Propagador

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Función en la teoría de campo cuántica mostrando amplitudes de probabilidad de partículas móviles

En la mecánica cuántica y la teoría del campo cuántico, la propagador es una función que especifica la amplitud de probabilidad de una partícula para viajar de un lugar a otro en un determinado período de tiempo, o para viajar con cierta energía e impulso. En los diagramas Feynman, que sirven para calcular la tasa de colisiones en la teoría del campo cuántico, las partículas virtuales contribuyen a su propagador a la tasa del evento de dispersión descrita por el diagrama respectivo. Los promotores también pueden ser considerados como el inverso del operador de onda apropiado a la partícula, y son, por lo tanto, a menudo llamados Funciones de Green (llamado "causal"para distinguirlo de la función elíptica Laplacian Green".

Propagadoras no relativistas

(feminine)

En mecánica cuántica no relativista, el propagador proporciona la amplitud de probabilidad de que una partícula viaje desde un punto espacial (x') en un momento (t') a otro punto espacial (x) en un momento posterior. tiempo (t).

Considere un sistema con $H$ hamiltoniano. La función G de Green (solución fundamental) para la ecuación de Schrödinger es una función

{displaystyle G(x,t;x',t')={frac {1}{ihbar }}Theta (t-t')K(x,t;x',t')}

satisfactorio

{displaystyle left(ihbar {frac {partial }{partial t}}-H_{x}right)G(x,t;x',t')=delta (x-x')delta (t-t'),}

donde $H x$ denota el hamiltoniano escrito en términos del $x$ coordenadas, $δ (x)$ denota el delta de Dirac -función, $Θ(t)$ es la función de paso de Heaviside y $K (x, t; x', t')$ es el núcleo del operador diferencial de Schrödinger anterior entre paréntesis grandes. El término propagador se utiliza a veces en este contexto para referirse a $G$ y, a veces, a $K$ . Este artículo utilizará el término para referirse a $K$ (consulte el principio de Duhamel).

Este propagador también se puede escribir como la amplitud de transición

{displaystyle K(x,t;x',t')={big langle }x{big |}{hat {U}}(t,t'){big |}x'{big rangle },}

Donde $. () t, t)$ es el operador unitario de tiempo-evolución para el sistema que toma estados a tiempo $t$ a los estados a tiempo $t$ . Note la condición inicial aplicada por ${displaystyle lim _{tto t'}K(x,t;x',t')=delta (x-x')}$ .

El propagador mecánico cuántico también se puede encontrar usando una integral de ruta:

{displaystyle K(x,t;x',t')=int exp left[{frac {i}{hbar }}int _{t'}^{t}L({dot {q}},q,t),dtright]D[q(t)],}

donde las condiciones límite de la ruta integral incluyen $q () t) x, q () t) x$ . Aquí. $L$ denota el Lagrangiano del sistema. Los caminos que se resumen sobre el movimiento sólo avanza en el tiempo y se integran con el diferencial ${displaystyle D[q(t)]}$ siguiendo el camino a tiempo.

En la mecánica cuántica no relativista, el propagador permite encontrar la función de onda de un sistema, dada una función de onda inicial y un intervalo de tiempo. La nueva función de onda es especificada por la ecuación

{displaystyle psi (x,t)=int _{-infty }^{infty }psi (x',t')K(x,t;x',t'),dx'.}

Si $K (x, t; x', t')$ solo depende de la diferencia $x - x'$ , esto es una convolución de la función de onda inicial y el propagador.

Ejemplos básicos: propagador de partículas libres y oscilador armónico

Para un sistema invariante traslacionalmente en el tiempo, el propagador solo depende de la diferencia de tiempo $t - t'$ , por lo que puede reescribirse como

{displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t').}

El propagador de una partícula libre unidimensional, que se puede obtener, por ejemplo, a partir de la integral de trayectoria, es entonces

${displaystyle K(x,x';t)={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{+infty }dk,e^{ik(x-x')}e^{-{frac {ihbar k^{2}t}{2m}}}=left({frac {m}{2pi ihbar t}}right)^{frac {1}{2}}e^{-{frac {m(x-x')^{2}}{2ihbar t}}}.}$

Del mismo modo, el propagador de un oscilador armónico cuántico unidimensional es el núcleo Mehler,

