Producto tensorial

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Operación matemática en espacios vectoriales

En matemáticas, la producto tensor $Votimes W$ de dos espacios vectoriales $V$ y $W$ (sobre el mismo campo) es un espacio vectorial al que se asocia un mapa bilineal ${displaystyle Vtimes Wto Votimes W}$ que mapa un par ${displaystyle (v,w), vin V,win W}$ a un elemento $Votimes W$ denotado ${displaystyle votimes w.}$

Un elemento de la forma $votimes w$ se llama producto tensor de $v$ y $w$ . Un elemento $Votimes W$ es un tensor, y el producto tensor de dos vectores a veces se llama un Tensor elemental o a tensor descompuesto. Los tensores elementales $Votimes W$ en el sentido de que cada elemento $Votimes W$ es una suma de tensores elementales. Si se dan bases para $V$ y $W$ , una base de $Votimes W$ está formado por todos los productos tensores de un elemento base de $V$ y un elemento básico $W$ .

El tensor producto de dos espacios vectoriales captura las propiedades de todos los mapas bilineales en el sentido de que un mapa bilineal de ${displaystyle Vtimes W}$ en otro espacio vectorial $Z$ factores únicos a través de un mapa lineal ${displaystyle Votimes Wto Z}$ (ver propiedad universal).

Los productos Tensor se utilizan en muchas áreas de aplicación, incluidas la física y la ingeniería. Por ejemplo, en relatividad general, el campo gravitatorio se describe a través del tensor métrico, que es un campo vectorial de tensores, uno en cada punto de la variedad espacio-temporal, y cada uno perteneciente al producto tensorial consigo mismo del espacio cotangente en el punto.

Definiciones y construcciones

El producto tensorial de dos espacios vectoriales es un espacio vectorial que se define hasta un isomorfismo. Hay varias formas equivalentes de definirlo. La mayoría consiste en definir explícitamente un espacio vectorial que se denomina producto tensorial y, por lo general, la prueba de equivalencia resulta casi inmediatamente de las propiedades básicas de los espacios vectoriales así definidos.

El producto tensorial también se puede definir a través de una propiedad universal; ver § Propiedad universal, a continuación. Como para toda propiedad universal, todos los objetos que satisfacen la propiedad son isomorfos a través de un isomorfismo único que es compatible con la propiedad universal. Cuando se usa esta definición, las otras definiciones pueden verse como construcciones de objetos que satisfacen la propiedad universal y como pruebas de que hay objetos que satisfacen la propiedad universal, es decir, que existen productos tensoriales.

Desde bases

Vamos $V$ y $W$ ser dos espacios vectoriales sobre un campo $F$ , con bases respectivas ${displaystyle B_{V}}$ y ${displaystyle B_{W}.}$

El producto tensor $Votimes W$ de $V$ y $W$ es un espacio vectorial que tiene como base el conjunto de todos ${displaystyle votimes w}$ con ${displaystyle vin B_{V}}$ y ${displaystyle win B_{W}.}$ Esta definición puede formalizarse de la siguiente manera (esta formalización rara vez se utiliza en la práctica, ya que la definición informal anterior es generalmente suficiente): $Votimes W$ es el conjunto de las funciones del producto cartesiano ${displaystyle B_{V}times B_{W}}$ a $F$ que tienen un número finito de valores no cero. Las operaciones puntuales hacen $Votimes W$ un espacio vectorial. La función que mapea ${displaystyle (v,w)in B_{V}times B_{W}}$ a $1$ y los demás elementos ${displaystyle B_{V}times B_{W}}$ a $0$ es denotado ${displaystyle votimes w.}$

El set ${displaystyle {votimes wmid vin B_{V},win B_{W}}}$ es directamente una base de ${displaystyle Votimes W,}$ que se llama producto tensor de las bases ${displaystyle B_{V}}$ y ${displaystyle B_{W}.}$

El producto tensorial de dos vectores se define a partir de su descomposición en las bases. Más precisamente, si

{displaystyle x=sum _{bin B_{V}}x_{b},bin Vquad {text{and}}quad y=sum _{cin B_{W}}y_{c},cin W}

x

Sí.

{displaystyle {begin{aligned}xotimes y&=left(sum _{bin B_{V}}x_{b},bright)otimes left(sum _{cin B_{W}}y_{c},cright)\&=sum _{bin B_{V}}sum _{cin B_{W}}x_{b}y_{c},botimes c.end{aligned}}}

Si se arregla en una matriz rectangular, el vector de coordenadas ${displaystyle xotimes y}$ es el producto exterior de los vectores de coordenadas $x$ y $Sí.$ . Por lo tanto, el producto tensor es una generalización del producto exterior.

