Programa Erlangen

En matemáticas, el programa Erlangen es un método de caracterización de geometrías basado en la teoría de grupos y la geometría proyectiva. Fue publicado por Felix Klein en 1872 como Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Lleva el nombre de la Universidad Erlangen-Nürnberg, donde trabajó Klein.

Para 1872, habían surgido geometrías no euclidianas, pero sin una forma de determinar su jerarquía y relaciones. El método de Klein fue fundamentalmente innovador en tres formas:

• La geometría proyectiva se destacó como el marco unificador para todas las otras geometrías consideradas por él. En particular, la geometría euclidiana era más restrictiva que la geometría afina, que a su vez es más restrictiva que la geometría proyectiva.

• Klein propuso que la teoría del grupo, una rama de las matemáticas que utiliza métodos algebraicos para abstractar la idea de la simetría, era la forma más útil de organizar el conocimiento geométrico; en el momento ya se había introducido en la teoría de las ecuaciones en la forma de la teoría de Galois.

• Klein hizo mucho más explícita la idea de que cada lenguaje geométrico tenía sus propios conceptos apropiados, por ejemplo geometría proyectiva correctamente habló sobre secciones conicas, pero no sobre círculos o ángulos porque esas nociones no eran invariantes bajo transformaciones proyectivas (algo familiar en perspectiva geométrica). La forma en que los múltiples idiomas de la geometría volvieron juntos podría explicarse por la forma en que subgrupos de un grupo de simetría se relacionaban entre sí.

Letter, Élie Cartan generalizó los espacios modelo homogéneos de Klein a las conexiones de Cartan en ciertos paquetes principales, lo que generalizó la geometría de Riemann.

Los problemas de la geometría del siglo XIX

Desde Euclides, geometría había significado la geometría del espacio euclidiano de dos dimensiones (geometría plana) o de tres dimensiones (geometría sólida). En la primera mitad del siglo XIX hubo varios acontecimientos que complicaron el panorama. Las aplicaciones matemáticas requerían geometría de cuatro o más dimensiones; el examen minucioso de los fundamentos de la geometría euclidiana tradicional había revelado la independencia del postulado de las paralelas de los demás, y había nacido la geometría no euclidiana. Klein propuso la idea de que todas estas nuevas geometrías son solo casos especiales de la geometría proyectiva, como ya desarrollaron Poncelet, Möbius, Cayley y otros. Klein también sugirió enfáticamente a los físicos matemáticos que incluso un cultivo moderado del ámbito proyectivo podría traerles beneficios sustanciales.

Con cada geometría, Klein asoció un grupo subyacente de simetrías. La jerarquía de geometrías se representa así matemáticamente como una jerarquía de estos grupos y una jerarquía de sus invariantes. Por ejemplo, las longitudes, los ángulos y las áreas se conservan con respecto al grupo euclidiano de simetrías, mientras que solo la estructura de incidencia y la relación cruzada se conservan bajo las transformaciones proyectivas más generales. Un concepto de paralelismo, que se conserva en la geometría afín, no tiene sentido en la geometría proyectiva. Luego, al abstraer los grupos subyacentes de simetrías de las geometrías, las relaciones entre ellos pueden restablecerse a nivel de grupo. Dado que el grupo de geometría afín es un subgrupo del grupo de geometría proyectiva, cualquier noción invariante en geometría proyectiva tiene a priori significado en geometría afín; pero no al revés. Si elimina las simetrías requeridas, tiene una teoría más poderosa pero menos conceptos y teoremas (que serán más profundos y generales).

Espacios homogéneos

En otras palabras, los "espacios tradicionales" son espacios homogéneos; pero no para un grupo únicamente determinado. Cambiar el grupo cambia el lenguaje geométrico apropiado.

En el lenguaje actual, los grupos involucrados en la geometría clásica son muy conocidos como grupos de Lie: los grupos clásicos. Las relaciones específicas se describen de manera bastante simple, utilizando un lenguaje técnico.

Ejemplos

Por ejemplo, el grupo de geometría proyectiva en n dimensiones de valor real es el grupo de simetría del espacio proyectivo real n-dimensional (el grupo lineal general de grado n + 1, cociente por matrices escalares). El grupo afín será el subgrupo que respeta (asignándose a sí mismo, no fijando puntos) el hiperplano elegido en el infinito. Este subgrupo tiene una estructura conocida (producto semidirecto del grupo lineal general de grado n con el subgrupo de traslaciones). Esta descripción nos dice qué propiedades son 'afín'. En términos de geometría del plano euclidiano, ser un paralelogramo es afín ya que las transformaciones afines siempre llevan un paralelogramo a otro. Ser un círculo no es afín ya que una cizalla afín llevará un círculo a una elipse.

Para explicar con precisión la relación entre la geometría afín y la euclidiana, ahora debemos precisar el grupo de geometría euclidiana dentro del grupo afín. El grupo euclidiano es de hecho (utilizando la descripción anterior del grupo afín) el producto semidirecto del grupo ortogonal (rotación y reflexión) con las traslaciones. (Consulte la geometría de Klein para obtener más detalles).