${displaystyle K(x,x';t)=left({frac {momega }{2pi ihbar sin omega t}}right)^{frac {1}{2}}exp left(-{frac {momega {big (}(x^{2}+x'^{2})cos omega t-2xx'{big)}}{2ihbar sin omega t}}right).}$

Esto último se puede obtener a partir del resultado anterior de partículas libres haciendo uso de la identidad del grupo de Lie SU(1,1) de van Kortryk,

{displaystyle {begin{aligned}&exp left(-{frac {it}{hbar }}left({frac {1}{2m}}{mathsf {p}}^{2}+{frac {1}{2}}momega ^{2}{mathsf {x}}^{2}right)right)\&=exp left(-{frac {imomega }{2hbar }}{mathsf {x}}^{2}tan {frac {omega t}{2}}right)exp left(-{frac {i}{2momega hbar }}{mathsf {p}}^{2}sin(omega t)right)exp left(-{frac {imomega }{2hbar }}{mathsf {x}}^{2}tan {frac {omega t}{2}}right),end{aligned}}}

{displaystyle {mathsf {x}}}

{displaystyle {mathsf {p}}}

{displaystyle [{mathsf {x}},{mathsf {p}}]=ihbar }

Para el caso $N$ -dimensional, el propagador se puede obtener simplemente por el producto

{displaystyle K({vec {x}},{vec {x}}';t)=prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t).}

Propagadoras relativistas

(feminine)

En la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos, los propagadores son invariantes de Lorentz. Dan la amplitud para que una partícula viaje entre dos eventos del espacio-tiempo.

Propagadora escalar

(feminine)

En la teoría cuántica de campos, la teoría de un campo escalar libre (o que no interactúa) es un ejemplo útil y sencillo que sirve para ilustrar los conceptos necesarios para teorías más complicadas. Describe partículas de espín cero. Hay varios propagadores posibles para la teoría de campos escalares libres. A continuación describimos los más comunes.

Espacio de posición

Los propagadores del espacio de posición son funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon. Esto significa que son funciones $G (x, y)$ que satisfacen

{displaystyle left(square _{x}+m^{2}right)G(x,y)=-delta (x-y),}

$x, y$ son dos puntos en la hora espacial Minkowski,
${displaystyle square _{x}={tfrac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-nabla ^{2}}$ es el operador d'Alembertian actuando en $x$ coordenadas,
$δ () x - Sí.)$ es la función Dirac delta.

(Como es típico en los cálculos de la teoría cuántica de campos relativista, utilizamos unidades donde la velocidad de la luz $c$ y la constante de Planck reducida $ħ$ están configurados en la unidad).

Restringiremos la atención al espacio-tiempo de Minkowski de 4 dimensiones. Podemos realizar una transformada de Fourier de la ecuación del propagador, obteniendo

{displaystyle left(-p^{2}+m^{2}right)G(p)=-1.}

Esta ecuación se puede invertir en el sentido de distribuciones, observando que la ecuación $xf (x) = 1$ tiene la solución (ver teorema de Sokhotski-Plemelj)

{displaystyle f(x)={frac {1}{xpm ivarepsilon }}={frac {1}{x}}mp ipi delta (x),}

ε

La solución es

${displaystyle G(x,y)={frac {1}{(2pi)^{4}}}int d^{4}p,{frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}pm ivarepsilon }},}$

dónde

{displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{vec {p}}cdot ({vec {x}}-{vec {y}})}

Las diferentes opciones para deformar el contorno de integración en la expresión anterior conducen a diversas formas para el propagador. La elección del contorno generalmente se expresa en términos de la ${displaystyle p_{0}}$ integral.

El integrando entonces tiene dos polos en

{displaystyle p_{0}=pm {sqrt {{vec {p}}^{2}+m^{2}}},}

Propagadoras causales

(feminine)

Retarded propagator

Un contorno que va en el sentido de las agujas del reloj sobre ambos polos da el propagador retardado causal. Esto es cero si $x-y$ tiene forma de espacio o $y$ es para el futuro de $x$ , por lo que es cero si $x ⁰< y ⁰$ .