Es sencillo verificar que el mapa ${displaystyle (x,y)mapsto xotimes y}$ es un mapa bilinear desde ${displaystyle Vtimes W}$ a ${displaystyle Votimes W.}$

Una limitación de esta definición del producto tensorial es que, si se cambia de base, se define un producto tensorial diferente. Sin embargo, la descomposición en una base de los elementos de la otra base define un isomorfismo canónico entre los dos productos tensoriales de espacios vectoriales, lo que permite identificarlos. Además, contrariamente a las dos definiciones alternativas siguientes, esta definición no puede extenderse a una definición del producto tensorial de módulos sobre un anillo.

Como espacio cociente

Se puede obtener una construcción del producto tensorial que sea independiente de la base de la siguiente manera.

Sea $V$ y $W$ sean dos espacios vectoriales sobre un campo F.

Uno considera primero un espacio vectorial $L$ que tiene el producto cartesiano ${displaystyle Vtimes W}$ como base. Es decir, los elementos de base de $L$ son los pares $(v,w)$ con $vin V$ y ${displaystyle win W.}$ Para conseguir un espacio vectorial, uno puede definirlo como el espacio vectorial de las funciones ${displaystyle Vtimes Wto F}$ que tienen un número finito de valores no cero, e identificando $(v,w)$ con la función que toma el valor $1$ on $(v,w)$ y $0$ De lo contrario.

Sea $R$ el subespacio lineal de $L$ que está atravesada por las relaciones que debe satisfacer el producto tensorial. Más precisamente, la $R$ está dividida por los elementos de una de las formas

{displaystyle {begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\(sv,w)&-s(v,w),\(v,sw)&-s(v,w),end{aligned}}}

Donde ${displaystyle v,v_{1},v_{2}in V,}$ ${displaystyle w,w_{1},w_{2}in W}$ y ${displaystyle sin F.}$

Entonces, el producto tensorial se define como el espacio cociente

{displaystyle Votimes W=L/R,}

y la imagen de $(v,w)$ en este cociente se denota ${displaystyle votimes w.}$

Es sencillo probar que el resultado de esta construcción satisface la propiedad universal que se considera a continuación. (Se puede usar una construcción muy similar para definir el producto tensorial de los módulos).

Propiedad universal

Propiedad universal del producto tensor: si

h

es bilinear, hay un mapa lineal único

{displaystyle {tilde {h}}}

que hace que el diagrama sea conmutativo (es decir,

{displaystyle h={tilde {h}}circ varphi }

En esta sección, se describe la propiedad universal satisfecha por el producto tensorial. Como para toda propiedad universal, dos objetos que satisfacen la propiedad están relacionados por un único isomorfismo. De ello se deduce que esta es una forma (no constructiva) de definir el producto tensorial de dos espacios vectoriales. En este contexto, las construcciones anteriores de productos tensoriales pueden verse como pruebas de la existencia del producto tensorial así definido.

Una consecuencia de este enfoque es que toda propiedad del producto tensorial puede deducirse de la propiedad universal y que, en la práctica, uno puede olvidar el método que se ha utilizado para demostrar su existencia.

La "definición de propiedad universal" del producto tensorial de dos espacios vectoriales es el siguiente (recordemos que un mapa bilineal es una función que es separadamente lineal en cada uno de sus argumentos):

El producto tensor de dos espacios vectoriales

V

W

es un espacio vectorial denotado como

{displaystyle Votimes W,}

junto con un mapa bilineal

{displaystyle {otimes }colon (v,w)mapsto votimes w}

desde

{displaystyle Vtimes W}

{displaystyle Votimes W,}

tal que, por cada mapa bilineal

{displaystyle hcolon Vtimes Wto Z,}

hay un único mapa lineal

{displaystyle {tilde {h}}colon Votimes Wto Z,}

tales que

{displaystyle h={tilde {h}}circ {otimes }}

(es decir,

{displaystyle h(v,w)={tilde {h}}(votimes w)}

para todos

vin V

{displaystyle win W}

Linealmente inconexa

(feminine)

Al igual que la propiedad universal anterior, la siguiente caracterización también se puede usar para determinar si un espacio vectorial dado y un mapa bilineal dado forman o no un producto tensorial.

Theorem—Vamos ${displaystyle X,Y,}$ y $Z$ ser complejos espacios vectoriales y dejar ${displaystyle T:Xtimes Yto Z}$ ser un mapa bilineal. Entonces... ${displaystyle (Z,T)}$ es un producto tensor de $X$ y $Y$ si y sólo si la imagen de $T$ todo el mundo $Z$ (es decir, ${displaystyle operatorname {span} ;T(Xtimes Y)=Z}$ ), y también $X$ y $Y$ son $T$ - Distintivamente, que por definición significa que para todos los números enteros positivos $n$ y todos los elementos ${displaystyle x_{1},ldotsx_{n}in X}$ y ${displaystyle y_{1},ldotsy_{n}in Y}$ tales que ${displaystyle sum _{i=1}^{n}Tleft(x_{i},y_{i}right)=0,}$

si todo $x_{1},ldotsx_{n}$ son linealmente independientes entonces todos $y_{i}$ son ${displaystyle 0,}$ y
si todo $y_{1},ldotsy_{n}$ son linealmente independientes entonces todos $x_{i}$ son ${displaystyle 0.}$

