Producto semidirecto

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En matemáticas, específicamente en teoría de grupos, el concepto de producto semidirecto es una generalización de un producto directo. Hay dos conceptos estrechamente relacionados de producto semidirecto:

an interior El producto semidirecto es una forma particular en la que un grupo puede ser formado por dos subgrupos, uno de los cuales es un subgrupo normal.
an exterior El producto semidirecto es una manera de construir un nuevo grupo de dos grupos dados utilizando el producto cartesiano como un conjunto y una operación de multiplicación particular.

Al igual que con los productos directos, existe una equivalencia natural entre los productos semidirectos internos y externos, y ambos se conocen comúnmente como productos semidirectos.

Para grupos finitos, el teorema de Schur-Zassenhaus proporciona una condición suficiente para la existencia de una descomposición como un producto semidirecto (también conocido como división de extensión).

Definiciones de productos semidirectos internos

Dado un grupo $G$ con elemento de identidad $e$ , un subgrupo $H$ , y un subgrupo normal $N ◁ G$ , las siguientes declaraciones son equivalentes:

$G$ es el producto de subgrupos, $G = NH$ , y estos subgrupos tienen intersección trivial: $N \cap H = e}$ .
Por todos $g ▪ G$ , hay único $n ▪ N$ y $h ▪ H$ tales que $g = nh$ .
Por todos $g ▪ G$ , hay único $h ▪ H$ y $n ▪ N$ tales que $g = hn$ .
La composición $π \circ i$ de la incrustación natural $i : H \to G$ con la proyección natural $π : G \to G / N$ es un isomorfismo entre $H$ y el grupo de referencia $G / N$ .
Existe un homomorfismo $G \to H$ que es la identidad $H$ y cuyo núcleo es $N$ . En otras palabras, hay una secuencia exacta de división

${displaystyle 1to Nto Gto Hto 1}$

de grupos (que también se conoce como extensión de grupos ${displaystyle H.$ por ${displaystyle N}$ ).

Si alguna de estas afirmaciones se cumple (y por lo tanto todas ellas se cumplen, por su equivalencia), decimos que $G$ es la semidirecta producto de $N$ y $H$ , escrito

${displaystyle G=Nrtimes H.$ o ${displaystyle G=Hltimes N,}$

o que $G$ se divide en $N$ ; uno también dice que $G$ es un producto semidirecto de $H$ actuando sobre $N$ , o incluso un producto semidirecto de $H$ y $N$ . Para evitar ambigüedades, es recomendable especificar cuál es el subgrupo normal.

Si ${displaystyle G=Hltimes N}$ , entonces hay un grupo homomorfismo ${displaystyle varphi colon Hrightarrow mathrm {Aut} (N)}$ dado por ${displaystyle varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$ , y para ${displaystyle g=hn,g'=h'n'}$ , tenemos ${displaystyle gg'=hnh'n'=h'h'h' {-1}nh'n'=h'varphi _{h'}{-1}n'n'}$ .

Productos semidirectos interior y exterior

Consideremos primero el producto semidirecto interno. En este caso, para un grupo ${displaystyle G.$ , considerar su subgrupo normal $N$ y el subgrupo $H$ (no necesariamente normal). Supongamos que condiciones en la lista anterior se mantienen. Vamos ${displaystyle operatorname {Aut} (N)}$ denota el grupo de todos los automorfismos de $N$ , que es un grupo bajo composición. Construir un homomorfismo grupo ${displaystyle varphi colon Hto operatorname {Aut} (N)}$ definido por la conjugación,

${displaystyle varphi (h)(n)=hnh^{-1}$ , para todos $h$ dentro $H$ y $n$ dentro $N$ .

La expresión ${displaystyle varphi (h)}$ a menudo escrito como ${displaystyle varphi _{h}$ por brevedad. De esta manera podemos construir un grupo ${displaystyle G'=(N,H)}$ con operación de grupo definida

${displaystyle (n_{1},h_{1})cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}varphi (h_{1})(n_{2}),,h_{1}h_{2})=(n_{1}varphi) ¿Qué?$ para $n 1, n 2$ dentro $N$ y $h 1, h 2$ dentro $H$ .

