Propiedad de Arquímedes

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Propiedad matemática de estructuras algebraicas

En álgebra abstracta y análisis, el Propiedad arquitectónica, nombrado por los antiguos arquitectos matemáticos griegos de Siracusa, es una propiedad sostenida por algunas estructuras algebraicas, tales como grupos ordenados o ordenados, y campos. La propiedad, típicamente interpretada, afirma que dio dos números positivos $x$ y $y$ , hay un entero $n$ tales que $y}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">nx■Sí.{displaystyle nx confianzay}y}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37499270a0bee754e6d5e27ddc3818d5e4d9f354" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.978ex; height:2.176ex;"/>$ . También significa que el conjunto de números naturales no está ligado arriba. Roughly speaking, it is the property of having no infinitamente grande o infinitamente pequeña elementos. Fue Otto Stolz quien dio el axioma de Arquímedes su nombre porque aparece como Axiom V de Arquímedes Sobre la Esfera y el Cilindro.

La noción surgió de la teoría de las magnitudes de la Antigua Grecia; todavía juega un papel importante en las matemáticas modernas, como los axiomas de geometría de David Hilbert y las teorías de grupos ordenados, campos ordenados y campos locales.

Una estructura algebraica en la que dos elementos cualesquiera distintos de cero son comparables, en el sentido de que ninguno de ellos es infinitesimal con respecto al otro, se dice que es Arquímedes. Una estructura que tiene un par de elementos distintos de cero, uno de los cuales es infinitesimal con respecto al otro, se dice que es no arquimediana. Por ejemplo, un grupo ordenado linealmente que es de Arquímedes es un grupo de Arquímedes.

Esto se puede precisar en varios contextos con formulaciones ligeramente diferentes. Por ejemplo, en el contexto de los campos ordenados, se tiene el axioma de Arquímedes que formula esta propiedad, donde el campo de los números reales es arquimediano, pero el de las funciones racionales en coeficientes reales no lo es.

Historia y origen del nombre de la propiedad de Arquímedes

El concepto fue nombrado por Otto Stolz (en la década de 1880) en honor al antiguo geómetra y físico griego Arquímedes de Siracusa.

La propiedad de Arquímedes aparece en el Libro V de los Elementos de Euclides como Definición 4:

Se dice que las magnitudes tienen una relación entre sí que, cuando se multiplican, pueden superarse entre sí.

Debido a que Arquímedes lo atribuye a Eudoxo de Cnido, también se lo conoce como el "Teorema de Eudoxo" o el axioma de Eudoxo.

Arquímedes usó infinitesimales en argumentos heurísticos, aunque negó que fueran pruebas matemáticas terminadas.

Definición de grupos ordenados linealmente

Vamos $x$ y $Sí.$ ser elementos positivos de un grupo ordenado linealmente G. Entonces... $x$ es infinitesimal con respecto a $y$ (o equivalentemente, $y$ es infinita con respecto a $x$ ) si, para cualquier número natural $n$ , el múltiple ${displaystyle nx}$ es menos que $y$ , es decir, la siguiente desigualdad sostiene:

<math alttext="{displaystyle underbrace {x+cdots +x} _{n{text{ terms}}}x+⋯ ⋯ +x⏟ ⏟ ntérminos.Sí..{displaystyle underbrace {x+cdots +x} Se oyeron.<img alt="{displaystyle underbrace {x+cdots +x} _{n{text{ terms}}}

Esta definición se puede extender a todo el grupo tomando valores absolutos.

El grupo $G$ es Archimedean si no hay pareja $(x,y)$ tales que $x$ es infinitesimal con respecto a $y$ .

Además, si $K$ es una estructura algebraica con una unidad (1) — por ejemplo, un anillo — una definición similar se aplica a $K$ . Si $x$ es infinitesimal con respecto a $1$ , entonces $x$ es un elemento infinitesimal. Del mismo modo, si $y$ es infinita con respecto a $1$ , entonces $y$ es un elemento infinito. La estructura algebraica $K$ es Arquímedes si no tiene elementos infinitos ni elementos infinitesimal.

Campos ordenados

Los campos ordenados tienen algunas propiedades adicionales:

Los números racionales están incrustados en cualquier campo ordenado. Es decir, cualquier campo ordenado tiene la característica cero.
Si $x$ es infinitesimal, entonces $1/x$ es infinito, y viceversa. Por lo tanto, para verificar que un campo es Archimedean es suficiente para comprobar sólo que no hay elementos infinitesimal, o para comprobar que no hay elementos infinitos.
Si $x$ es infinitesimal y $r$ es un número racional, entonces $rx$ es también infinitesimal. Como resultado, dado un elemento general $c$ , los tres números $c/2$ , $c$ , y ${displaystyle 2c}$ son todos infinitesimal o todo no-infinitesimal.