Equivalentemente, $X$ y $Y$ son $T$ -Disjoint linealmente si y sólo si para todas las secuencias linealmente independientes $x_{1},ldotsx_{m}$ dentro $X$ y todas las secuencias linealmente independientes $y_{1},ldotsy_{n}$ dentro $Y,$ los vectores ${displaystyle left{Tleft(x_{i},y_{j}right):1leq ileq m,1leq jleq nright}}$ son linealmente independientes.

Por ejemplo, sigue inmediatamente que si $m$ y $n$ son números enteros positivos entonces ${displaystyle Z:=mathbb {C} ^{mn}}$ y el mapa bilinear ${displaystyle T:mathbb {C} ^{m}times mathbb {C} ^{n}to mathbb {C} ^{mn}}$ definido por el envío ${displaystyle (x,y)=left(left(x_{1},ldotsx_{m}right),left(y_{1},ldotsy_{n}right)right)}$ a ${displaystyle left(x_{i}y_{j}right)_{stackrel {i=1,ldotsm}{j=1,ldotsn}}}$ forma un producto tensor de ${displaystyle X:=mathbb {C} ^{m}}$ y ${displaystyle Y:=mathbb {C} ^{n}.}$ A menudo, este mapa $T$ será denotado por ${displaystyle ,otimes ,}$ así ${displaystyle xotimes y;:=;T(x,y)}$ denota el valor de este mapa bilineal en ${displaystyle (x,y)in Xtimes Y.}$

Como otro ejemplo, supongamos que ${displaystyle mathbb {C} ^{S}}$ es el espacio vectorial de todas las funciones de valor complejo en un conjunto $S$ con la multiplicación de adición y escalar definido punto a punto (significando que $f + g$ es el mapa ${displaystyle smapsto f(s)+g(s)}$ y ${displaystyle cf}$ es el mapa ${displaystyle smapsto cf(s)}$ ). Vamos $S$ y $T$ ser cualquier conjunto y para cualquier ${displaystyle fin mathbb {C} ^{S}}$ y ${displaystyle gin mathbb {C} ^{T},}$ Deja ${displaystyle fotimes gin mathbb {C} ^{Stimes T}}$ denota la función definida ${displaystyle (s,t)mapsto f(s)g(t).}$ Si ${displaystyle Xsubseteq mathbb {C} ^{S}}$ y ${displaystyle Ysubseteq mathbb {C} ^{T}}$ son subespaciales vectoriales entonces el subespacial vectorial ${displaystyle Z:=operatorname {span} left{fotimes g:fin X,gin Yright}}$ de ${displaystyle mathbb {C} ^{Stimes T}}$ junto con el mapa bilineal

{displaystyle {begin{alignedat}{4};&&Xtimes Y&&;to ;&Z\[0.3ex]&&(f,g)&&;mapsto ;&fotimes g\end{alignedat}}}

X

Y.

Propiedades

Dimensión

Si $V$ y $W$ son espacios vectores de dimensión finita, entonces $Votimes W$ es finito-dimensional, y su dimensión es el producto de las dimensiones $V$ y $W$ .

Esto resulta del hecho de que una base de $Votimes W$ se forma tomando todos los productos tensores de un elemento base de $V$ y un elemento básico $W$ .

Asociatividad

El producto tensor es asociativo en el sentido de que, dadas tres espacios vectoriales ${displaystyle U,V,W,}$ hay un isomorfismo canónico

{displaystyle (Uotimes V)otimes Wcong Uotimes (Votimes W),}

que mapas ${displaystyle (uotimes v)otimes w}$ a ${displaystyle uotimes (votimes w).}$

Esto permite omitir paréntesis en el producto tensorial de más de dos espacios vectoriales o vectores.

Conmutatividad como operación de espacio vectorial

El producto tensor de dos espacios vectoriales $V$ y $W$ es comunicativo en el sentido de que hay un isomorfismo canónico

{displaystyle Votimes Wcong Wotimes V,}

que mapas $votimes w$ a ${displaystyle wotimes v.}$

Por otro lado, incluso cuando ${displaystyle V=W,}$ el producto tensor de los vectores no es conmutativo; es decir ${displaystyle votimes wneq wotimes v,}$ en general.

