualquier subcollección finita $A$ es infinito. Los conjuntos con la propiedad de intersección finita también se llaman sistemas centrados y Filtros.

La propiedad de intersección finita se puede utilizar para reformular la compacidad topológica en términos de conjuntos cerrados; esta es su aplicación más destacada. Otras aplicaciones incluyen demostrar que ciertos conjuntos perfectos son incontables y la construcción de ultrafiltros.

Definición

Vamos ${textstyle X}$ ser un juego ${textstyle {mathcal {A}}}$ a nonempty family of subsets of ${textstyle X}$ ; es decir, ${textstyle {mathcal {A}}}$ es un subconjunto del conjunto de energía ${textstyle X}$ . Entonces... ${textstyle {mathcal {A}}}$ se dice que tiene la propiedad de intersección finita si cada subfamilia finita no vacía tiene intersección no vacía; se dice que tiene la propiedad de intersección finita fuerte si esa intersección es siempre infinita.

En símbolos, ${textstyle {mathcal {A}}}$ tiene el FIP si, para cualquier elección de un subconjunto finito no vacío ${textstyle {mathcal {B}}}$ de ${textstyle {mathcal {A}}}$ , debe existir un punto

{displaystyle xin bigcap _{Bin {mathcal {B}}}{B}{text{.}}}

{textstyle {mathcal {A}}}

{textstyle {mathcal {B}}}

{textstyle x}

En el estudio de los filtros, la intersección común de una familia de conjuntos se llama núcleo, de la misma etimología que el girasol. Las familias con núcleo vacío se llaman libres; aquellos con kernel no vacío, arreglados.

Familias de ejemplos y no ejemplos

El conjunto vacío no puede pertenecer a ninguna colección con la propiedad de intersección finita.

Una condición suficiente para la propiedad de intersección FIP es un kernel no vacío. El contrario es generalmente falso, pero sostiene para las familias finitas; es decir, si ${mathcal {A}}$ es finito, entonces ${mathcal {A}}$ tiene la propiedad de intersección finita si y sólo si se fija.

Intersección por pares

La propiedad de intersección finita es estrictamente más fuerte que la intersección de pares; la familia ${displaystyle {{1,2},{2,3},{1,3}}}$ tiene intersecciones pares, pero no la FIP.

Más generalmente, dejar ${textstyle nin mathbb {N} setminus {1}}$ ser un entero positivo mayor que la unidad, ${textstyle [n]={1,dotsn}}$ , y ${textstyle {mathcal {A}}={[n]setminus {j}:jin [n]}}$ . Entonces cualquier subconjunto de ${mathcal {A}}$ con menos que ${textstyle n}$ elementos tiene intersección no vacía, pero ${textstyle {mathcal {A}}}$ carece de la FIP.

Construcciones de tipo final

Si ${displaystyle A_{1}supseteq A_{2}supseteq A_{3}cdots }$ es una secuencia decreciente de conjuntos no vacíos, entonces la familia ${textstyle {mathcal {A}}=left{A_{1},A_{2},A_{3},ldots right}}$ tiene la propiedad de intersección finita (y es incluso un π–sistema). Si las inclusiones ${displaystyle A_{1}supseteq A_{2}supseteq A_{3}cdots }$ son estrictos, entonces ${textstyle {mathcal {A}}}$ Admite también la fuerte propiedad de intersección finita.

Más generalmente, cualquier ${textstyle {mathcal {A}}}$ que está totalmente ordenado por la inclusión tiene el FIP.

Al mismo tiempo, el núcleo de ${textstyle {mathcal {A}}}$ puede estar vacío: si ${textstyle A_{j}={j,j+1,j+2,dots }}$ , entonces el núcleo de ${mathcal {A}}$ es el set vacío. Del mismo modo, la familia de intervalos ${displaystyle left{[r,infty):rin mathbb {R} right}}$ también tiene el (S)FIP, pero núcleo vacío.

Did you mean:

"Generic#34; sets and properties

La familia de todos los subconjuntos de Borel $[0,1]$ con la medida Lebesgue ${textstyle 1}$ tiene la FIP, al igual que la familia de comeagre conjuntos. Si ${textstyle X}$ es un conjunto infinito, luego el filtro Fréchet (la familia ${textstyle {Xsetminus C:C{text{ finite}}}}$ ) tiene el FIP. Todos estos filtros son gratuitos; están cerrados hacia arriba y tienen intersección infinita vacía.