Los subgrupos $N$ y $H$ determinan $G$ hasta el isomorfismo, como mostraremos más adelante. De esta forma, podemos construir el grupo $G$ a partir de sus subgrupos. Este tipo de construcción se denomina producto semidirecto interno (también conocido como producto semidirecto interno).

Ahora consideremos el producto semidirecto exterior. Dados dos grupos $N$ y $H$ y un homomorfismo de grupo < span class="texhtml">φ: H → Aut(N), podemos construir un nuevo grupo $N ⋊ φ H$ , denominado producto semidirecto externo de $N$ y $H$ con respecto a < span class="texhtml">φ, definido de la siguiente manera:

El conjunto subyacente es el producto cartesiano $N \times H$ .
La operación del grupo ${displaystyle bullet }$ está determinado por el homomorfismo $φ$ :
${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn_}cH} {cH} {cH}cHcH}cH}\\n_cH1}\cH1}cH1} {cHcH4}}}cHcHcHcH}}cHcH}cHcH}cHcHcHcHcHcHcHcH}cHcHcH}cHcHcHcHcH}cHcHcHcH}cHcHcHcHcHcHcH}cHcHcHcHcH}cHcHcH}cH}cH}cH - ¿Por qué?$
para $n 1, n 2$ dentro $N$ y $h 1, h 2$ dentro $H$ .

Esto define un grupo en el que el elemento de identidad es $(e N, e H)$ y el inverso del elemento $(n, h)$ es $(φ h -1 (n -1), h -1)$ . Los pares $(n, e H)$ forman un subgrupo normal isomorfo a $N$ , mientras que los pares $(e N, h< /i>)$ forman un subgrupo isomorfo a $H$ . El grupo completo es un producto semidirecto de esos dos subgrupos en el sentido dado anteriormente.

Por el contrario, supongamos que tenemos un grupo $G$ con un subgrupo normal $N$ y un subgrupo $H$ , tal que cada elemento $g$ de $G$ puede escribirse únicamente en la forma $g = nh$ donde $n$ se encuentra en $N$ y $h$ se encuentra en $H$ . Sea $φ : H \to Aut(N)$ el homomorfismo (escrito $φ (h) = φ h$ ) dado por

${displaystyle varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$

para todos $n \in N, h \in H .$

Entonces $G$ es isomorfo al producto semidirecto $N ⋊ φ H$ . El isomorfismo $λ : G \to N ⋊ φ H$ está bien definido por $λ (a) = λ (nh) = (n, h)$ debido a la singularidad de la descomposición $a = nh$ .

En $G$ , tenemos

${fn_}h_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}h_{1}h_{1}h_{2}==(n_{1}varphi} ¿Qué?$

Así, para $a = n 1 h 1$ y $b = n 2 h 2$ obtenemos

${displaystyle {begin{aligned}lambda (ab) limit=lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2}=lambda (n_{1}varphi ¿Qué? (n_{2}),h_{1})=(n_{1},h_{2})=(n_{1},h_{1})bullet (n_{2},h_{2})\[5pt=lambda (n_{1}h_{1})lambda$

lo que prueba que $λ$ es un homomorfismo. Dado que $λ$ es obviamente un epimorfismo y un monomorfismo, entonces de hecho es un isomorfismo. Esto también explica la definición de la regla de multiplicación en $N ⋊ φ H$ .

El producto directo es un caso especial del producto semidirecto. Para ver esto, sea $φ$ el homomorfismo trivial (es decir, enviar cada elemento de $H$ al automorfismo de identidad de $N$ ) entonces $N ⋊ φ H$ es el producto directo $N \times H$ .

