Progresión aritmética

Una progresión aritmética o secuencia aritmética (AP) es una secuencia de números tal que la diferencia de cualquier término siguiente a su término precedente permanece constante a lo largo de la sucesión. La diferencia constante se llama diferencia común de esa progresión aritmética. Por ejemplo, la secuencia 5, 7, 9, 11, 13, 15,... es una progresión aritmética con una diferencia común de 2.

Si el término inicial de una progresión aritmética es a1{displaystyle A_{1} y la diferencia común de los miembros sucesivos d{displaystyle d}, entonces el n{displaystyle n}- el término de la secuencia (an{displaystyle a_{n}) es dado por:

an=a1+()n− − 1)d{displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

Una parte finita de una progresión aritmética se denomina progresión aritmética finita y, a veces, simplemente se denomina progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética finita se denomina serie aritmética.

Historia

Según una anécdota de confiabilidad incierta, el joven Carl Friedrich Gauss, que estaba en la escuela primaria, reinventó este método para calcular la suma de los números enteros del 1 al 100, multiplicando n/2 pares de números en la suma de los valores de cada par n + 1. Sin embargo, independientemente de la veracidad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos encuentran probable que su origen se remonte a los pitagóricos en el siglo V a. Reglas similares fueron conocidas en la antigüedad por Arquímedes, Hipsicles y Diofanto; en China a Zhang Qiujian; en India a Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara II; y en la Europa medieval a Alcuino, Dicuil, Fibonacci, Sacrobosco ya comentaristas anónimos del Talmud conocidos como tosafistas.

Suma

La suma de los miembros de una progresión aritmética finita se denomina serie aritmética. Por ejemplo, considere la suma:

2+5+8+11+14=40{displaystyle 2+5+8+11+14=40}

Esta suma se puede encontrar rápidamente tomando el número n de términos que se están sumando (aquí 5), multiplicando por la suma del primer y último número en la progresión (aquí 2 + 14 = 16), y dividiendo por 2:

n()a1+an)2{displaystyle {frac {fn}}{2}}} {fn}} {fn}}}

En el caso anterior, esto da la ecuación:

2+5+8+11+14=5()2+14)2=5× × 162=40.{displaystyle 2+5+8+11+14={frac {5(2+14)}{2}={frac {5times 16}=40.}

Esta fórmula funciona para cualquier número real a1{displaystyle A_{1} y an{displaystyle a_{n}. Por ejemplo:

()− − 32)+()− − 12)+12=3()− − 32+12)2=− − 32.{displaystyle left(-{3}{2}right)+left(-{frac {1}{2}right)+{frac {1}{2}={frac {3left(-{frac} {3}{2}}+{frac {1} {2}}} {2}}=-{frac} {frac} {f} {fnMic}}} {fnK}}} {fnMic}}}} {f}}} {fnK}}}} {fnMic}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {3}{2}}

Derivación

Prueba animada para la fórmula que da la suma de los primeros enteros 1+2+...+n.

Para derivar la fórmula anterior, comience expresando la serie aritmética de dos maneras diferentes:

Sn=a+a2+a3+⋯ ⋯ +a()n− − 1)+an{displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+dots #

Sn=a+()a+d)+()a+2d)+⋯ ⋯ +()a+()n− − 2)d)+()a+()n− − 1)d).{displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d). }

Reescribiendo los términos en orden inverso:

Sn=()a+()n− − 1)d)+()a+()n− − 2)d)+⋯ ⋯ +()a+2d)+()a+d)+a.{displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+dots +(a+2d)+(a+d)+a.}

Sumar los términos correspondientes de ambos lados de las dos ecuaciones y dividir ambos lados por la mitad:

Sn=n2[2a+()n− − 1)d].{displaystyle S_{n}={frac {n} {2}[2a+(n-1)d].}

Esta fórmula se puede simplificar como:

Sn=n2[a+a+()n− − 1)d].=n2()a+an).=n2()mandato inicial+último).{displaystyle {begin{aligned}S_{n} {n}{2} {a+a+(n-1)d].\fn} {n} {2}(a+a_{n})\\fn}\\fn}\\cH0}\\cH00}\\cH00}\\cH0cH00cH0} {n}{2} {text{initial term}}+{text{last term}}}end{aligned}}}}}}

Además, el valor medio de la serie se puede calcular a través de: Sn/n{displaystyle S_{n}/n}:

ā ̄ =a1+an2.{displaystyle {fnK}={frac} {a_{1}+a_{n}} {2}}

La fórmula es muy similar a la media de una distribución uniforme discreta.

Producto

El producto de los miembros de una progresión aritmética finita con un elemento inicial a₁, diferencias comunes d y n elementos en total se determina en una expresión cerrada

a1a2a3⋯ ⋯ an=a1()a1+d)()a1+2d)...()a1+()n− − 1)d)=∏ ∏ k=0n− − 1()a1+kd)=dn.. ()a1d+n).. ()a1d){displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=prod) ¿Qué? {Gamma left({frac {a_{1} {d}nright)}{ Gamma left({frac {a_{1} {d} {}}}}}}

Donde .. {displaystyle "Gamma" denota la función Gamma. La fórmula no es válida cuando a1/d{displaystyle a_{1}/d} es negativo o cero.