Esta elección del contorno equivale a calcular el límite,

{displaystyle G_{text{ret}}(x,y)=lim _{varepsilon to 0}{frac {1}{(2pi)^{4}}}int d^{4}p,{frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+ivarepsilon)^{2}-{vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{frac {Theta (x^{0}-y^{0})}{2pi }}delta (tau _{xy}^{2})+Theta (x^{0}-y^{0})Theta (tau _{xy}^{2}){frac {mJ_{1}(mtau _{xy})}{4pi tau _{xy}}}.}

Aquí

<math alttext="{displaystyle Theta (x):={begin{cases}1&xgeq 0\0&x. . ()x):={}1x≥ ≥ 00xc)0{displaystyle Theta (x):={begin{cases}1 círculoxgeq 0 curvax obtenidos0end{cases}}<img alt="{displaystyle Theta (x):={begin{cases}1&xgeq 0\0&x

{displaystyle tau _{xy}:={sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({vec {x}}-{vec {y}})^{2}}}}

x

Sí.

{displaystyle J_{1}}

{displaystyle yprec x}

Sí.

x

{displaystyle y^{0}leq x^{0}}

{displaystyle tau _{xy}^{2}geq 0~.}

Esta expresión puede estar relacionada con el valor de expectativa de vacío del conmutador del operador de campo de escalar libre,

{displaystyle G_{text{ret}}(x,y)=-ilangle 0|left[Phi (x),Phi (y)right]|0rangle Theta (x^{0}-y^{0})}

{displaystyle left[Phi (x),Phi (y)right]:=Phi (x)Phi (y)-Phi (y)Phi (x)}

Propagador avanzado

Un contorno que va en sentido antihorario debajo de ambos polos proporciona el propagador causal avanzado. Esto es cero si $x-y$ tiene forma de espacio o si $y$ está en el pasado de $x$ , por lo que es cero si $x ⁰> y ⁰$ .

Esta elección del contorno equivale a calcular el límite

{displaystyle G_{text{adv}}(x,y)=lim _{varepsilon to 0}{frac {1}{(2pi)^{4}}}int d^{4}p,{frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-ivarepsilon)^{2}-{vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{frac {Theta (y^{0}-x^{0})}{2pi }}delta (tau _{xy}^{2})+Theta (y^{0}-x^{0})Theta (tau _{xy}^{2}){frac {mJ_{1}(mtau _{xy})}{4pi tau _{xy}}}.}

Esta expresión también se puede expresar en términos del valor esperado de vacío del conmutador del campo escalar libre. En este caso,

{displaystyle G_{text{adv}}(x,y)=ilangle 0|left[Phi (x),Phi (y)right]|0rangle Theta (y^{0}-x^{0})~.}

Propagador de Feynman

Un contorno que pasa por debajo del polo izquierdo y por encima del polo derecho da como resultado el propagador de Feynman, introducido por Richard Feynman en 1948.

Esta elección del contorno equivale a calcular el límite

<math alttext="{displaystyle G_{F}(x,y)=lim _{varepsilon to 0}{frac {1}{(2pi)^{4}}}int d^{4}p,{frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}={begin{cases}-{frac {1}{4pi }}delta (tau _{xy}^{2})+{frac {m}{8pi tau _{xy}}}H_{1}^{(1)}(mtau _{xy})&tau _{xy}^{2}geq 0\-{frac {im}{4pi ^{2}{sqrt {-tau _{xy}^{2}}}}}K_{1}(m{sqrt {-tau _{xy}^{2}}})&tau _{xy}^{2}GF()x,Sí.)=limε ε → → 01()2π π )4∫ ∫ d4pe− − ip()x− − Sí.)p2− − m2+iε ε ={}− − 14π π δ δ ()τ τ xSí.2)+m8π π τ τ xSí.H1()1)()mτ τ xSí.)τ τ xSí.2≥ ≥ 0− − im4π π 2− − τ τ xSí.2K1()m− − τ τ xSí.2)τ τ xSí.2c)0.{displaystyle G_{F}(x,y)=lim _{varepsilon to 0}{frac {1}{(2pi)}}int d^{4}p,{frac {e^{-ip(x-y)}}{2}-m^{2}+ivarepsilon {}={begin{cases}-{frac {1}{4pi}delta (tau _{xy}^{2})+{frac {m}{8pi {fnMicrosoft _{xi}}}H_{1}{(1)}(mtau _{xy}) {tau _{xy}^{2}gq 0\-{frac {im}{4pi} ¿Qué? {-tau _{xy} {2}}}}} {mxi}{2} {0}end{cases}}<img alt="{displaystyle G_{F}(x,y)=lim _{varepsilon to 0}{frac {1}{(2pi)^{4}}}int d^{4}p,{frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}={begin{cases}-{frac {1}{4pi }}delta (tau _{xy}^{2})+{frac {m}{8pi tau _{xy}}}H_{1}^{(1)}(mtau _{xy})&tau _{xy}^{2}geq 0\-{frac {im}{4pi ^{2}{sqrt {-tau _{xy}^{2}}}}}K_{1}(m{sqrt {-tau _{xy}^{2}}})&tau _{xy}^{2}