En esta configuración, un campo ordenado $K$ es arquimediano precisamente cuando el siguiente enunciado, denominado axioma de Arquímedes , contiene:

Deja

x

ser cualquier elemento de

K

. Entonces existe un número natural

n

tales que

x}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■x{displaystyle n títulox}x}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dafeae35b2d84dc8f806ee55d02ed512985ce92" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.823ex; height:1.843ex;"/>

Alternativamente, se puede utilizar la siguiente caracterización:

0implies exists nin N:1/nО О ε ε ▪ ▪ K()ε ε ■0⟹ ⟹ \exists \exists n▪ ▪ N:1/n.ε ε ).{displaystyle forall ,varepsilon in K{big (}varepsilon Conf0implies nexists nin N:1/n madevarepsilon {big)}.} 0implies exists nin N:1/n

Definición de campos normados

El calificador "Arquimedean" también está formulado en la teoría de campos valorados y espacios ordenados de rango uno sobre campos valorados como sigue. Vamos $K$ ser un campo dotado con una función de valor absoluto, es decir, una función que asocia el número real ${displaystyle 0}$ con el elemento de campo 0 y asocia un número real positivo $|x|$ con cada no cero $xin K$ y satisfizos $|xy|=|x| |y|$ y $|x+y| le |x|+|y|$ . Entonces, $K$ se dice que Archimedean si para cualquier no cero $xin K$ existe un número natural $n$ tales que

1.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silenciox+⋯ ⋯ +x⏟ ⏟ ntérminosSilencio■1.{fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué?1.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae500e31e54ffbb18c6c3ae2d903f2525f868b8" style="vertical-align: -3.838ex; width:17.265ex; height:5.843ex;"/>

Del mismo modo, un espacio ordenado es Arquímedes si una suma de $n$ términos, cada uno igual a un vector no cero $x$ , tiene norma mayor que una para lo suficientemente grande $n$ . Un campo con un valor absoluto o un espacio normal es ya sea Arquímedes o satisface la condición más fuerte, llamada como la desigualdad del triángulo ultramétrico,

{displaystyle |x+y|leq max(|x|,|y|),}

non-Archimedean

El concepto de un espacio lineal normado no arquimediano fue introducido por A. F. Monna.

Ejemplos y no ejemplos

Propiedad de Arquímedes de los números reales

El campo de los números racionales se puede asignar una de varias funciones de valor absoluto, incluyendo la función trivial ${displaystyle |x|=1}$ , cuando $xneq 0$ , lo más habitual ${textstyle |x|={sqrt {x^{2}}}}$ , y el $p$ - valor absoluto adictivo funciones. Por el teorema de Ostrowski, cada valor absoluto no-trivial en los números racionales es equivalente a o bien al valor absoluto habitual o a algún valor absoluto $p$ - valor absoluto adictivo. El campo racional no es completo con respecto a los valores absolutos no-triviales; con respecto al valor absoluto trivial, el campo racional es un espacio topológico discreto, tan completo. La terminación con respecto al valor absoluto habitual (desde el orden) es el campo de números reales. En esta construcción el campo de números reales es Arquímedes tanto como un campo ordenado y como un campo normalizado. Por otro lado, las terminaciones con respecto a los otros valores absolutos no-triviales dan los campos de números p-adic, donde $p$ es un número entero primario (ver abajo); $p$ -adic valores absolutos satisfacen la propiedad ultramétrica, luego el $p$ - los campos nórdicos son no armenios como campos de ordenación (no se pueden hacer en campos ordenados).

En la teoría axiomática de números reales, la no existencia de números reales no cero infinitesimales está implícita por la propiedad inferior del límite superior como sigue. Denote by $Z$ el conjunto que consiste en todos los infinitesimales positivos. Este conjunto está obligado por encima $1$ . Ahora asume por una contradicción que $Z$ no está vacío. Entonces tiene un límite inferior $c$ , que también es positivo, así $<math alttext="{displaystyle c/2<cc/2.c.2c{displaystyle c/2 madec <img alt="{displaystyle c/2<c$ . Desde $c$ es un límite superior de $Z$ y ${displaystyle 2c}$ es estrictamente mayor que $c$ , ${displaystyle 2c}$ no es un infinitesimal positivo. Es decir, hay un número natural $n$ para la cual $<math alttext="{displaystyle 1/n1/n.2c{displaystyle 1/n won2c} <img alt="{displaystyle 1/n$ . Por otro lado, $c/2$ es un infinitesimal positivo, ya que por la definición de límite mínimo superior debe haber un infinitesimal $x$ entre $c/2$ y $c$ , y si $<math alttext="{displaystyle 1/k1/k.c/2\leq \leq x{displaystyle 1/k madec/2leq x} <img alt="{displaystyle 1/k$ entonces $x$ no es infinitesimal. Pero... $<math alttext="{displaystyle 1/(4n)1/()4n).c/2{displaystyle 1/(4n) <img alt="{displaystyle 1/(4n)$ Así que $c/2$ no es infinitesimal, y esto es una contradicción. Esto significa que $Z$ está vacío después de todo: no hay números reales positivos, infinitesimal.

