Producto punto

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Operación algebraica en vectores de coordenadas

En matemáticas, el producto escalar o producto escalar es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (generalmente vectores de coordenadas) y devuelve un solo número. En geometría euclidiana, el producto escalar de las coordenadas cartesianas de dos vectores se usa ampliamente. A menudo se le llama producto interior (o rara vez producto de proyección) del espacio euclidiano, aunque no es el único producto interior que se puede definir en el espacio euclidiano (ver interior espacio del producto para más).

Algebraicamente, el producto escalar es la suma de los productos de las entradas correspondientes de las dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de las magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. Estas definiciones son equivalentes cuando se utilizan coordenadas cartesianas. En la geometría moderna, los espacios euclidianos a menudo se definen mediante el uso de espacios vectoriales. En este caso, el producto escalar se usa para definir longitudes (la longitud de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo) y ángulos (el coseno del ángulo entre dos vectores es el cociente de su producto escalar por el producto de sus longitudes).

El nombre "producto escalar" se deriva del punto centrado " · " que suele usarse para designar esta operación; el nombre alternativo "producto escalar" enfatiza que el resultado es un escalar, en lugar de un vector (como con el producto vectorial en un espacio tridimensional).

Definición

El producto escalar puede definirse algebraicamente o geométricamente. La definición geométrica se basa en las nociones de ángulo y distancia (magnitud) de los vectores. La equivalencia de estas dos definiciones se basa en tener un sistema de coordenadas cartesianas para el espacio euclidiano.

En las presentaciones modernas de la geometría euclidiana, los puntos del espacio se definen en términos de sus coordenadas cartesianas, y el propio espacio euclidiano se identifica comúnmente con el espacio real de coordenadas $mathbf {R} ^{n}$ . En tal presentación, las nociones de longitud y ángulo se definen por medio del producto del punto. La longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto de punto del vector por sí mismo, y el cosino del ángulo (no orientado) entre dos vectores de longitud uno se define como su producto de punto. Así que la equivalencia de las dos definiciones del producto del punto es parte de la equivalencia de las formulaciones clásicas y modernas de la geometría euclidiana.

Definición de coordenadas

El producto de punto de dos vectores ${displaystyle {color {red}mathbf {a} =[a_{1},a_{2},cdotsa_{n}]}}$ y ${displaystyle {color {blue}mathbf {b} =[b_{1},b_{2},cdotsb_{n}]},}$ especificado con respecto a una base ortonormal, se define como:

{displaystyle mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} =sum _{i=1}^{n}{color {red}a}_{i}{color {blue}b}_{i}={color {red}a}_{1}{color {blue}b}_{1}+{color {red}a}_{2}{color {blue}b}_{2}+cdots +{color {red}a}_{n}{color {blue}b}_{n}}

Donde $Sigma$ denotes summation and $n$ es la dimensión del espacio vectorial. Por ejemplo, en el espacio tridimensional, el producto de puntos de vectores ${displaystyle {color {red}[1,3,-5]}}$ y ${displaystyle {color {blue}[4,-2,-1]}}$ es:

{displaystyle {begin{aligned} [{color {red}1,3,-5}]cdot [{color {blue}4,-2,-1}]&=({color {red}1}times {color {blue}4})+({color {red}3}times {color {blue}-2})+({color {red}-5}times {color {blue}-1})\&=4-6+5\&=3end{aligned}}}

Del mismo modo, el producto del punto del vector ${displaystyle {color {red}[1,3,-5]}}$ con sí mismo es:

{displaystyle {begin{aligned} [{color {red}1,3,-5}]cdot [{color {red}1,3,-5}]&=({color {red}1}times {color {red}1})+({color {red}3}times {color {red}3})+({color {red}-5}times {color {red}-5})\&=1+9+25\&=35end{aligned}}}

Si los vectores se identifican con vectores columna, el producto escalar también se puede escribir como un producto matricial

{displaystyle mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} =mathbf {color {red}a} ^{mathsf {T}}mathbf {color {blue}b}}

Donde ${displaystyle mathbf {color {red}a} ^{mathsf {T}}}$ denota la transposición de ${displaystyle mathbf {color {red}a} }$ .