Aquí, $H 1 (1)$ es una función de Hankel y $K 1$ es una función de Bessel modificada.

Esta expresión se puede derivar directamente de la teoría de campos como el valor esperado de vacío del producto ordenado en el tiempo del campo escalar libre, es decir, el producto siempre tomado de manera que el ordenamiento temporal de los puntos del espacio-tiempo son los mismos,

{displaystyle {begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-ilangle 0|T(Phi (x)Phi (y))|0rangle \[4pt]&=-ileftlangle 0|left[Theta (x^{0}-y^{0})Phi (x)Phi (y)+Theta (y^{0}-x^{0})Phi (y)Phi (x)right]|0rightrangle.end{aligned}}}

Esta expresión es invariante de Lorentz, siempre y cuando los operadores de campo conmuten entre sí cuando los puntos $x$ y $y$ están separados por un intervalo similar a un espacio.

La derivación habitual es insertar un conjunto completo de estados de impulso de una sola partícula entre los campos con normalización covariante de Lorentz y luego mostrar que las funciones $Θ$ proporcionan el tiempo causal. El orden se puede obtener mediante una integral de contorno a lo largo del eje de energía, si el integrando es el anterior (de ahí la parte imaginaria infinitesimal), para mover el polo fuera de la línea real.

El propagador también se puede derivar utilizando la formulación integral de trayectoria de la teoría cuántica.

Propagadora de Dirac

(feminine)

Introducido por Paul Dirac en 1938.

Propagador espacial de impulso

La transformada de Fourier de los propagadores del espacio de posición se puede considerar como propagadores en el espacio de momento. Estos adoptan una forma mucho más simple que los propagadores del espacio de posición.

A menudo se escriben con un término $ε$ explícito, aunque se entiende que esto es un recordatorio sobre qué contorno de integración es apropiado ( véase más arriba). Este término $ε$ se incluye para incorporar condiciones de contorno y causalidad (ver más abajo).

Para un $p$ de 4 impulsos, los propagadores causales y de Feynman en el espacio de impulso son:

{displaystyle {tilde {G}}_{text{ret}}(p)={frac {1}{(p_{0}+ivarepsilon)^{2}-{vec {p}}^{2}-m^{2}}}}

{displaystyle {tilde {G}}_{text{adv}}(p)={frac {1}{(p_{0}-ivarepsilon)^{2}-{vec {p}}^{2}-m^{2}}}}

{displaystyle {tilde {G}}_{F}(p)={frac {1}{p^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}.}

Para propósitos de cálculos de diagramas de Feynman, generalmente es conveniente escribirlos con un factor general adicional de $i$ (las convenciones varían ).

¿Más rápido que la luz?

El propagador Feynman tiene algunas propiedades que al principio parecen abultarse. En particular, a diferencia del conmutador, el propagador es nonzero fuera del cono de luz, aunque cae rápidamente para intervalos espaciales. Interpretado como una amplitud para el movimiento de partículas, esto se traduce en la partícula virtual que viaja más rápido que la luz. No es inmediatamente obvio cómo esto se puede reconciliar con la causalidad: ¿podemos utilizar partículas virtuales más rápidas que la luz para enviar mensajes más rápidos que la luz?

La respuesta es no: mientras que en la mecánica clásica los intervalos a lo largo de los cuales pueden viajar las partículas y los efectos causales son los mismos, esto ya no es cierto en la teoría cuántica de campos, donde son los conmutadores los que determinan qué operadores pueden afectarse entre sí.