La propiedad de Arquímedes de los números reales también se cumple en el análisis constructivo, aunque la propiedad del límite superior mínimo puede fallar en ese contexto.

Campo ordenado no arquimediano

Por ejemplo de un campo ordenado que no es Arquímedes, tome el campo de funciones racionales con coeficientes reales. (Una función racional es cualquier función que se pueda expresar como un polinomio dividido por otro polinomio; asumiremos en lo que sigue que se ha hecho de tal manera que el coeficiente líder del denominador es positivo.) Para hacer esto un campo ordenado, se debe asignar un pedido compatible con las operaciones de adición y multiplicación. Ahora $g}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f■g{displaystyle f confiarg}g}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d1a4209cb0e6bb72eaebfa78d8a05768a20fd9" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.493ex; height:2.509ex;"/>$ si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f− − g■0{displaystyle f-g confianza0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393526b3d1fca6fd3a88695b0ddbe64fc8aeb6bb" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.496ex; height:2.509ex;"/>$ , por lo que sólo tenemos que decir qué funciones racionales se consideran positivas. Llame a la función positiva si el coeficiente líder del numerador es positivo. (Uno debe comprobar que este pedido está bien definido y compatible con la adición y la multiplicación.) Por esta definición, la función racional $1/x$ es positivo pero menos que la función racional $1$ . De hecho, si $n$ es cualquier número natural, entonces ${displaystyle n(1/x)=n/x}$ es positivo pero aún menos que $1$ , no importa lo grande $n$ Lo es. Por lo tanto, $1/x$ es un infinitesimal en este campo.

Este ejemplo se generaliza a otros coeficientes. Tomar funciones racionales con coeficientes racionales en lugar de reales produce un campo ordenado no armenio contable. Tomando los coeficientes para ser las funciones racionales en una variable diferente, digamos $y$ , produce un ejemplo con un tipo de orden diferente.

Campos con valores no arquimedianos

El campo de los números racionales dotados de la métrica p-ádica y los campos numéricos p-ádicos que son las completaciones, no tienen la propiedad de Arquímedes como campos con valores absolutos. Todos los campos con valores de Arquímedes son isométricamente isomorfos a un subcampo de los números complejos con una potencia del valor absoluto habitual.

Definiciones equivalentes del campo ordenado de Arquímedes

Cada campo ordenado linealmente $K$ contiene (una copia isomorfa de) los fundamentos como un subcampo ordenado, es decir, el subcampo generado por la unidad multiplicadora $1$ de $K$ , que a su vez contiene los enteros como subgrupo ordenado, que contiene los números naturales como un monoide ordenado. La incrustación de los racionales entonces da una manera de hablar sobre los racionales, los enteros y los números naturales en $K$ . Las características equivalentes de los campos de Arquímedes en términos de estas subestructuras.

Los números naturales son cofinales $K$ . Es decir, cada elemento de $K$ es menos que un número natural. (Este no es el caso cuando existen elementos infinitos.) Por lo tanto, un campo arquímico es uno cuyos números naturales crecen sin límites.
Cero es el infimum en $K$ del conjunto ${displaystyle {1/2,1/3,1/4,dots }}$ . (Si) $K$ contenía un infinitesimal positivo sería un límite inferior para el conjunto de donde cero no sería el límite más bajo.)
El conjunto de elementos $K$ entre los fundamentos positivos y negativos no está abierto. Esto se debe a que el conjunto consiste de todos los infinitesimals, que es sólo el conjunto ${0}$ cuando no hay infinitos no cero, y de otro modo está abierto, no hay ni un menor ni mayor infinito no cero. Observe que en ambos casos, el conjunto de infinitesimals está cerrado. En este último caso, (i) todo infinitesimal es menos que cualquier racional positivo, (ii) no hay ni un mayor infinitesimal ni un menor racional positivo, y (iii) no hay nada más en medio. En consecuencia, cualquier campo ordenado no armenio es incompleto y desconectado.
Para cualquier $x$ dentro $K$ el conjunto de enteros mayores que $x$ tiene un elemento menos. (Si) $x$ eran una cantidad infinita negativa cada entero sería mayor que él.)
Cada intervalo abierto no vacío $K$ contiene un racional. (Si) $x$ es un infinitesimal positivo, el intervalo abierto ${displaystyle (x,2x)}$ contiene infinitamente muchos infinitesimals pero no un solo racional.)
Los fundamentos son densos en $K$ con respecto a sup e inf. (Es decir, cada elemento de $K$ es la suposición de algunos conjuntos de racionales, y la inf de algún otro conjunto de racionales.) Así, un campo Arquímedes es cualquier extensión ordenada densa de los racionales, en el sentido de cualquier campo ordenado que incrusta densamente sus elementos racionales.

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