Esta es una generalización del hecho de que el producto de la progresión 1× × 2× × ⋯ ⋯ × × n{displaystyle 1times 2times cdots times n} se da por el factorial n!{displaystyle n!} y que el producto

m× × ()m+1)× × ()m+2)× × ⋯ ⋯ × × ()n− − 2)× × ()n− − 1)× × n{displaystyle mtimes (m+1)times (m+2)times cdots times (n-2)times (n-1)times n}

para números enteros positivos m{displaystyle m} y n{displaystyle n} es dado por

n!()m− − 1)!.{displaystyle {frac {n}{(m-1)}}}}

Derivación

a1a2a3⋯ ⋯ an=∏ ∏ k=0n− − 1()a1+kd)=∏ ∏ k=0n− − 1d()a1d+k)=d()a1d)d()a1d+1)d()a1d+2)⋯ ⋯ d()a1d+()n− − 1))=dn∏ ∏ k=0n− − 1()a1d+k)=dn()a1d)n̄ ̄ {displaystyle {begin{aligned}a_{2}a_{3}cdots a_{n} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? {a_{1}{d}+kright)=dleft({frac) {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {a_{1}{d}}+1right)dleft({frac {a_{1}{d}+2right)cdots dleft({frac] {a_{1} {d}+(n-1)right)\fn}prod} ¿Por qué? {fn} {fn} {fn} {fn} {fnfn}} {fn}}kright)=d^{n}{n}{n} {fn} {fn} {fn} {fn}fnfn}fnfnfnfnhn}}}}fnh}fnh}}}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fn}fnh}fnhfnhnhnh}fnhnh}}}}fnhfnh}fnhn}fnhnh}fnhnh}fnh}ccfnfnhnh}fnh}}}}}}fnhnhnh}}}}}}}fnhnhnh}cfnh {fn} {fn}}} {fn}}} {fn} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Donde xn̄ ̄ {displaystyle x^{soverline {n}} denota el factorial creciente.

Por la fórmula de recurrencia .. ()z+1)=z.. ()z){displaystyle Gamma (z+1)=zGamma (z)}, válido para un número complejo 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">z■0{displaystyle z]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f44149d6ef295968e2c1d391c2f98c1da9fca30" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.349ex; height:2.176ex;"/>,

.. ()z+2)=()z+1).. ()z+1)=()z+1)z.. ()z){displaystyle Gamma (z+2)=(z+1)Gamma (z+1)=(z+1)zGamma (z)},

.. ()z+3)=()z+2).. ()z+2)=()z+2)()z+1)z.. ()z){displaystyle Gamma (z+3)=(z+2)Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)zGamma (z)},

para que

.. ()z+m).. ()z)=∏ ∏ k=0m− − 1()z+k){displaystyle {frac {Gamma (z+m)}{Gamma (z)}=prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}

para m{displaystyle m} un entero positivo y z{displaystyle z} un número complejo positivo.

Así, si 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a1/d■0{displaystyle a_{1}/d título0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ca8dbec2d28e8f2cc719a42025a286233a2716" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.923ex; height:2.843ex;"/>,

∏ ∏ k=0n− − 1()a1d+k)=.. ()a1d+n).. ()a1d){displaystyle prod _{k=0}{n-1}left({frac {a_{1}{d}+kright)={frac {Gamma left({frac {a_{1} {d}nright)}{ Gamma left({frac {a_{1} {d} {}}}}}},

y, finalmente,

a1a2a3⋯ ⋯ an=dn∏ ∏ k=0n− − 1()a1d+k)=dn.. ()a1d+n).. ()a1d){displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}cdots a_{n}=d^{n}prod ¿Por qué? [a_{1} {d}+kright)=d^{n}{frac {Gamma left({frac {a_{1} {d}nright)}{ Gamma left({frac {a_{1} {d} {}}}}}}

Ejemplos

Ejemplo 1

Tomando el ejemplo 3,8,13,18,23,28,...... {displaystyle 3,8,13,18,23,28,}, el producto de los términos de la progresión aritmética dada por an=3+5()n− − 1){displaystyle a_{n}=3+5(n-1)} hasta el 50o período

P50=550⋅ ⋅ .. ()3/5+50).. ()3/5).. 3.78438× × 1098.{displaystyle P_{50}=5^{50}cdot {frac {Gammaleft(3/5+50right)}{ Gamma left(3/5right)}approx 3.78438times 10^{98}.

Ejemplo 2

El producto de los primeros 10 números impares ()1,3,5,7,9,11,13,15,17,19){displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)} es dado por

1⋅ ⋅ 3⋅ ⋅ 5⋯ ⋯ 19=∏ ∏ k=09()1+2k)=210⋅ ⋅ .. ()12+10).. ()12){displaystyle 1cdot 3cdot 5cdots 19=prod - ¿Por qué? {Gammaleft {frac {2}}+10right)}{Gammaleft({frac {1}{2}}}}}}}}}} = 654,729,075

Desviación estándar

La desviación estándar de cualquier progresión aritmética se puede calcular como

σ σ =SilenciodSilencio()n− − 1)()n+1)12{displaystyle sigma = sometida a la vida {sqrt {frac {(n-1)}{12}}}}

Donde n{displaystyle n} es el número de términos en la progresión y d{displaystyle d} es la diferencia común entre términos. La fórmula es muy similar a la desviación estándar de una distribución uniforme discreta.

Intersecciones

La intersección de dos progresiones aritméticas doblemente infinitas cualquiera está vacía o es otra progresión aritmética, que se puede encontrar usando el teorema chino del resto. Si cada par de progresiones de una familia de progresiones aritméticas doblemente infinitas tiene una intersección no vacía, entonces existe un número común a todas ellas; es decir, infinitas progresiones aritméticas forman una familia Helly. Sin embargo, la intersección de infinitas progresiones aritméticas infinitas podría ser un solo número en lugar de ser una progresión infinita.