Entonces, ¿qué representa la parte espacial del propagador? En QFT, el vacío es un participante activo y el número de partículas y los valores de campo están relacionados por un principio de incertidumbre; Los valores de campo son inciertos incluso para el número de partículas cero. Existe una amplitud de probabilidad distinta de cero para encontrar una fluctuación significativa en el valor de vacío del campo $Φ(x)$ si se mide localmente (o, para decirlo de otra manera, (para ser más preciso, si se mide un operador obtenido promediando el campo en una región pequeña). Además, la dinámica de los campos tiende a favorecer hasta cierto punto las fluctuaciones espacialmente correlacionadas. El producto ordenado en el tiempo distinto de cero para campos separados en forma espacial simplemente mide la amplitud de una correlación no local en estas fluctuaciones del vacío, análoga a una correlación EPR. De hecho, al propagador a menudo se le llama función de correlación de dos puntos para el campo libre.

Puesto que, por los postulados de la teoría del campo cuántico, todos los operadores observables se comunican entre sí en separación espacial, los mensajes no pueden ser enviados más a través de estas correlaciones que pueden a través de cualquier otra correlación EPR; las correlaciones están en variables aleatorias.

Con respecto a las partículas virtuales, el propagador en una separación similar al espacio puede considerarse como un medio para calcular la amplitud para crear un par virtual partícula-antipartícula que eventualmente desaparece en el vacío, o para detectar un par virtual que emerge del vacío. En lenguaje de Feynman, tales procesos de creación y aniquilación equivalen a una partícula virtual que vaga hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, lo que puede sacarla del cono de luz. Sin embargo, no se permite ninguna señalización retrospectiva en el tiempo.

Explicación sobre el uso de límites

Esto se puede aclarar escribiendo el propagador de la siguiente forma para una partícula sin masa:

{displaystyle G_{F}^{varepsilon }(x,y)={frac {varepsilon }{(x-y)^{2}+ivarepsilon ^{2}}}.}

Esta es la definición habitual pero normalizada por un factor ${displaystyle varepsilon }$ . Entonces la regla es que uno solo toma el límite ${displaystyle varepsilon to 0}$ al final de un cálculo.

Uno ve que

{displaystyle G_{F}^{varepsilon }(x,y)={frac {1}{varepsilon }}quad {text{if}}~~~(x-y)^{2}=0,}

{displaystyle lim _{varepsilon to 0}G_{F}^{varepsilon }(x,y)=0quad {text{if}}~~~(x-y)^{2}neq 0.}

{displaystyle lim _{varepsilon to 0}int |G_{F}^{varepsilon }(0,x)|^{2},dx^{3}=lim _{varepsilon to 0}int {frac {varepsilon ^{2}}{(mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+varepsilon ^{4}}},dx^{3}=2pi ^{2}|t|.}

Propagadores en diagramas Feynman

El uso más común del propagador es calcular amplitudes de probabilidad para interacciones de partículas usando diagramas de Feynman. Estos cálculos suelen realizarse en el espacio de momento. En general, la amplitud obtiene un factor del propagador para cada línea interna, es decir, cada línea que no representa una partícula entrante o saliente en el estado inicial o final. También obtendrá un factor proporcional y similar en forma a un término de interacción en el lagrangiano de la teoría para cada vértice interno donde se encuentran las líneas. Estas prescripciones se conocen como reglas de Feynman.

Las líneas internas corresponden a partículas virtuales. Dado que el propagador no desaparece en combinaciones de energía y momento no permitidas por las ecuaciones de movimiento clásicas, decimos que a las partículas virtuales se les permite estar fuera de su capa. De hecho, dado que el propagador se obtiene invirtiendo la ecuación de onda, en general tendrá singularidades en la capa.

La energía transportada por la partícula en el propagador puede incluso ser negativo. Esto se puede interpretar simplemente como el caso en el que, en lugar de una partícula que va de una manera, su antipartícula está yendo otros por lo tanto, llevando un flujo opuesto de energía positiva. El propagador abarca ambas posibilidades. Esto significa que uno tiene que tener cuidado con menos signos para el caso de los fermions, cuyos propagadores ni siquiera son funciones en la energía y el impulso (ver abajo).