El mapa ${displaystyle xotimes ymapsto yotimes x}$ desde $Votimes V$ para sí mismo induce un automorfismo lineal que se llama mapa trenzado. Más generalmente y como de costumbre (ver álgebra de tensor), dejar denotar $V^{{otimes n}}$ el producto tensor de $n$ copias del espacio vectorial $V$ . Por cada permutación $s$ de la primera $n$ enteros positivos, el mapa

{displaystyle x_{1}otimes cdots otimes x_{n}mapsto x_{s(1)}otimes cdots otimes x_{s(n)}}

induce un automorfismo lineal ${displaystyle V^{otimes n}to V^{otimes n},}$ que se llama mapa trenzado.

Producto tensorial de mapas lineales

Dado un mapa lineal ${displaystyle fcolon Uto V,}$ y un espacio vectorial $W$ , el producto tensor

{displaystyle fotimes Wcolon Uotimes Wto Votimes W}

es el único mapa lineal tal que

{displaystyle (fotimes W)(uotimes w)=f(u)otimes w.}

El producto tensor ${displaystyle Wotimes f}$ se define de forma similar.

Dados dos mapas lineales ${displaystyle fcolon Uto V}$ y ${displaystyle gcolon Wto Z,}$ su producto tensor

{displaystyle fotimes gcolon Uotimes Wto Votimes Z}

es el único mapa lineal que satisface

{displaystyle (fotimes g)(uotimes w)=f(u)otimes g(w).}

Uno tiene

{displaystyle fotimes g=(fotimes Z)circ (Uotimes g)=(Votimes g)circ (fotimes W).}

En términos de teoría de categorías, esto significa que el producto tensorial es un bifuntor de la categoría de espacios vectoriales a sí mismo.

Si $f$ y $g$ son inyectivos o sobreyectivos, entonces lo mismo es cierto para todos los mapas lineales definidos anteriormente. En particular, el producto tensorial con un espacio vectorial es un funtor exacto; esto significa que cada secuencia exacta se asigna a una secuencia exacta (los productos tensoriales de los módulos no transforman las inyecciones en inyecciones, pero son funtores exactos correctos).

Al elegir bases de todos los espacios vectoriales involucrados, los mapas lineales $S$ y $T$ puede ser representado por matrices. Entonces, dependiendo de cómo el tensor $votimes w$ se vectoriza, la matriz que describe el producto tensor $Sotimes T$ es el producto Kronecker de las dos matrices. Por ejemplo, si $V, X, W$ , y $Y$ arriba están todas dos dimensiones y bases han sido fijadas para todos ellos, y $S$ y $T$ son dados por las matrices

{displaystyle A={begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}},qquad B={begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}},}

respectivamente, entonces el producto tensorial de estas dos matrices es

{displaystyle {begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}}otimes {begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a_{1,1}{begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}}&a_{1,2}{begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}}\[3pt]a_{2,1}{begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}}&a_{2,2}{begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\end{bmatrix}}.}

El rango resultante es en la mayoría de 4, y por lo tanto la dimensión resultante es 4. Note que rango aquí denota el rango de tensor, es decir, el número de índices necesarios (mientras el rango de matriz cuenta el número de grados de libertad en la matriz resultante). Nota ${displaystyle operatorname {Tr} Aotimes B=operatorname {Tr} Atimes operatorname {Tr} B.}$

Un producto diádico es el caso especial del producto tensorial entre dos vectores de la misma dimensión.

Tensores generales

Para los enteros no negativos $r$ y $s$ tipo $(r,s)$ tensor en un espacio vectorial $V$ es un elemento

{displaystyle T_{s}^{r}(V)=underbrace {Votimes cdots otimes V} _{r}otimes underbrace {V^{*}otimes cdots otimes V^{*}} _{s}=V^{otimes r}otimes left(V^{*}right)^{otimes s}.}

Aquí. $V^{*}$ es el espacio vectorial dual (que consta de todos los mapas lineales $f$ desde $V$ sobre el terreno $K$ ).

Hay un mapa de productos, llamado (tensor) producto de tensores

{displaystyle T_{s}^{r}(V)otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}

Se define agrupando todos los "factores" que ocurren $V$ juntos: escribir $v_{i}$ para un elemento $V$ y $f_{i}$ para un elemento del espacio dual,

{displaystyle (v_{1}otimes f_{1})otimes (v'_{1})=v_{1}otimes v'_{1}otimes f_{1}.}

Escoger una base de $V$ y la base dual correspondiente $V^{*}$ naturalmente induce una base para ${displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ (esta base se describe en el artículo sobre productos Kronecker). En términos de estas bases, se pueden calcular los componentes de un (tensor) producto de dos (o más) tensores. Por ejemplo, si $F$ y $G$ son dos inquilinos covariantes de órdenes $m$ y $n$ respectivamente (es decir, ${displaystyle Fin T_{m}^{0}}$ y ${displaystyle Gin T_{n}^{0}}$ ), entonces los componentes de su producto tensor son dados por

{displaystyle (Fotimes G)_{i_{1}i_{2}cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}cdots i_{m+n}}.}

Así, los componentes del producto tensor de dos tensores son el producto ordinario de los componentes de cada tensor. Otro ejemplo: dejar $U$ ser un tensor de tipo $(1, 1)$ con componentes ${displaystyle U_{beta }^{alpha },}$ y dejar $V$ ser un tensor de tipo $(1,0)$ con componentes ${displaystyle V^{gamma }.}$ Entonces...