Si ${displaystyle X=(0,1)}$ y, para cada entero positivo $i,$ el subconjunto $X_{i}$ es precisamente todos los elementos $X$ tener dígitos ${displaystyle 0}$ en el $i$ ^T lugar decimal, luego cualquier intersección finita $X_{i}$ no es vacía — sólo tomar ${displaystyle 0}$ en esos lugares y lugares finitos $1$ en el resto. Pero la intersección $X_{i}$ para todos ${displaystyle igeq 1}$ está vacío, ya que ningún elemento de $(0,1)$ tiene cero dígitos.

Ampliación del conjunto de suelo

La propiedad de intersección finita (fuerte) es una característica de la familia ${textstyle {mathcal {A}}}$ , no el terreno ${textstyle X}$ . Si una familia ${textstyle {mathcal {A}}}$ en el set ${textstyle X}$ admite el (S)FIP y ${textstyle Xsubseteq Y}$ , entonces ${textstyle {mathcal {A}}}$ es también una familia en el conjunto ${textstyle Y}$ con la FIP (resp. SFIP).

Filtros y topologías generados

Si $Ksubseteq X$ son conjuntos con ${displaystyle Kneq varnothing }$ entonces la familia ${displaystyle {mathcal {A}}={Ssubseteq X:Ksubseteq S}}$ tiene el FIP; esta familia se llama el filtro principal ${textstyle X}$ generados por ${textstyle K}$ . El subconjunto ${displaystyle {mathcal {B}}={Isubseteq mathbb {R}:Ksubseteq I{text{ and }}I{text{ an open interval}}}}$ tiene el FIP por mucho la misma razón: los núcleos contienen el conjunto no vacío ${textstyle K}$ . Si ${textstyle K}$ es un intervalo abierto, entonces el conjunto ${textstyle K}$ es en realidad igual a los núcleos de ${textstyle {mathcal {A}}}$ o ${textstyle {mathcal {B}}}$ , y así es un elemento de cada filtro. Pero en general el núcleo de un filtro no necesita ser un elemento del filtro.

Un filtro adecuado en un conjunto tiene la propiedad de intersección finita. Cada subbase de vecindad en un punto en un espacio topológico tiene el FIP, y lo mismo ocurre con cada base de vecindad y cada filtro de vecindad en un punto (porque cada uno es, en particular, también una subbase de vecindad).

Relación con los sistemas π y los filtros

Un sistema π es una familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo intersecciones finitas. El conjunto

<math alttext="{displaystyle pi ({mathcal {A}})=left{A_{1}cap cdots cap A_{n}:1leq nπ π ()A)={}A1∩ ∩ ⋯ ⋯ ∩ ∩ An:1≤ ≤ n.JUEGO JUEGO yA1,...... ,An▪ ▪ A}{displaystyle pi ({mathcal {A})=left{1}cap1} cdots cap A_{n}:1leq n se cumplióinfty {text{ and }A_{1},ldotsA_{n}in {mathcal {A}right}<img alt="{displaystyle pi ({mathcal {A}})=left{A_{1}cap cdots cap A_{n}:1leq n

{mathcal {A}}

{textstyle {mathcal {A}}}

π

{textstyle {mathcal {A}}}

El cierre ascendente de ${displaystyle pi ({mathcal {A}})}$ dentro ${textstyle X}$ es el conjunto

{displaystyle pi ({mathcal {A}})^{uparrow X}=left{Ssubseteq X:Psubseteq S{text{ for some }}Pin pi ({mathcal {A}})right}{text{.}}}

Para cualquier familia ${textstyle {mathcal {A}}}$ , la propiedad de intersección finita es equivalente a cualquiera de los siguientes:

El sistema π generado por ${mathcal {A}}$ no tiene el conjunto vacío como elemento; es decir, ${displaystyle varnothing notin pi ({mathcal {A}}).}$
El set ${displaystyle pi ({mathcal {A}})}$ tiene la propiedad de intersección finita.
El set ${displaystyle pi ({mathcal {A}})}$ es un prefiltro (propietario).
La familia ${mathcal {A}}$ es un subconjunto de algún prefiltro (propietario).
El cierre ascendente ${textstyle pi ({mathcal {A}})^{uparrow X}}$ es un filtro (proper) en ${textstyle X}$ . En este caso, ${displaystyle pi ({mathcal {A}})^{uparrow X}}$ se llama filtro en ${textstyle X}$ generados por ${textstyle {mathcal {A}}}$ , porque es el mínimo (con respecto a ${displaystyle ,subseteq ,}$ ) filtro en $X$ que contiene ${mathcal {A}}$ como subconjunto.
${mathcal {A}}$ es un subconjunto de algún filtro (proper).