Las partículas virtuales conservan energía e impulso. Sin embargo, ya que pueden estar fuera de la cáscara, dondequiera que el diagrama contenga un cerrado bucle, las energías y momentáneas de las partículas virtuales que participan en el bucle serán parcialmente inconmovibles, ya que un cambio en una cantidad para una partícula en el bucle puede ser equilibrado por un cambio igual y opuesto en otro. Por lo tanto, cada bucle en un diagrama Feynman requiere una integral sobre un continuo de posibles energías y momentá. En general, estas integrales de productos de propagadores pueden divergir, situación que debe ser manejada por el proceso de renormalización.

Otras teorías

Gira 1⁄2

Si la partícula posee espín entonces su propagador es en general algo más complicado, ya que implicará el espín de la partícula o los índices de polarización. La ecuación diferencial satisfecha por el propagador para una partícula de espín 1⁄2 es dado por

{displaystyle (inot nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}delta ^{4}(x'-x),}

donde $I 4$ es la matriz unitaria en cuatro dimensiones y emplea la notación de barra diagonal de Feynman. Esta es la ecuación de Dirac para una fuente de función delta en el espacio-tiempo. Usando la representación del impulso,

{displaystyle S_{F}(x',x)=int {frac {d^{4}p}{(2pi)^{4}}}exp {left[-ipcdot (x'-x)right]}{tilde {S}}_{F}(p),}

{displaystyle {begin{aligned}&(inot nabla '-m)int {frac {d^{4}p}{(2pi)^{4}}}{tilde {S}}_{F}(p)exp {left[-ipcdot (x'-x)right]}\[6pt]={}&int {frac {d^{4}p}{(2pi)^{4}}}(not p-m){tilde {S}}_{F}(p)exp {left[-ipcdot (x'-x)right]}\[6pt]={}&int {frac {d^{4}p}{(2pi)^{4}}}I_{4}exp {left[-ipcdot (x'-x)right]}\[6pt]={}&I_{4}delta ^{4}(x'-x),end{aligned}}}

donde en el lado derecho se utiliza una representación integral de la función delta cuatridimensional. Así

{displaystyle (not p-mI_{4}){tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}.}

Multiplicándose de la izquierda con

{displaystyle (not p+m)}

{displaystyle {begin{aligned}not pnot p&={tfrac {1}{2}}(not pnot p+not pnot p)\[6pt]&={tfrac {1}{2}}(gamma _{mu }p^{mu }gamma _{nu }p^{nu }+gamma _{nu }p^{nu }gamma _{mu }p^{mu })\[6pt]&={tfrac {1}{2}}(gamma _{mu }gamma _{nu }+gamma _{nu }gamma _{mu })p^{mu }p^{nu }\[6pt]&=g_{mu nu }p^{mu }p^{nu }=p_{nu }p^{nu }=p^{2},end{aligned}}}

Se ha descubierto que el propagador de momento-espacio utilizado en los diagramas de Feynman para un campo de Dirac que representa al electrón en electrodinámica cuántica tiene forma

{displaystyle {tilde {S}}_{F}(p)={frac {(not p+m)}{p^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}={frac {(gamma ^{mu }p_{mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}.}

El $iε$ abajo es una receta para cómo manejar los polos en el complejo $p 0$ - Avión. Rendirá automáticamente el contorno Feynman de integración cambiando los polos adecuadamente. A veces está escrito

{displaystyle {tilde {S}}_{F}(p)={1 over gamma ^{mu }p_{mu }-m+ivarepsilon }={1 over not p-m+ivarepsilon }}

para abreviar. Debe recordarse que esta expresión es sólo la notación corta para $() γ μ p μ - m) -1$ . "Uno sobre la matriz" es de otra manera no sensorial. En el espacio de posición uno tiene

{displaystyle S_{F}(x-y)=int {frac {d^{4}p}{(2pi)^{4}}},e^{-ipcdot (x-y)}{frac {gamma ^{mu }p_{mu }+m}{p^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}=left({frac {gamma ^{mu }(x-y)_{mu }}{|x-y|^{5}}}+{frac {m}{|x-y|^{3}}}right)J_{1}(m|x-y|).}

Esto está relacionado con el propagador de Feynman por

{displaystyle S_{F}(x-y)=(inot partial +m)G_{F}(x-y)}

Donde ${displaystyle not partial:=gamma ^{mu }partial _{mu }}$ .

