Julián Sochocki
Julian Karol Sochocki fue un matemático ruso-polaco. Su nombre a veces se transcribe del ruso de varias maneras diferentes (por ejemplo, Sokhotski o... (leer más)
En matemáticas, el producto escalar o producto escalar es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (generalmente vectores de coordenadas) y devuelve un solo número. En geometría euclidiana, el producto escalar de las coordenadas cartesianas de dos vectores se usa ampliamente. A menudo se le llama producto interior (o rara vez producto de proyección) del espacio euclidiano, aunque no es el único producto interior que se puede definir en el espacio euclidiano (ver interior espacio del producto para más).
Algebraicamente, el producto escalar es la suma de los productos de las entradas correspondientes de las dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de las magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. Estas definiciones son equivalentes cuando se utilizan coordenadas cartesianas. En la geometría moderna, los espacios euclidianos a menudo se definen mediante el uso de espacios vectoriales. En este caso, el producto escalar se usa para definir longitudes (la longitud de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo) y ángulos (el coseno del ángulo entre dos vectores es el cociente de su producto escalar por el producto de sus longitudes).
El nombre "producto escalar" se deriva del punto centrado " · " que suele usarse para designar esta operación; el nombre alternativo "producto escalar" enfatiza que el resultado es un escalar, en lugar de un vector (como con el producto vectorial en un espacio tridimensional).
El producto escalar puede definirse algebraicamente o geométricamente. La definición geométrica se basa en las nociones de ángulo y distancia (magnitud) de los vectores. La equivalencia de estas dos definiciones se basa en tener un sistema de coordenadas cartesianas para el espacio euclidiano.
En las presentaciones modernas de la geometría euclidiana, los puntos del espacio se definen en términos de sus coordenadas cartesianas, y el propio espacio euclidiano se identifica comúnmente con el espacio real de coordenadas Rn{displaystyle mathbf {R} {n}. En tal presentación, las nociones de longitud y ángulo se definen por medio del producto del punto. La longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto de punto del vector por sí mismo, y el cosino del ángulo (no orientado) entre dos vectores de longitud uno se define como su producto de punto. Así que la equivalencia de las dos definiciones del producto del punto es parte de la equivalencia de las formulaciones clásicas y modernas de la geometría euclidiana.
El producto de punto de dos vectores a=[a1,a2,⋯ ⋯ ,an]{displaystyle {color {red}mathbf {a} =[a_{1},a_{2},cdotsa_{n}} y b=[b1,b2,⋯ ⋯ ,bn],{displaystyle {color {blue}mathbf {b} =[b_{1},b_{2},cdotsb_{n}}}} especificado con respecto a una base ortonormal, se define como:
Donde .. {displaystyle Sigma } denotes summation and n{displaystyle n} es la dimensión del espacio vectorial. Por ejemplo, en el espacio tridimensional, el producto de puntos de vectores [1,3,− − 5]{displaystyle {color {red}[1,3,-5]} y [4,− − 2,− − 1]{displaystyle {color {blue}[4,-2,-1]} es:
Del mismo modo, el producto del punto del vector [1,3,− − 5]{displaystyle {color {red}[1,3,-5]} con sí mismo es:
Si los vectores se identifican con vectores columna, el producto escalar también se puede escribir como un producto matricial
Donde aT{displaystyle mathbf {color {red}a} ^{mathsf {T}} denota la transposición de a{displaystyle mathbf {color {red}a}.
Expresando el ejemplo anterior de esta manera, una matriz de 1 × 3 (vector de fila) se multiplica por una matriz de 3 × 1 (vector de columna) para obtener una matriz de 1 × 1 que se identifica con su entrada única:
En el espacio euclidiano, un vector euclidiano es un objeto geométrico que posee una magnitud y una dirección. Un vector se puede imaginar como una flecha. Su magnitud es su longitud, y su dirección es la dirección a la que apunta la flecha. La magnitud de un vector a{displaystyle mathbf {a} es denotado por .a.{displaystyle leftfnMitbf {a} rightfnse}. El producto de puntos de dos vectores Euclidesanos a{displaystyle mathbf {a} y b{displaystyle mathbf {b} se define por
Donde Silencio Silencio {displaystyle theta } es el ángulo entre a{displaystyle mathbf {a} y b{displaystyle mathbf {b}.
En particular, si los vectores a{displaystyle mathbf {a} y b{displaystyle mathbf {b} son ortogonales (es decir, su ángulo es π π 2{fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin } {2}} o 90∘ ∘ {displaystyle 90^{circ }}), entonces # π π 2=0{displaystyle cos {frac ♪ } {2}=0}, lo que implica que
En el otro extremo, si son codireccionales, entonces el ángulo entre ellos es cero con # 0=1{displaystyle cos 0=1} y
Esto implica que el producto de punto de un vector a{displaystyle mathbf {a} con sí mismo
que da
la fórmula para la longitud euclidiana del vector.