{displaystyle left(Uotimes Vright)^{alpha }{}_{beta }{}^{gamma }=U^{alpha }{}_{beta }V^{gamma }}

{displaystyle (Votimes U)^{mu nu }{}_{sigma }=V^{mu }U^{nu }{}_{sigma }.}

Los tensores equipados con su operación producto forman un álgebra, llamada álgebra tensorial.

Mapa de evaluación y contracción de tensores

Para tensores de tipo $(1, 1)$ hay un mapa de evaluación canónico

{displaystyle Votimes V^{*}to K}

definido por su acción sobre tensores puros:

{displaystyle votimes fmapsto f(v).}

Más generalmente, para tensores de tipo ${displaystyle (r,s),}$ con $r, s ■ 0$ , hay un mapa, llamado contracción de tensor,

{displaystyle T_{s}^{r}(V)to T_{s-1}^{r-1}(V).}

(Las copias de $V$ y $V^{*}$ en el que se debe aplicar este mapa debe especificarse.)

Por otro lado, si $V$ es finito-dimensional, hay un mapa canónico en la otra dirección (llamado el coevaluation map)

{displaystyle {begin{cases}Kto Votimes V^{*}\lambda mapsto sum _{i}lambda v_{i}otimes v_{i}^{*}end{cases}}}

Donde ${displaystyle v_{1},ldotsv_{n}}$ es cualquier base de $V,$ y ${displaystyle v_{i}^{*}}$ es su base dual. Este mapa no depende de la elección de la base.

La interacción de evaluación y coevaluación se puede utilizar para caracterizar espacios vectoriales de dimensión finita sin hacer referencia a las bases.

Representación adjunta

El producto tensor $T_{s}^{r}(V)$ puede ser vista naturalmente como un módulo para el álgebra de Lie ${displaystyle mathrm {End} (V)}$ por medio de la acción diagonal: para la simplicidad asumamos ${displaystyle r=s=1,}$ entonces, para cada ${displaystyle uin mathrm {End} (V),}$

{displaystyle u(aotimes b)=u(a)otimes b-aotimes u^{*}(b),}

Donde ${displaystyle u^{*}in mathrm {End} left(V^{*}right)}$ es la transposición de $u$ , es decir, en términos de la pareja obvia en ${displaystyle Votimes V^{*},}$

{displaystyle langle u(a),brangle =langle a,u^{*}(b)rangle.}

Hay un isomorfismo canónico ${displaystyle T_{1}^{1}(V)to mathrm {End} (V)}$ dado por

{displaystyle (aotimes b)(x)=langle x,brangle a.}

Bajo este isomorfismo, todo $u$ dentro ${displaystyle mathrm {End} (V)}$ puede ser visto primero como un endomorfismo ${displaystyle T_{1}^{1}(V)}$ y luego visto como un endomorfismo ${displaystyle mathrm {End} (V).}$ De hecho es la representación conjunta $ad(u)$ de ${displaystyle mathrm {End} (V).}$

Mapas lineales como tensores

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita $U$ , $V$ sobre el mismo campo $K$ , indique el espacio dual de $U$ como $U*$ , y el espacio vectorial $K$ de todos mapas lineales de $U$ a $V$ como $Hom(U, V)$ . Hay un isomorfismo,

{displaystyle U^{*}otimes Vcong mathrm {Hom} (U,V),}

definido por una acción del tensor puro ${displaystyle fotimes vin U^{*}otimes V}$ sobre un elemento ${displaystyle U,}$

{displaystyle (fotimes v)(u)=f(u)v.}

Su "inverso" se puede definir utilizando una base ${displaystyle {u_{i}}}$ y su doble base ${displaystyle {u_{i}^{*}}}$ como en la sección "Evaluation map and tensor contraction" arriba:

{displaystyle {begin{cases}mathrm {Hom} (U,V)to U^{*}otimes V\Fmapsto sum _{i}u_{i}^{*}otimes F(u_{i}).end{cases}}}

Este resultado implica

{displaystyle dim(Uotimes V)=dim(U)dim(V),}

que da automáticamente el hecho importante ${displaystyle {u_{i}otimes v_{j}}}$ constituye una base para ${displaystyle Uotimes V}$ Donde ${displaystyle {u_{i}},{v_{j}}}$ son bases de $U$ y $V$ .