Gira 1

El propagador de un bosón de calibre en una teoría de calibre depende de la elección de la convención para fijar el calibre. Para el calibre utilizado por Feynman y Stueckelberg, el propagador de un fotón es

{displaystyle {-ig^{mu nu } over p^{2}+ivarepsilon }.}

Forma general con parámetro calibre $λ$ , hasta el signo general y el factor de ${displaystyle i}$ , leer

{displaystyle -i{frac {g^{mu nu }+left(1-{frac {1}{lambda }}right){frac {p^{mu }p^{nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+ivarepsilon }}.}

El propagador para un campo vectorial masivo puede derivarse del Stueckelberg Lagrangian. Forma general con parámetro calibre $λ$ , hasta el signo general y el factor de ${displaystyle i}$ , leer

{displaystyle {frac {g_{mu nu }-{frac {k_{mu }k_{nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}+{frac {frac {k_{mu }k_{nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{frac {m^{2}}{lambda }}+ivarepsilon }}.}

Con estas formas generales se obtienen los propagadores en ancho unitario para $λ = 0$ , el propagador en ancho Feynman o 't Hooft para $λ = 1$ y en vía Landau o Lorenz para $λ = \infty. También hay otras notaciones en las que el parámetro calibre es el inverso de λ, normalmente denotado como ξ (ver calibres Rξ). El nombre del propagador, sin embargo, se refiere a su forma final y no necesariamente al valor del parámetro de calibre.$

Calibre unitario:

{displaystyle {frac {g_{mu nu }-{frac {k_{mu }k_{nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}.}

Medidor Feynman ('t Hooft):

{displaystyle {frac {g_{mu nu }}{k^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}.}

Medidor de Landau (Lorenz):

{displaystyle {frac {g_{mu nu }-{frac {k_{mu }k_{nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+ivarepsilon }}.}

Graviton propagator

El propagador de gravitones para el espacio de Minkowski en la relatividad general es

{displaystyle G_{alpha beta ~mu nu }={frac {{mathcal {P}}_{alpha beta ~mu nu }^{2}}{k^{2}}}-{frac {{mathcal {P}}_{s}^{0}{}_{alpha beta ~mu nu }}{2k^{2}}}={frac {g_{alpha mu }g_{beta nu }+g_{beta mu }g_{alpha nu }-{frac {2}{D-2}}g_{mu nu }g_{alpha beta }}{k^{2}}},}

{displaystyle D}

{displaystyle {mathcal {P}}^{2}}

{displaystyle {mathcal {P}}_{s}^{0}}

{displaystyle G={frac {{mathcal {P}}^{2}}{2H^{2}-Box }}+{frac {{mathcal {P}}_{s}^{0}}{2(Box +4H^{2})}},}

{displaystyle H}

{displaystyle Hto 0}

{displaystyle Box to -k^{2}}

Funciones singulares relacionadas

Los propagadores escalares son funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon. Hay funciones singulares relacionadas que son importantes en la teoría cuántica de campos. Seguimos la notación de Bjorken y Drell. Véase también Bogolyubov y Shirkov (Apéndice A). Estas funciones se definen de manera más simple en términos del valor esperado de vacío de los productos de los operadores de campo.

Soluciones a la ecuación de Klein-Gordon

Función Pauli-Jordan

El conmutador de dos operadores de campo de escalar define la función Pauli-Jordan ${displaystyle Delta (x-y)}$ por

{displaystyle langle 0|left[Phi (x),Phi (y)right]|0rangle =i,Delta (x-y)}

con

{displaystyle ,Delta (x-y)=G_{text{ret}}(x-y)-G_{text{adv}}(x-y)}

Esto satisface

{displaystyle Delta (x-y)=-Delta (y-x)}

y es cero si $<math alttext="{displaystyle (x-y)^{2}()x− − Sí.)2c)0{displaystyle (x-y)^{2}traducido0}<img alt="{displaystyle (x-y)^{2}$ .

Partes de frecuencia positiva y negativa (cortar propagadores)

Podemos definir las partes de frecuencia positiva y negativa ${displaystyle Delta (x-y)}$ , a veces llamados propagadores cortados, de una manera relativistamente invariante.

Esto nos permite definir la parte de frecuencia positiva: