Propiedad conmutativa

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Propiedad de algunas operaciones matemáticas

En matemáticas, una operación binaria es conmutativa si cambiar el orden de los operandos no cambia el resultado. Es una propiedad fundamental de muchas operaciones binarias y muchas demostraciones matemáticas dependen de ella. Más familiar como el nombre de la propiedad que dice algo como "3 + 4 = 4 + 3" o "2 × 5 = 5 × 2", la propiedad también se puede usar en configuraciones más avanzadas. El nombre es necesario porque hay operaciones, como la división y la resta, que no lo tienen (por ejemplo, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); tales operaciones no son conmutativas, por lo que se denominan operaciones no conmutativas. Durante muchos años se asumió implícitamente la idea de que las operaciones simples, como la multiplicación y la suma de números, son conmutativas. Así, esta propiedad no recibió nombre hasta el siglo XIX, cuando las matemáticas comenzaron a formalizarse. Existe una propiedad similar para las relaciones binarias; se dice que una relación binaria es simétrica si la relación se aplica independientemente del orden de sus operandos; por ejemplo, la igualdad es simétrica ya que dos objetos matemáticos iguales son iguales independientemente de su orden.

Definiciones matemáticas

Una operación binaria $*$ en un set S se llama commutative si

{displaystyle x*y=y*xqquad {mbox{for all }}x,yin S.}

non-commutative

Uno dice que $x$ comunicados con $Sí.$ o aquello $x$ y $Sí.$ coma menores $*$ si

{displaystyle x*y=y*x.}

Ejemplos

Operaciones conmutativas

La adición y la multiplicación son conmutativas en la mayoría de los sistemas de números, y, en particular, entre números naturales, números enteros, números racionales, números reales y números complejos. Esto también es cierto en cada campo.
La adición es conmutativa en cada espacio vectorial y en cada álgebra.
Unión e intersección son operaciones conmutativas en conjuntos.
"Y" y "o" son operaciones lógicas conmutativas.

Operaciones no conmutativas

Did you mean:

Some non commutative binary operations:

División, resta y exponenciación

La División no es recíproca, ya que ${displaystyle 1div 2neq 2div 1}$ .

La resta no es recíproca, ya que ${displaystyle 0-1neq 1-0}$ . Sin embargo, se clasifica más precisamente como anti-commutante, ya que ${displaystyle 0-1=-(1-0)}$ .

La exposición no es recíproca, ya que ${displaystyle 2^{3}neq 3^{2}}$ . Esta propiedad conduce a dos operaciones "inversas" diferentes de exponenciación (nombre, la operación nth-root y la operación de logarithm), que es a diferencia de la multiplicación.

Funciones de verdad

Algunas funciones de verdad no son conmutativas, ya que las tablas de verdad de las funciones son diferentes cuando se cambia el orden de los operandos. Por ejemplo, las tablas de verdad para $(A \Rightarrow B) = (\negA \lor B)$ y $(B \Rightarrow A) = (A \lor \neg B)$ son

$A$	$B$	$A \Rightarrow B$	$B \Rightarrow A$
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

Composición de funciones de funciones lineales

La composición de funciones de las funciones lineales de los números reales a los números reales es casi siempre no recíproca. Por ejemplo, vamos ${displaystyle f(x)=2x+1}$ y ${displaystyle g(x)=3x+7}$ . Entonces...

{displaystyle (fcirc g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}

{displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}

Esto también se aplica de forma más general a las transformaciones lineales y afines de un espacio vectorial a sí mismo (consulte a continuación la representación de Matrix).

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices de matrices cuadradas casi nunca es conmutativa, por ejemplo:

{displaystyle {begin{bmatrix}0&2\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}neq {begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}}

Producto vectorial

El producto vectorial (o producto vectorial) de dos vectores en tres dimensiones es anticonmutativo; es decir, b × a = −(a × b).

Historia y etimología

Los registros del uso implícito de la propiedad conmutativa se remontan a la antigüedad. Los egipcios utilizaron la propiedad conmutativa de la multiplicación para simplificar los productos informáticos. Se sabe que Euclides asumió la propiedad conmutativa de la multiplicación en su libro Elementos. Los usos formales de la propiedad conmutativa surgieron a fines del siglo XVIII y principios del XIX, cuando los matemáticos comenzaron a trabajar en una teoría de funciones. Hoy en día la propiedad conmutativa es una propiedad bien conocida y básica utilizada en la mayoría de las ramas de las matemáticas.

El primer uso registrado del término conmutativo fue en una memoria de François Servois en 1814, que usó la palabra conmutativos al describir funciones que tienen lo que ahora se llama el propiedad conmutativa. La palabra es una combinación de la palabra francesa commuter que significa "sustituir o cambiar" y el sufijo -ative que significa "tiende a" por lo que la palabra literalmente significa "que tiende a sustituir o cambiar". El término apareció en inglés en 1838. En el artículo de Duncan Farquharson Gregory titulado "Sobre la naturaleza real del álgebra simbólica" publicado en 1840 en Transactions of the Royal Society of Edinburgh.

Lógica proposicional

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional funcional de verdad, conmutación o conmutatividad se refieren a dos reglas válidas de reemplazo. Las reglas permiten transponer variables proposicionales dentro de expresiones lógicas en pruebas lógicas. Las reglas son:

{displaystyle (Plor Q)Leftrightarrow (Qlor P)}

{displaystyle (Pland Q)Leftrightarrow (Qland P)}

Donde $Leftrightarrow$ "es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba con".

Conectores funcionales de verdad

La conmutatividad es una propiedad de algunos conectivos lógicos de la lógica proposicional funcional de verdad. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la conmutatividad es una propiedad de los conectivos particulares. Las siguientes son tautologías veritativo-funcionales.

Computatividad de la conjunción: ${displaystyle (Pland Q)leftrightarrow (Qland P)}$
Computatividad de la disyunción: ${displaystyle (Plor Q)leftrightarrow (Qlor P)}$
Computatividad de implicación (también llamada ley de permutación): $(Pto (Qto R))leftrightarrow (Qto (Pto R))$
Commutatividad de la equivalencia (también llamada ley de equivalencia conmutativa completa): $(Pleftrightarrow Q)leftrightarrow (Qleftrightarrow P)$

Teoría de conjuntos

En la teoría de grupos y conjuntos, muchas estructuras algebraicas se denominan conmutativas cuando ciertos operandos satisfacen la propiedad conmutativa. En las ramas superiores de las matemáticas, como el análisis y el álgebra lineal, la conmutatividad de operaciones bien conocidas (como la suma y la multiplicación de números reales y complejos) a menudo se usa (o se asume implícitamente) en las demostraciones.

Estructuras matemáticas y conmutatividad

Un semigrupo conmutativo es un conjunto dotado de un funcionamiento total, asociativo y comunicativo.
Si la operación tiene además un elemento de identidad, tenemos un monoide conmutativo
Un grupo abeliano, o Grupo comunicativo es un grupo cuya operación grupal es conmutativa.
Un anillo conmutativo es un anillo cuya multiplicación es conmutativa. (La adición en un anillo es siempre conmutativa.)
En un campo tanto la adición como la multiplicación son conmutativas.

Propiedades relacionadas

Asociatividad

La propiedad asociativa está estrechamente relacionada con la propiedad conmutativa. La propiedad asociativa de una expresión que contiene dos o más ocurrencias del mismo operador establece que el orden en que se realizan las operaciones no afecta el resultado final, siempre que el orden de los términos no cambie. En cambio, la propiedad conmutativa establece que el orden de los términos no afecta el resultado final.

La mayoría de las operaciones conmutativas que se encuentran en la práctica también son asociativas. Sin embargo, conmutatividad no implica asociatividad. Un contraejemplo es la función

f(x,y)={frac {x+y}{2}},

que es claramente comunicativo (intercambiante x y Sí. no afecta el resultado), pero no es asociativo (ya que, por ejemplo, $f(-4,f(0,+4))=-1$ pero $f(f(-4,0),+4)=+1$ ). Se pueden encontrar más ejemplos en magmas no asociativos. Además, la asociación no implica la conmutación – por ejemplo, la multiplicación de las quaterniones o de las matrices es siempre asociativa pero no siempre comunicativa.

Distributiva

(feminine)

Simetría

Algunas formas de simetría pueden estar directamente vinculadas a la conmutación. Cuando una operación conmutativa se escribe como una función binaria $z=f(x,y),$ entonces esta función se llama una función simétrica, y su gráfica en espacio tridimensional es simétrica en el plano $y=x$ . Por ejemplo, si la función $f$ se define como $f(x,y)=x+y$ entonces $f$ es una función simétrica.

Para las relaciones, una relación simétrica es análoga a una operación comunicativa, en que si una relación R es simétrico, entonces $aRbLeftrightarrow bRa$ .

Operadores no conmutables en mecánica cuántica

En la mecánica cuántica, como formula Schrödinger, las variables físicas están representadas por operadores lineales como Schrödinger $x$ (que significa multiplicarse por $x$ ), y ${textstyle {frac {d}{dx}}}$ . Estos dos operadores no se comunican como se puede ver considerando el efecto de sus composiciones ${textstyle x{frac {d}{dx}}}$ y ${textstyle {frac {d}{dx}}x}$ (también llamados productos de operadores) en una función de onda unidimensional $psi (x)$ :

{displaystyle xcdot {mathrm {d} over mathrm {d} x}psi =xcdot psi ' neq psi +xcdot psi '={mathrm {d} over mathrm {d} x}left(xcdot psi right)}

De acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg, si los dos operadores que representan un par de variables no se comunican, entonces ese par de variables son mutuamente complementarias, lo que significa que no pueden ser medidos simultáneamente o conocidos precisamente. Por ejemplo, la posición y el impulso lineal en el $x$ - la dirección de una partícula está representada por los operadores $x$ y $-ihbar {frac {partial }{partial x}}$ , respectivamente (donde $hbar$ es la constante reducida Planck). Este es el mismo ejemplo excepto por la constante $-ihbar$ , así que de nuevo los operadores no se comunican y el significado físico es que la posición y el impulso lineal en una dirección dada son complementarios.

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