Aplicaciones

Compacidad

La propiedad de intersección finita es útil para formular una definición alternativa de compacidad:

Theorem—Un espacio es compacto si y sólo si cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita tiene intersección no vacía.

Did you mean:

This formulation of compactness is used in some proofs of Tychonoff 's theorem.

Incontabilidad de espacios perfectos

Otra aplicación común es demostrar que los números reales son incontables.

Theorem—Vamos $X$ ser un espacio Hausdorff compacto no vacío que satisface la propiedad que ningún conjunto de un punto está abierto. Entonces... $X$ es incontable.

Todas las condiciones del enunciado del teorema son necesarias:

No podemos eliminar la condición de Hausdorff; un conjunto contable (con al menos dos puntos) con la topología indiscreta es compacta, tiene más de un punto, y satisface la propiedad que ningún punto se abre, pero no es incontable.
No podemos eliminar la condición de compactidad, como muestra el conjunto de números racionales.
No podemos eliminar la condición de que un conjunto de puntos no pueda abrirse, como cualquier espacio finito con los espectáculos discretos de topología.

Prueba

Lo demostraremos si $Usubseteq X$ no es vacía y abierta, y si $x$ es un punto $X,$ entonces hay un barrio ${displaystyle Vsubset U}$ cuyo cierre no contiene $x$ () $x$ Puede o no estar $U$ ). Elija $y in U$ diferente $x$ (si $xin U$ entonces debe existir tal $y$ por otra parte $U$ sería un punto abierto; si ${displaystyle xnotin U,}$ esto es posible ya que $U$ no es vacía). Luego por la condición de Hausdorff, elija barrios descomunales $W$ y $K$ de $x$ y $y$ respectivamente. Entonces... ${displaystyle Kcap U}$ será un barrio $y$ contenidas en $U$ cuyo cierre no contiene $x$ como se desee.

Ahora supongamos ${displaystyle f:mathbb {N} to X}$ es una bijeción, y dejar ${displaystyle left{x_{i}:iin mathbb {N} right}}$ denota la imagen $f.$ Vamos $X$ ser el primer set abierto y elegir un barrio ${displaystyle U_{1}subset X}$ cuyo cierre no contiene ${displaystyle x_{1}.}$ En segundo lugar, elegir un barrio ${displaystyle U_{2}subset U_{1}}$ cuyo cierre no contiene ${displaystyle x_{2}.}$ Continúe con este proceso de elección de un barrio ${displaystyle U_{n+1}subset U_{n}}$ cuyo cierre no contiene ${displaystyle x_{n+1}.}$ Luego la colección ${displaystyle left{U_{i}:iin mathbb {N} right}}$ satisfice la propiedad de intersección finita y por lo tanto la intersección de sus cierres no es vacía por la compactidad de $X.$ Por lo tanto, hay un punto $x$ en esta intersección. No $x_{i}$ puede pertenecer a esta intersección porque $x_{i}$ no pertenece al cierre de ${displaystyle U_{i}.}$ Esto significa que $x$ no es igual a $x_{i}$ para todos $i$ y $f$ no es subjetivo; una contradicción. Por lo tanto, $X$ es incontable.

Corollary—Cada intervalo cerrado $[a,b]$ con $<math alttext="{displaystyle a a.b{displaystyle a meantb} <img alt="a$ es incontable. Por lo tanto, $mathbb {R}$ es incontable.

Corollary—Cada espacio perfecto, localmente compacto Hausdorff es incontable.

Prueba
Vamos $X$ ser un espacio perfecto, compacto, Hausdorff, entonces el teorema inmediatamente implica que $X$ es incontable. Si $X$ es un espacio Hausdorff perfecto, localmente compacto que no es compacto, entonces la compactación de un punto $X$ es un espacio Hausdorff perfecto y compacto. Por lo tanto, la compactación de un punto $X$ es incontable. Desde la eliminación de un punto de un conjunto incontable todavía deja un conjunto incontable, $X$ es incontable también.

Ultrafiltros

Vamos $X$ no vacía, ${displaystyle Fsubseteq 2^{X}.}$ $F$ tener la propiedad de intersección finita. Entonces existe un $U$ ultrafiltro (en $2^X$ . ${displaystyle Fsubseteq U.}$ Este resultado es conocido como el ultrafiltro lemma.

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