Una versión del lema de división para grupos establece que un grupo $G$ es isomorfo a un producto semidirecto de los dos grupos $N$ y $H$ si y solo si existe una secuencia exacta corta

${displaystyle 1longrightarrow N,{overset {beta # {longrightarrow }, G,{overset {Alpha}{longrightarrow},Hlongarrow 1}$

y un homomorfismo de grupo $γ : H \to G$ tal que $α \circ γ = id H$ , el mapa de identidad en H. En este caso, $φ : H \to Aut(N)$ viene dado por $φ (h) = φ h, donde$

${displaystyle varphi _{h}(n)=beta ^{-1}(gamma (h)beta (n)gamma (h^{-1})). }$

Ejemplos

Grupo diedro

El grupo diedro $D 2 n$ con $2 n< /i>$ elementos es isomorfo a un producto semidirecto de los grupos cíclicos $C n$ y $C 2$ . Aquí, el elemento de no identidad de $C 2$ actúa sobre $C n$ mediante la inversión de elementos; esto es un automorfismo ya que $C n$ es abeliano. La presentación para este grupo es:

${displaystyle langle a,;bmid a^{2}=e,;b^{n}=e,;aba^{-1}=b^{-1}rangle.}$

Grupos cíclicos

Más generalmente, un producto semidirecto de cualquier grupo cíclico $C m$ con generador $a$ y $C n$ con generador $b$ es dada por una relación extra, $aba -1 = b k$ , con $k$ y $n$ coprime, y ${displaystyle k^{m}equiv 1{pmod {n}}$ ; es decir, la presentación:

${displaystyle langle a,;bmid a^{m}=e,;b^{n}=e,;aba^{-1}=b^{k}rangle.}$

Si $r$ y $m$ son coprimos, $a r$ es un generador de $C m$ y $a r ba -r = b k r$ , de ahí la presentación:

${displaystyle langle a,;bmid a^{m}=e,;b^{n}=e,;aba^{-1}=b^{k^{r}rangle$

da un grupo isomorfo al anterior.

Holomorfo de un grupo

Un ejemplo canónico de un grupo expresado como un producto semidirecto es el holomorfo de un grupo. Esto se define como

${displaystyle operatorname {Hol} (G)=Grtimes operatorname {Aut} (G)}$

Donde ${displaystyle {text{Aut}}(G)}$ es el grupo automorfismo de un grupo ${displaystyle G.$ y el mapa de la estructura ${displaystyle phi }$ viene de la acción correcta ${displaystyle {text{Aut}}(G)}$ on ${displaystyle G.$ . En términos de elementos multiplicadores, esto da la estructura del grupo

${displaystyle (g,alpha)(h,beta)=(g(phi (alpha)cdot h),alpha beta).}$

Grupo fundamental de la botella de Klein

El grupo fundamental de la botella de Klein se puede presentar en la forma

${displaystyle langle a,;bmid aba^{-1}=b^{-1}rangle.}$

y por lo tanto es un producto semidirecto del grupo de enteros, ${displaystyle mathbb {Z}$ , con ${displaystyle mathbb {Z}$ . El homomorfismo correspondiente ${displaystyle mathbb {Z}$ es dado por $φ () h) n) = (-1) h n$ .

Matrices triangulares superiores

El grupo ${displaystyle mathbb {T} _{n}$ de matrices triangulares superiores con no cero determinante, es decir, con entradas no cero en la diagonal, tiene una descomposición en el producto semidirecto ${displaystyle mathbb {T} _{n}cong mathbb {U}n}rtimes mathbb {D} _{n}$ Donde ${displaystyle mathbb {U} _{n}$ es el subgrupo de matrices con sólo ${displaystyle 1}$ 's en la diagonal, que se llama el grupo de matriz unitariaringular superior, y ${displaystyle mathbb {} _{n}$ es el subgrupo de matrices diagonales.
The group action of ${displaystyle mathbb {} _{n}$ on ${displaystyle mathbb {U} _{n}$ es inducido por multiplicación de matriz. Si nos fijamos

${displaystyle A={begin{bmatrix}x_{1} "0$

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