Propiedad anticomomutativa

En matemáticas, anticomtatividad es una propiedad específica de algunas operaciones matemáticas no comunicativas. El intercambio de dos argumentos de una operación antisimétrica produce un resultado que es el inverso del resultado con argumentos no superados. La noción inversa se refiere a una estructura de grupo en el codominio de la operación, posiblemente con otra operación. La suposición es una operación anticomomutativa porque viajar los operandos de a - b da b - a = - ( a - b ); por ejemplo, 2 - 10 = - (10 - 2) = −8. Otro ejemplo prominente de una operación anticomomutativa es el soporte de mentira.

En física matemática, donde la simetría es de importancia central, estas operaciones se llaman principalmente operaciones antisimétricas , y se extienden en un entorno asociativo para cubrir más de dos argumentos.

Definición

Si A,B{displaystyle A,B} son dos grupos abelianos, un mapa bilineal f:: A2→ → B{displaystyle fcolon A^{2}to B} es anticommutante si para todos x,Sí.▪ ▪ A{displaystyle x,yin A} tenemos

f()x,Sí.)=− − f()Sí.,x).{displaystyle f(x,y)=-f(y,x). }

Más generalmente, un mapa multilineal g:An→ → B{displaystyle g:A^{n}to B} es anticommutante si para todos x1,...... xn▪ ▪ A{displaystyle x_{1},dots x_{n}in A} tenemos

g()x1,x2,...... xn)=Sgn()σ σ )g()xσ σ ()1),xσ σ ()2),...... xσ σ ()n)){displaystyle g(x_{1},x_{2},dots x_{n}={text{sgn} {sigma)g(x_{sigma (1)},x_{sigma (2)},dots x_{sigma (n)}}}

Donde Sgn()σ σ ){displaystyle {text{sgn}}(sigma)} es el signo de la permutación σ σ {displaystyle sigma }.

Propiedades

Si el grupo abeliano B{displaystyle B} no tiene 2-torsión, implicando que si x=− − x{displaystyle x=-x} entonces x=0{displaystyle x=0}, entonces cualquier mapa bilineal anticommutante f:: A2→ → B{displaystyle fcolon A^{2}to B} satisfizo

f()x,x)=0.{displaystyle f(x,x)=0.}

Más generalmente, transponiendo dos elementos, cualquier mapa multilineal anticommutante g:: An→ → B{displaystyle gcolon A^{n}to B. satisfizo

g()x1,x2,...... xn)=0{displaystyle g(x_{1},x_{2},dots x_{n}=0}

si alguno de los xi{displaystyle x_{i}} son iguales; dicho mapa es alternando. Por el contrario, usando multilinealidad, cualquier mapa alternativo es anticommutante. En el caso binario esto funciona como sigue: f:: A2→ → B{displaystyle fcolon A^{2}to B} se alterna entonces por bilinearidad que tenemos

f()x+Sí.,x+Sí.)=f()x,x)+f()x,Sí.)+f()Sí.,x)+f()Sí.,Sí.)=f()x,Sí.)+f()Sí.,x)=0{displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}

y la prueba en el caso multilineal es la misma pero solo en dos de las entradas.

Ejemplos

Examples of non commutative binary operations include:

• Producto cruzado
• Soporte de mentira de un álgebra de Lie
• Soporte de mentira de un anillo Lie
• Sustracción