La proyección escalar (o componente escalar) de un vector euclidiano a{displaystyle mathbf {a} en la dirección de un vector Euclideano b{displaystyle mathbf {b} es dado por
Donde Silencio Silencio {displaystyle theta } es el ángulo entre a{displaystyle mathbf {a} y b{displaystyle mathbf {b}.
En términos de la definición geométrica del producto escalar, esto se puede reescribir como
Donde b^ ^ =b/.b.{fnMicrosoft Sans Serif} }=Mathbf {b} - ¿Por qué? es el vector de unidad en la dirección b{displaystyle mathbf {b}.
El producto escalar se caracteriza geométricamente por
El producto de puntos, definido de esta manera, es homogéneo bajo escalado en cada variable, lo que significa que para cualquier escalar α α {displaystyle alpha },
También cumple la ley distributiva, lo que significa que
Estas propiedades pueden resumirse diciendo que el producto del punto es una forma bilineal. Además, esta forma bilineal es definitiva positiva, lo que significa que a⋅ ⋅ a{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} nunca es negativo, y es cero si y sólo si a=0{displaystyle mathbf {a} = 'mathbf {0}El vector cero.
Si e1,⋯ ⋯ ,en{displaystyle mathbf {e} _{1},cdotsmathbf {e} ¿Qué? son los vectores de base estándar en Rn{displaystyle mathbf {R} {n}, entonces podemos escribir
Los vectores ei{displaystyle mathbf {e} _{i} son una base ortonormal, lo que significa que tienen longitud de unidad y están en ángulos rectos uno al otro. Puesto que estos vectores tienen longitud de unidad,
y ya que forman ángulos rectos entre sí, si iل ل j{displaystyle ineq j},
Así, en general, podemos decir que:
Donde δ δ ij{displaystyle delta _{ij} es el Kronecker delta.
También, por la definición geométrica, para cualquier vector ei{displaystyle mathbf {e} _{i} y un vector a{displaystyle mathbf {a}, notamos que
Donde ai{displaystyle A_{i} es el componente del vector a{displaystyle mathbf {a} en la dirección de ei{displaystyle mathbf {e} _{i}. El último paso en la igualdad se puede ver desde la figura.
Ahora aplicando la distributividad de la versión geométrica del producto escalar da
que es precisamente la definición algebraica del producto escalar. Entonces, el producto escalar geométrico es igual al producto escalar algebraico.
El producto del punto cumple las siguientes propiedades si a{displaystyle mathbf {a}, b{displaystyle mathbf {b}, y c{displaystyle mathbf {c} son vectores reales y r{displaystyle r}, c1{displaystyle C_{1} y c2{displaystyle c_{2} son escalares.
Dados dos vectores a{displaystyle {color {red}Mathbf {a}} y b{displaystyle {color {blue}mathbf {b}} separado por ángulo Silencio Silencio {displaystyle theta } (ver imagen derecha), forman un triángulo con un tercer lado c=a− − b{displaystyle {color {orange}mathbf {c} ♪={color {red}mathbf {a} ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪♪. Vamos a{displaystyle a}, b{displaystyle b} y c{displaystyle c} denota las longitudes de a{displaystyle {color {red}Mathbf {a}}, b{displaystyle {color {blue}mathbf {b}}, y c{displaystyle {color {orange}mathbf {c}, respectivamente. El producto de puntos de esto con sí mismo es:
que es la ley de los cosenos.
Hay dos operaciones ternarias que involucran el producto escalar y el producto cruz.
El producto triple escalar de tres vectores se define como
Su valor es el determinante de la matriz cuyas columnas son las coordenadas cartesianas de los tres vectores. Es el volumen con signo del paralelepípedo definido por los tres vectores, y es isomorfo al caso especial tridimensional del producto exterior de tres vectores.
El producto triple vectorial está definido por
Esta identidad, también conocida como fórmula de Lagrange, puede recordarse como "ACB menos ABC", teniendo en cuenta qué vectores están punteados. Esta fórmula tiene aplicaciones en la simplificación de cálculos vectoriales en física.