Expresando el ejemplo anterior de esta manera, una matriz de 1 × 3 (vector de fila) se multiplica por una matriz de 3 × 1 (vector de columna) para obtener una matriz de 1 × 1 que se identifica con su entrada única:

{displaystyle {begin{bmatrix}color {red}1&color {red}3&color {red}-5end{bmatrix}}{begin{bmatrix}color {blue}4\color {blue}-2\color {blue}-1end{bmatrix}}=color {purple}3}

Definición geométrica

Ilustración mostrando cómo encontrar el ángulo entre vectores usando el producto del punto

Calculando ángulos de unión de una geometría molecular simétrica tetraedral utilizando un producto de punto

En el espacio euclidiano, un vector euclidiano es un objeto geométrico que posee una magnitud y una dirección. Un vector se puede imaginar como una flecha. Su magnitud es su longitud, y su dirección es la dirección a la que apunta la flecha. La magnitud de un vector $mathbf {a}$ es denotado por ${displaystyle left|mathbf {a} right|}$ . El producto de puntos de dos vectores Euclidesanos $mathbf {a}$ y $mathbf {b}$ se define por

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =|mathbf {a} | |mathbf {b} |cos theta}

Donde $theta$ es el ángulo entre $mathbf {a}$ y $mathbf {b}$ .

En particular, si los vectores $mathbf {a}$ y $mathbf {b}$ son ortogonales (es decir, su ángulo es ${frac {pi }{2}}$ o $90^{circ }$ ), entonces ${displaystyle cos {frac {pi }{2}}=0}$ , lo que implica que

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =0.}

En el otro extremo, si son codireccionales, entonces el ángulo entre ellos es cero con ${displaystyle cos 0=1}$ y

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =left|mathbf {a} right|,left|mathbf {b} right|}

Esto implica que el producto de punto de un vector $mathbf {a}$ con sí mismo

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} =left|mathbf {a} right|^{2},}

que da

{displaystyle left|mathbf {a} right|={sqrt {mathbf {a} cdot mathbf {a} }},}

la fórmula para la longitud euclidiana del vector.

Proyección escalar y primeras propiedades

Proyección de escalar

La proyección escalar (o componente escalar) de un vector euclidiano $mathbf {a}$ en la dirección de un vector Euclideano $mathbf {b}$ es dado por

{displaystyle a_{b}=left|mathbf {a} right|cos theta}

Donde $theta$ es el ángulo entre $mathbf {a}$ y $mathbf {b}$ .

En términos de la definición geométrica del producto escalar, esto se puede reescribir como

{displaystyle a_{b}=mathbf {a} cdot {widehat {mathbf {b} }},}

Donde ${displaystyle {widehat {mathbf {b} }}=mathbf {b} /left|mathbf {b} right|}$ es el vector de unidad en la dirección $mathbf {b}$ .

Distributive law for the dot product

El producto escalar se caracteriza geométricamente por

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =a_{b}left|mathbf {b} right|=b_{a}left|mathbf {a} right|.}

El producto de puntos, definido de esta manera, es homogéneo bajo escalado en cada variable, lo que significa que para cualquier escalar $alpha$ ,

{displaystyle (alpha mathbf {a})cdot mathbf {b} =alpha (mathbf {a} cdot mathbf {b})=mathbf {a} cdot (alpha mathbf {b}).}

También cumple la ley distributiva, lo que significa que

{displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} +mathbf {c})=mathbf {a} cdot mathbf {b} +mathbf {a} cdot mathbf {c}.}

Estas propiedades pueden resumirse diciendo que el producto del punto es una forma bilineal. Además, esta forma bilineal es definitiva positiva, lo que significa que ${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} }$ nunca es negativo, y es cero si y sólo si ${displaystyle mathbf {a} =mathbf {0} }$ El vector cero.

Equivalencia de las definiciones

Si ${displaystyle mathbf {e} _{1},cdotsmathbf {e} _{n}}$ son los vectores de base estándar en $mathbf {R} ^{n}$ , entonces podemos escribir

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {a} &=[a_{1},dotsa_{n}]=sum _{i}a_{i}mathbf {e} _{i}\mathbf {b} &=[b_{1},dotsb_{n}]=sum _{i}b_{i}mathbf {e} _{i}.end{aligned}}}

Los vectores $mathbf {e} _{i}$ son una base ortonormal, lo que significa que tienen longitud de unidad y están en ángulos rectos uno al otro. Puesto que estos vectores tienen longitud de unidad,

mathbf {e} _{i}cdot mathbf {e} _{i}=1

y ya que forman ángulos rectos entre sí, si $ineq j$ ,

mathbf {e} _{i}cdot mathbf {e} _{j}=0.