Además, dados tres espacios vectoriales $U$ , $V$ , $W$ el producto tensorial está vinculado al espacio vectorial de todos los mapas lineales, de la siguiente manera:

{displaystyle mathrm {Hom} (Uotimes V,W)cong mathrm {Hom} (U,mathrm {Hom} (V,W)).}

Productos tensoriales de módulos sobre un anillo

El producto tensorial de dos módulos $A$ y $B$ sobre un anillo conmutativo $R$ se define exactamente de la misma manera que el producto tensorial de espacios vectoriales sobre un campo:

{displaystyle Aotimes _{R}B:=F(Atimes B)/G}

{displaystyle F(Atimes B)}

G

R

De manera más general, el producto tensorial se puede definir incluso si el anillo no es conmutativo. En este caso $A$ tiene que ser un derecho- $R$ - módulo y $B$ es un módulo izquierdo $R$ , y en lugar de las dos últimas relaciones anteriores, la relación

{displaystyle (ar,b)sim (a,rb)}

R

R

La propiedad universal también lleva a cabo, ligeramente modificada: el mapa ${displaystyle varphi:Atimes Bto Aotimes _{R}B}$ definidas por ${displaystyle (a,b)mapsto aotimes b}$ es un mapa lineal medio (referido como "el mapa lineal medio canónico".); es decir, se satisface:

{displaystyle {begin{aligned}phi (a+a',b)&=phi (a,b)+phi (a',b)\phi (a,b+b')&=phi (a,b)+phi (a,b')\phi (ar,b)&=phi (a,rb)end{aligned}}}

Las dos primeras propiedades hacen $φ$ un mapa bilineal del grupo abeliano ${displaystyle Atimes B.}$ Para cualquier mapa lineal medio $psi$ de ${displaystyle Atimes B,}$ un grupo único homomorfismo $f$ de $Aotimes _{R}B$ satisfizo ${displaystyle psi =fcirc varphi}$ y esta propiedad determina $phi$ dentro del isomorfismo de grupo. Vea el artículo principal para detalles.

Producto tensorial de módulos sobre un anillo no conmutativo

Sea A un módulo R derecho y B un módulo R izquierdo. Entonces el producto tensorial de A y B es un grupo abeliano definido por

{displaystyle Aotimes _{R}B:=F(Atimes B)/G}

F(Atimes B)

Atimes B

F(Atimes B)

{displaystyle {begin{aligned}&forall a,a_{1},a_{2}in A,forall b,b_{1},b_{2}in B,{text{ for all }}rin R:\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\&(ar,b)-(a,rb).\end{aligned}}}

La propiedad universal puede ser declarada como sigue. Vamos G ser un grupo abeliano con un mapa ${displaystyle q:Atimes Bto G}$ eso es bilinear, en el sentido de que

{displaystyle {begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\q(ar,b)&=q(a,rb).end{aligned}}}

Entonces hay un mapa único ${displaystyle {overline {q}}:Aotimes Bto G}$ tales que ${displaystyle {overline {q}}(aotimes b)=q(a,b)}$ para todos $ain A$ y ${displaystyle bin B.}$

Además, podemos dar $Aotimes _{R}B$ una estructura de módulos en algunas condiciones adicionales:

Si A es unS,R. $Aotimes _{R}B$ es una izquierda S- ¿Dónde? ${displaystyle s(aotimes b):=(sa)otimes b.}$
Si B es unR,S. $Aotimes _{R}B$ es un derecho S- ¿Dónde? ${displaystyle (aotimes b)s:=aotimes (bs).}$
Si A es unS,R)-bimodule y B es unR,T. $Aotimes _{R}B$ es unS,T)-bimodule, donde las acciones izquierda y derecha se definen de la misma manera que los dos ejemplos anteriores.
Si R es un anillo conmutativo, entonces A y B son (R,R)-bimodules donde ${displaystyle ra:=ar}$ y ${displaystyle br:=rb.}$ Para 3), podemos concluir $Aotimes _{R}B$ es unR,RBímolo.

Cálculo del producto tensorial

Para espacios vectoriales, el producto tensor $Votimes W$ se computa rápidamente desde las bases de $V$ de $W$ determinar inmediatamente una base ${displaystyle Votimes W,}$ como se mencionó anteriormente. Para módulos sobre un anillo general (commutante), no todos los módulos son gratuitos. Por ejemplo, $Z / n Z$ no es un grupo abeliano libre ( $Z$ -módulo). El producto tensor con $Z / n Z$ es dado por

{displaystyle Motimes _{mathbf {Z} }mathbf {Z} /nmathbf {Z} =M/nM.}

Más generalmente, dada una presentación de algunos $R$ - Mobiliario $M$ , es decir, un número de generadores $m_{i}in M,iin I$ junto con las relaciones

{displaystyle sum _{jin J}a_{ji}m_{i}=0,qquad a_{ij}in R,}

el producto tensorial se puede calcular como el siguiente cokernel:

