Producto vacío

En matemáticas, un producto vacío, o producto nulo o producto vacío, es el resultado de multiplicar ningún factor. Por convención, es igual a la identidad multiplicativa (suponiendo que haya una identidad para la operación de multiplicación en cuestión), al igual que la suma vacía, el resultado de no sumar números, es por convención cero, o la identidad aditiva. Cuando los números están implícitos, el producto vacío se convierte en uno.

El término producto vacío se usa con más frecuencia en el sentido anterior cuando se habla de operaciones aritméticas. Sin embargo, el término a veces se emplea cuando se analizan intersecciones de teoría de conjuntos, productos categóricos y productos en programación de computadoras; estos se discuten a continuación.

Producto aritmético nula

Definición

Sea a₁, a₂, a₃ ,... sea una secuencia de números, y sea

Pm=∏ ∏ i=1mai=a1⋯ ⋯ am{displaystyle P_{m}=prod ¿Por qué? A_{m}

sea el producto de los primeros m elementos de la secuencia. Entonces

Pm=Pm− − 1am{displaystyle P_{m}=P_{m-1}a_{m}

para todos m = 1, 2,... siempre que utilicemos la convención P0=1{displaystyle P_{0}=1}. En otras palabras, un "producto" sin ningún factor evalúa a 1. Permitir un "producto" con cero factores reduce el número de casos a ser considerado en muchas fórmulas matemáticas. Tal "producto" es un punto de partida natural en pruebas de inducción, así como en algoritmos. Por estas razones, la convención "producto vacío es uno" es práctica común en las matemáticas y la programación informática.

Relevancia de definir productos vacíos

La noción de un producto vacío es útil por la misma razón que el número cero y el conjunto vacío son útiles: aunque parecen representar nociones poco interesantes, su existencia permite una presentación matemática mucho más breve de muchos temas.

Por ejemplo, los productos vacíos 0! = 1 (el factorial de cero) y x⁰ = 1 acorta la notación de la serie de Taylor (ver cero a la potencia de cero para una discusión de cuándo x = 0). Del mismo modo, si M es una matriz n × n, entonces M⁰ es la matriz de identidad n × n, que refleja el hecho de que aplicar un mapa lineal cero veces tiene el mismo efecto que aplicar el mapa de identidad.

Como otro ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética dice que todo número entero positivo mayor que 1 se puede escribir únicamente como un producto de números primos. Sin embargo, si no permitimos productos con solo 0 o 1 factor, entonces el teorema (y su prueba) se vuelven más largos.

Pueden encontrarse más ejemplos del uso del producto vacío en matemáticas en el teorema del binomio (que asume e implica que x⁰ = 1 para todo x), número de Stirling, teorema de König, tipo binomial, serie binomial, operador diferencia y símbolo de Pochhammer.

Logaritmos y exponenciales

Dado que los logaritmos asignan productos a sumas:

In⁡ ⁡ ∏ ∏ ixi=.. iIn⁡ ⁡ xi{displaystyle ln prod ##{i}x_{i}=sum ¿Qué? x_{i}}

asignan un producto vacío a una suma vacía.

Por el contrario, la función exponencial mapea sumas en productos:

e.. ixi=∏ ∏ iexi{displaystyle e^{sup ¿Qué? ¿Qué?

y asigna una suma vacía a un producto vacío.

Producto cartesiano nulo

Considere la definición general del producto cartesiano:

∏ ∏ i▪ ▪ IXi={}g:I→ → ⋃ ⋃ i▪ ▪ IXi▪ ▪ О О ig()i)▪ ▪ Xi}.{displaystyle prod _{iin Yo... Ito bigcup _{iin I}X_{i}mid forall i g(i)in X_{i}right}

Si I está vacía, la única g es la función vacía f∅ ∅ {displaystyle f_{varnothing}, que es el subconjunto único ∅ ∅ × × ∅ ∅ {displaystyle varnothing times varnothing } que es una función ∅ ∅ → → ∅ ∅ {displaystyle varnothing to varnothing }, a saber, el subconjunto vacío ∅ ∅ {displaystyle varnothing } (el único subconjunto que ∅ ∅ × × ∅ ∅ =∅ ∅ {displaystyle varnothing times varnothing =varnothing } tiene:

∏ ∏ ∅ ∅ ={}f∅ ∅ :∅ ∅ → → ∅ ∅ }={}∅ ∅ }.{displaystyle prod _{varnothing }{}=left{varnothing }:varnothing to varnothing right}={varnothing }}

Por lo tanto, la cardinalidad del producto cartesiano de ningún conjunto es 1.

Bajo la interpretación quizás más familiar n-tuple,

∏ ∏ ∅ ∅ ={}())},{displaystyle prod _{varnothing } {}={()}}

es decir, el conjunto singleton que contiene la tupla vacía. Tenga en cuenta que en ambas representaciones, el producto vacío tiene cardinalidad 1: el número de todas las formas de producir 0 salidas a partir de 0 entradas es 1.

Producto categórico nulo

En cualquier categoría, el producto de una familia vacía es un objeto terminal de esa categoría. Esto se puede demostrar usando la definición límite del producto. Un producto categórico de n veces se puede definir como el límite con respecto a un diagrama dado por la categoría discreta con n objetos. Un producto vacío viene dado entonces por el límite con respecto a la categoría vacía, que es el objeto terminal de la categoría si existe. Esta definición se especializa para dar resultados como los anteriores. Por ejemplo, en la categoría de conjuntos, el producto categórico es el producto cartesiano habitual y el objeto terminal es un conjunto único. En la categoría de grupos, el producto categórico es el producto cartesiano de grupos, y el objeto terminal es un grupo trivial con un elemento. Para obtener la definición aritmética habitual del producto vacío debemos tomar la descategorización del producto vacío en la categoría de conjuntos finitos.

Dualmente, el coproducto de una familia vacía es un objeto inicial. Los productos o coproductos categóricos nulos pueden no existir en una categoría determinada; p.ej. en la categoría de campos, tampoco existe.

En lógica

La lógica clásica define la operación de conjunción, que se generaliza a la cuantificación universal en el cálculo de predicados, y es ampliamente conocida como multiplicación lógica porque intuitivamente identificamos verdadero con 1 y falso con 0 y nuestra conjunción se comporta como un multiplicador ordinario. Los multiplicadores pueden tener un número arbitrario de entradas. En el caso de 0 entradas, tenemos conjunción vacía, que es idénticamente igual a verdadero.

Esto está relacionado con otro concepto en lógica, la verdad vacía, que nos dice que un conjunto vacío de objetos puede tener cualquier propiedad. Se puede explicar la forma en que la conjunción (como parte de la lógica en general) trata con valores menores o iguales a 1. Esto significa que cuanto más larga sea la conjunción, mayor será la probabilidad de terminar en 0. La conjunción simplemente comprueba las proposiciones y devuelve 0 (o falso) tan pronto como una de las proposiciones se evalúa como falsa. Reducir el número de proposiciones conjuntas aumenta la posibilidad de pasar la verificación y quedarse con 1. En particular, si hay 0 pruebas o miembros para verificar, ninguno puede fallar, por lo que, de forma predeterminada, siempre debemos tener éxito, independientemente de qué proposiciones o propiedades de los miembros fueran a verificar. ser probado

En programación de computadoras

Muchos lenguajes de programación, como Python, permiten la expresión directa de listas de números e incluso funciones que permiten una cantidad arbitraria de parámetros. Si dicho lenguaje tiene una función que devuelve el producto de todos los números de una lista, normalmente funciona así:

, titulado matemáticas.Prod[2, 3, 5])30, titulado matemáticas.Prod[2, 3])6, titulado matemáticas.Prod[2])2, titulado matemáticas.Prod([])1

(Tenga en cuenta: prod no está disponible en el módulo math antes de la versión 3.8).

Esta convención ayuda a evitar tener que codificar casos especiales como "si la longitud de la lista es 1" o "si la longitud de la lista es cero" como casos especiales.

La multiplicación es un operador infijo y, por lo tanto, un operador binario, lo que complica la notación de un producto vacío. Algunos lenguajes de programación manejan esto implementando funciones variadas. Por ejemplo, la notación de prefijo completamente entre paréntesis de los lenguajes Lisp da lugar a una notación natural para funciones nulas:

(* 2 2 2); evalúa a 8
(* 2 2); evalúa a 4
(*) 2); evaluación a 2
(*); evalúa a 1