Producto restringido

En matemáticas, el producto restringido es una construcción en la teoría de grupos topológicos.

Vamos I{displaystyle Yo... ser un índice establecido; S{displaystyle S. un subconjunto finito de I{displaystyle Yo.... Si Gi{displaystyle G_{i} es un grupo localmente compacto para cada i▪ ▪ I{displaystyle iin I}, y Ki⊂ ⊂ Gi{displaystyle K_{i}subset G_{i} es un subgrupo compacto abierto para cada i▪ ▪ I∖ ∖ S{displaystyle iin Isetminus S., entonces el producto restringido

∏ ∏ i.Gi{displaystyle prod _{i}nolimits 'G_{i} '

es el subconjunto del producto del Gi{displaystyle G_{i}'s que consiste en todos los elementos ()gi)i▪ ▪ I{displaystyle (g_{i})_{iin I} tales que gi▪ ▪ Ki{displaystyle g_{i}in K_{i} para todos, pero finitamente muchos i▪ ▪ I∖ ∖ S{displaystyle iin Isetminus S..

A este grupo se le da la topología cuya base de conjuntos abiertos son los de la forma

∏ ∏ iAi,{displaystyle prod _{i}A_{i},}

Donde Ai{displaystyle A_{i} está abierto Gi{displaystyle G_{i} y Ai=Ki{displaystyle A_{i}=K_{i} para todos, pero finitamente muchos i{displaystyle i}.

Se puede probar fácilmente que el producto restringido es en sí mismo un grupo localmente compacto. El ejemplo más conocido de esta construcción es el del grupo adele ring e idele de un campo global.