{displaystyle Motimes _{R}N=operatorname {coker} left(N^{J}to N^{I}right)}

Aquí. ${displaystyle N^{J}=oplus _{jin J}N,}$ y el mapa ${displaystyle N^{J}to N^{I}}$ está determinado por enviar algunos $nin N$ en el $j$ t copy of $N^{J}$ a ${displaystyle a_{ij}n}$ (en $N^{I}$ ). Coloquialmente, esto puede ser reformulado diciendo que una presentación de $M$ da lugar a una presentación de ${displaystyle Motimes _{R}N.}$ Esto se refiere al decir que el producto tensor es un corrector exacto. No es en general izquierdo exacto, es decir, dado un mapa inyectable $R$ -módulos ${displaystyle M_{1}to M_{2},}$ el producto tensor

{displaystyle M_{1}otimes _{R}Nto M_{2}otimes _{R}N}

Normalmente no es inyectivo. Por ejemplo, tensionar el mapa (inyectivo) dado por la multiplicación con $n$ , $n : Z \to Z$ con $Z / n Z$ produce el mapa cero $0: Z / n Z \to Z / n Z$ , que no es inyectivo. Los funtores Tor superiores miden el defecto de que el producto tensorial no quede exacto. Todos los funtores Tor superiores se ensamblan en el producto tensorial derivado.

Producto tensorial de álgebras

Vamos $R$ ser un anillo comunicativo. El producto del tensor $R$ - se aplica, en particular, si $A$ y $B$ son R-algebras. En este caso, el producto tensor $Aotimes _{R}B$ es un $R$ - Álgebra misma por poner

{displaystyle (a_{1}otimes b_{1})cdot (a_{2}otimes b_{2})=(a_{1}cdot a_{2})otimes (b_{1}cdot b_{2}).}

{displaystyle R[x]otimes _{R}R[y]cong R[x,y].}

Un ejemplo particular es cuando $A$ y $B$ son campos que contienen un subcampo común $R$ . El producto tensorial de campos está estrechamente relacionado con la teoría de Galois: si, por ejemplo, $A = R [x] / f (x)$ , donde $f$ es un polinomio irreducible con coeficientes en $R$ , el producto tensorial se puede calcular como

{displaystyle Aotimes _{R}Bcong B[x]/f(x)}

f

B

B

A = B

R

{displaystyle Aotimes _{R}Acong A[x]/f(x)}

A

{displaystyle A^{operatorname {deg} (f)}.}

Configuraciones propias de tensores

Matrices cuadradas $A$ con entradas en un campo $K$ representan mapas lineales de espacios vectoriales, dicen ${displaystyle K^{n}to K^{n},}$ y así mapas lineales ${displaystyle psi:mathbb {P} ^{n-1}to mathbb {P} ^{n-1}}$ de espacios proyectados sobre $K.$ Si $A$ entonces no es $psi$ está bien definido en todas partes, y los eigenvectores de $A$ corresponde a los puntos fijos $psi.$ El eigenconfiguration de $A$ consta de $n$ puntos en ${displaystyle mathbb {P} ^{n-1},}$ proporcionadas $A$ es genérico y genérico $K$ está cerrado algebraicamente. Los puntos fijos de mapas no lineales son los eigenvectores de tensores. Vamos ${displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}cdots i_{d}})}$ ser un $d$ - tensor dimensional del formato ${displaystyle ntimes ntimes cdots times n}$ con entradas ${displaystyle (a_{i_{1}i_{2}cdots i_{d}})}$ acostado en un campo algebraicamente cerrado $K$ de la característica cero. Tal tensor ${displaystyle Ain (K^{n})^{otimes d}}$ define mapas polinomios ${displaystyle K^{n}to K^{n}}$ y ${displaystyle mathbb {P} ^{n-1}to mathbb {P} ^{n-1}}$ con coordenadas

{displaystyle psi _{i}(x_{1},ldotsx_{n})=sum _{j_{2}=1}^{n}sum _{j_{3}=1}^{n}cdots sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}cdots x_{j_{d}};;{mbox{for }}i=1,ldotsn}

Así cada uno de los $n$ coordenadas de $psi$ es un polinomio homogéneo $psi_i$ grado $d-1$ dentro ${displaystyle mathbf {x} =left(x_{1},ldotsx_{n}right).}$ Los eigenvectores de $A$ son las soluciones de la limitación

{displaystyle {mbox{rank}}{begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&cdots &x_{n}\psi _{1}(mathbf {x})&psi _{2}(mathbf {x})&cdots &psi _{n}(mathbf {x})end{pmatrix}}leq 1}

y la eigenconfiguración es dada por la variedad de $2times 2$ Menores de esta matriz.

Otros ejemplos de productos tensoriales

Producto tensorial de espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert generalizan los espacios vectoriales de dimensión finita a dimensiones infinitas numerables. El producto tensorial todavía está definido; es el producto tensorial de los espacios de Hilbert.