Influencia en el trabajo posterior

Los efectos a largo plazo del programa de Erlangen se pueden ver en todas las matemáticas puras (ver uso tácito en congruencia (geometría), por ejemplo); y la idea de transformaciones y de síntesis usando grupos de simetría se ha vuelto estándar en la física.

Cuando la topología se describe rutinariamente en términos de propiedades invariantes bajo el homeomorfismo, uno puede ver la idea subyacente en funcionamiento. Los grupos involucrados serán de dimensión infinita en casi todos los casos, y no grupos de Lie, pero la filosofía es la misma. Por supuesto, esto habla principalmente de la influencia pedagógica de Klein. Libros como los de H.S.M. Coxeter usó rutinariamente el enfoque del programa Erlangen para ayudar a 'colocar' geometrías En términos pedagógicos, el programa se convirtió en geometría de transformación, una bendición a medias en el sentido de que se basa en intuiciones más sólidas que el estilo de Euclides, pero es más difícil convertirlo en un sistema lógico.

En su libro Estructuralismo (1970), Jean Piaget dice: "A los ojos de los matemáticos estructuralistas contemporáneos, como Bourbaki, el programa de Erlangen equivale solo a una victoria parcial del estructuralismo, ya que quieren subordinar todas las matemáticas, no sólo la geometría, a la idea de estructura."

Para una geometría y su grupo, un elemento del grupo a veces se denomina movimiento de la geometría. Por ejemplo, se puede aprender sobre el modelo de semiplano de Poincaré de geometría hiperbólica a través de un desarrollo basado en movimientos hiperbólicos. Tal desarrollo permite demostrar metódicamente el teorema de las ultraparalelas mediante movimientos sucesivos.

Resumen de declaraciones del programa de Erlangen

Muy a menudo, parece que hay dos o más geometrías distintas con grupos de automorfismos isomórficos. Surge la cuestión de leer el programa de Erlangen desde el grupo abstracto, a la geometría.

Un ejemplo: geometría elíptica orientada (es decir, reflejos no incluidos) (es decir, la superficie de una n-esfera con puntos opuestos identificados) y geometría esférica orientada (la misma geometría no euclidiana, pero con puntos opuestos no identificados) tienen un grupo de automorfismos isomórficos, SO(n+1) para incluso n. Estos pueden parecer distintos. Sin embargo, resulta que las geometrías están muy estrechamente relacionadas, de una manera que se puede precisar.

Para tomar otro ejemplo, las geometrías elípticas con diferentes radios de curvatura tienen grupos de automorfismos isomórficos. Eso realmente no cuenta como una crítica ya que todas esas geometrías son isomorfas. La geometría general de Riemann queda fuera de los límites del programa.

Los números complejos, duales y dobles (también conocidos como split-complex) aparecen como espacios homogéneos SL(2,R)/H para el grupo SL(2,R) y sus subgrupos H= A, N, K. El grupo SL(2,R) actúa sobre estos espacios homogéneos mediante transformaciones fraccionarias lineales y gran parte de las respectivas geometrías se pueden obtener de forma uniforme a partir del programa de Erlangen.

Algunos ejemplos más notables han surgido en la física.

En primer lugar, la geometría hiperbólica n-dimensional, el espacio de Sitter n-dimensional y la geometría inversa (n−1)-dimensional tienen todos grupos de automorfismos isomórficos,

O()n,1)/C2,{displaystyle mathrm {O} (n,1)/mathrm {C} _{2}, }

el grupo ortocrónico de Lorentz, para n ≥ 3. Pero estas son geometrías aparentemente distintas. Aquí entran algunos resultados interesantes, desde la física. Se ha demostrado que los modelos físicos en cada una de las tres geometrías son "dual" para algunos modelos.

Nuevamente, el espacio anti-de Sitter de n-dimensional y el espacio conforme de (n−1)-dimensional con "Lorentzian" La firma (en contraste con el espacio conforme con la firma "Euclidiana", que es idéntica a la geometría inversa, para tres dimensiones o más) tienen grupos de automorfismos isomórficos, pero son geometrías distintas. Una vez más, hay modelos en física con "dualidades" entre ambos espacios. Consulte AdS/CFT para obtener más detalles.

El grupo de cobertura de SU(2,2) es isomorfo al grupo de cobertura de SO(4,2), que es el grupo de simetría de un espacio de Minkowski conforme 4D y un espacio anti-de Sitter 5D y un complejo de cuatro Espacio twistor -dimensional.

El programa de Erlangen, por lo tanto, todavía puede considerarse fértil, en relación con las dualidades en la física.

En el artículo seminal que introdujo las categorías, Saunders Mac Lane y Samuel Eilenberg afirmaron: "Esto puede considerarse como una continuación del Programa Klein Erlanger, en el sentido de que un espacio geométrico con su grupo de transformaciones se generaliza a una categoría con su álgebra de mapeos."

Las relaciones del programa de Erlangen con el trabajo de Charles Ehresmann sobre grupoides en geometría se consideran en el siguiente artículo de Pradines.

En lógica matemática, el programa Erlangen también sirvió de inspiración para Alfred Tarski en su análisis de las nociones lógicas.