En física, la magnitud vectorial es un escalar en el sentido físico (es decir, una cantidad física independiente del sistema de coordenadas), expresado como el producto de un valor numérico y una unidad física, no solo como un número. El producto escalar también es un escalar en este sentido, dado por la fórmula, independiente del sistema de coordenadas. Por ejemplo:
Para vectores con entradas complejas, el uso de la definición dada del producto del punto conduciría a propiedades bastante diferentes. Por ejemplo, el producto de punto de un vector con sí mismo podría ser cero sin que el vector sea el vector cero (por ejemplo, esto sucedería con el vector a=[1i]{displaystyle mathbf {a} =[1 i]}). Esto a su vez tendría consecuencias para nociones como longitud y ángulo. Propiedades como la norma definitiva positiva se puede salvar a costa de renunciar a las propiedades simétricas y bilineales del producto del punto, a través de la definición alternativa
Donde bī ̄ {displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {}} es el complejo conjugado de bi{displaystyle B_{i}. Cuando los vectores están representados por vectores de columna, el producto de punto se puede expresar como un producto de matriz que implica una transposición conjugada, denotado con el superscript H:
En el caso de vectores con componentes reales, esta definición es la misma que en el caso real. El producto de punto de cualquier vector con sí mismo es un número real no negativo, y no es cero excepto el vector cero. Sin embargo, el complejo producto de puntos es sesquilinear en lugar de bilinear, ya que es conjugado lineal y no lineal en a{displaystyle mathbf {a}. El producto del punto no es simétrico, ya que
El ángulo entre dos vectores complejos viene dado por
El producto escalar complejo conduce a las nociones de formas hermitianas y espacios de productos internos generales, que se utilizan ampliamente en matemáticas y física.
El producto de un vector complejo a⋅ ⋅ a=aHa{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} # Mathbf {a} Mathbf, implicando la transposición conjugada de un vector de fila, también se conoce como el Norma cuadrada, a⋅ ⋅ a=.. a.. 2{textstyle mathbf {a} cdot mathbf {a} =fnciónmathbf {a} {2}, después de la norma Euclideana; es una generalización vectorial de la cuadrado absoluto de un escalar complejo (ver también: distancia euroclidiana cuadrada).
El producto interior generaliza el producto de punto a espacios vectoriales abstractos sobre un campo de escalares, siendo ya sea el campo de números reales R{displaystyle mathbb {R} o el campo de números complejos C{displaystyle mathbb {C}. Por lo general se denota usando soportes angulares por .a,b.{displaystyle leftlangle mathbf {a} ,mathbf {b} rightrangle }.
El producto interno de dos vectores sobre el campo de los números complejos es, en general, un número complejo y es sesquilineal en lugar de bilineal. Un espacio de producto interno es un espacio vectorial normado, y el producto interno de un vector consigo mismo es real y definido positivo.
El producto de puntos se define para vectores que tienen un número finito de entradas. Así estos vectores se pueden considerar como funciones discretas: una longitud-n{displaystyle n} vector u{displaystyle u} es, entonces, una función con dominio {}k▪ ▪ N:1≤ ≤ k≤ ≤ n}{displaystyle {kin mathbb {N}:1leq kleq n}, y ui{displaystyle U_{i} es una notación para la imagen de i{displaystyle i} por función/vector u{displaystyle u}.
Esta noción se puede generalizar a funciones continuas: así como el producto interno en vectores utiliza una suma sobre los componentes correspondientes, el producto interno en funciones se define como una integral a lo largo de algún intervalo [a,b]{displaystyle [a,b]}:
Generalizado además de funciones complejas ↑ ↑ ()x){displaystyle psi (x)} y χ χ ()x){displaystyle chi (x)}, por analogía con el complejo producto interno arriba, da
Los productos internos pueden tener una función de peso (es decir, una función que pesa cada término del producto interno con un valor). Explícitamente, el producto interior de las funciones u()x){displaystyle u(x)} y v()x){displaystyle v(x)} con respecto a la función de peso 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r()x)■0{displaystyle r(x)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90e9d1f2e8bdc710f70488daeacd79779eccf53" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.449ex; height:2.843ex;"/> es
Un producto de doble punto para matrices es el producto interior Frobenius, que es análogo al producto de puntos en vectores. Se define como la suma de los productos de los componentes correspondientes de dos matrices A{displaystyle mathbf {A} y B{displaystyle mathbf {B} del mismo tamaño:
Al escribir una matriz como diádica, podemos definir un producto de doble punto diferente (ver Dyadics § Producto de diádica y diádica), sin embargo, no es un producto interno.
El producto interior entre un tensor de orden n{displaystyle n} y un tensor de orden m{displaystyle m} es un tensor de orden n+m− − 2{displaystyle n+m-2}, ver la contracción Tensor para detalles.
El sencillo algoritmo para calcular un producto punto flotante de vectores puede sufrir una cancelación catastrófica. Para evitar esto, se utilizan enfoques como el algoritmo de suma de Kahan.
Se incluye una función de producto escalar en:
A' * B
A' * B
oconj(transpose(A)) * B
osum(conj(A).* B)
numpy.dot(A, B)
onumpy.inner(A, B)
sum(conj(X).* Y, dim)
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