Producto tensorial topológico

Cuando la base de un espacio vectorial ya no es contable, la formalización axiomática apropiada para el espacio vectorial es la de un espacio vectorial topológico. El producto tensorial todavía está definido, es el producto tensorial topológico.

Producto tensorial de espacios vectoriales graduados

Algunos espacios vectoriales se pueden descomponer en sumas directas de subespacios. En tales casos, el producto tensorial de dos espacios se puede descomponer en sumas de productos de los subespacios (de forma análoga a la forma en que la multiplicación se distribuye sobre la suma).

Producto tensorial de representaciones

Los espacios vectoriales dotados de una estructura multiplicativa adicional se denominan álgebras. El producto tensorial de tales álgebras se describe mediante la regla de Littlewood-Richardson.

Producto tensorial de formas cuadráticas

Producto tensorial de formas multilineales

Dados dos formas multilineales ${displaystyle f(x_{1},dotsx_{k})}$ y ${displaystyle g(x_{1},dotsx_{m})}$ en un espacio vectorial $V$ sobre el terreno $K$ su producto tensor es la forma multilineal

{displaystyle (fotimes g)(x_{1},dotsx_{k+m})=f(x_{1},dotsx_{k})g(x_{k+1},dotsx_{k+m}).}

Este es un caso especial del producto de tensores si se ven como mapas multilineales (ver también tensores como mapas multilineales). Por lo tanto, los componentes del producto tensorial de formas multilineales se pueden calcular mediante el producto de Kronecker.

Producto tensorial de poleas de módulos

Producto tensorial de haces lineales

Producto tensorial de campos

Producto tensorial de gráficas

Debe mencionarse que, aunque se denomina "producto tensorial", este no es un producto tensorial de gráficos en el sentido anterior; en realidad es el producto de la teoría de categorías en la categoría de grafos y homomorfismos de grafos. Sin embargo, en realidad es el producto tensorial de Kronecker de las matrices de adyacencia de los gráficos. Compare también la sección Producto tensorial de mapas lineales anterior.

Categorías monoidales

La configuración más general para el producto tensorial es la categoría monoide. Captura la esencia algebraica de la tensorización, sin hacer ninguna referencia específica a lo que se está tensorizando. Por lo tanto, todos los productos tensoriales pueden expresarse como una aplicación de la categoría monoide a algún escenario particular, actuando sobre algunos objetos particulares.

Álgebras de cocientes

Varios subespacios importantes del álgebra tensorial se pueden construir como cocientes: estos incluyen el álgebra exterior, el álgebra simétrica, el álgebra de Clifford, el álgebra de Weyl y el álgebra envolvente universal en general.

El álgebra exterior se construye a partir del producto exterior. Dado un espacio vectorial $V$ , el producto exterior $Vwedge V$ se define como

{displaystyle Vwedge V:=Votimes V/{votimes vmid vin V}.}

V

{displaystyle Vwedge V:=Votimes V/{v_{1}otimes v_{2}+v_{2}otimes v_{1}mid (v_{1},v_{2})in V^{2}}.}

v_{1}otimes v_{2}

v_{1}wedge v_{2}

{displaystyle v_{1}wedge v_{2}=-v_{2}wedge v_{1}.}

Votimes dots otimes V

n

{displaystyle Lambda ^{n}V,}

n

V

El álgebra simétrica se construye de manera similar, a partir del producto simétrico

{displaystyle Vodot V:=Votimes V/{v_{1}otimes v_{2}-v_{2}otimes v_{1}mid (v_{1},v_{2})in V^{2}}.}

{displaystyle operatorname {Sym} ^{n}V:=underbrace {Votimes dots otimes V} _{n}/(dots otimes v_{i}otimes v_{i+1}otimes dots -dots otimes v_{i+1}otimes v_{i}otimes dots)}

Producto tensorial en programación

Lenguajes de programación de matrices

Los lenguajes de programación de matrices pueden tener este patrón incorporado. Por ejemplo, en APL, el producto tensorial se expresa como ○.× (por ejemplo, A ○.× B o A ○.× B ○.× C). En J, el producto tensorial es la forma diádica de */ (por ejemplo, a */ b o a */ b */ c).

Tenga en cuenta que el tratamiento de J también permite la representación de algunos campos tensoriales, ya que a y b pueden ser funciones en lugar de constantes. Este producto de dos funciones es una función derivada, y si a y b son diferenciables, entonces a */ b es diferenciable.

Sin embargo, este tipo de notación no está universalmente presente en los lenguajes de matrices. Otros lenguajes de matrices pueden requerir un tratamiento explícito de los índices (por ejemplo, MATLAB) y/o pueden no admitir funciones de orden superior, como la derivada jacobiana (por ejemplo, Fortran/APL).

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