Así, en general, podemos decir que:

{displaystyle mathbf {e} _{i}cdot mathbf {e} _{j}=delta _{ij},}

Donde $delta _{ij}$ es el Kronecker delta.

Componentes vectoriales en una base ortonormal

También, por la definición geométrica, para cualquier vector $mathbf {e} _{i}$ y un vector $mathbf {a}$ , notamos que

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {e} _{i}=left|mathbf {a} right|,left|mathbf {e} _{i}right|cos theta _{i}=left|mathbf {a} right|cos theta _{i}=a_{i},}

Donde $a_{i}$ es el componente del vector $mathbf {a}$ en la dirección de $mathbf {e} _{i}$ . El último paso en la igualdad se puede ver desde la figura.

Ahora aplicando la distributividad de la versión geométrica del producto escalar da

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =mathbf {a} cdot sum _{i}b_{i}mathbf {e} _{i}=sum _{i}b_{i}(mathbf {a} cdot mathbf {e} _{i})=sum _{i}b_{i}a_{i}=sum _{i}a_{i}b_{i},}

que es precisamente la definición algebraica del producto escalar. Entonces, el producto escalar geométrico es igual al producto escalar algebraico.

Propiedades

El producto del punto cumple las siguientes propiedades si $mathbf {a}$ , $mathbf {b}$ , y $mathbf {c}$ son vectores reales y $r$ , $c_{1}$ y $c_{2}$ son escalares.

Commutative:
$mathbf {a} cdot mathbf {b} =mathbf {b} cdot mathbf {a}$
que se deriva de la definición ( $theta$ es el ángulo entre $mathbf {a}$ y $mathbf {b}$ ):
$mathbf {a} cdot mathbf {b} =left|mathbf {a} right|left|mathbf {b} right|cos theta =left|mathbf {b} right|left|mathbf {a} right|cos theta =mathbf {b} cdot mathbf {a}.$
Distributive over vector addition:
$mathbf {a} cdot (mathbf {b} +mathbf {c})=mathbf {a} cdot mathbf {b} +mathbf {a} cdot mathbf {c}.$
Bilinear:
$mathbf {a} cdot (rmathbf {b} +mathbf {c})=r(mathbf {a} cdot mathbf {b})+(mathbf {a} cdot mathbf {c}).$
Multiplicación escalar:
$(c_{1}mathbf {a})cdot (c_{2}mathbf {b})=c_{1}c_{2}(mathbf {a} cdot mathbf {b}).$
No asociativo porque el producto de punto entre un escalar ${mathbf {a}}cdot {mathbf {b}}$ y un vector $mathbf {c}$ no se define, lo que significa que las expresiones involucradas en la propiedad asociativa, ${displaystyle (mathbf {a} cdot mathbf {b})cdot mathbf {c} }$ o ${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} cdot mathbf {c})}$ ambos están mal definidos. Note sin embargo que la propiedad de multiplicación de escalar mencionada anteriormente se llama a veces la "ley asociativa para el producto de escalar y punto" o se puede decir que "el producto de punto es asociativo con respecto a la multiplicación de escalar" porque ${displaystyle c(mathbf {a} cdot mathbf {b})=(cmathbf {a})cdot mathbf {b} =mathbf {a} cdot (cmathbf {b})}$ .
Ortogonal:
Dos vectores no cero $mathbf {a}$ y $mathbf {b}$ son ortogonal si ${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =0}$ .
Sin cancelación:
A diferencia de la multiplicación de números ordinarios, donde si ${displaystyle ab=ac}$ , entonces $b$ siempre igual $c$ a) $a$ es cero, el producto de puntos no obedece la ley de cancelación:
Si ${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =mathbf {a} cdot mathbf {c} }$ y ${displaystyle mathbf {a} neq mathbf {0} }$ , entonces podemos escribir: ${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} -mathbf {c})=mathbf {0} }$ por la ley distributiva; el resultado arriba dice que esto significa que $mathbf {a}$ es perpendicular a ${displaystyle (mathbf {b} -mathbf {c})}$ , que todavía permite ${displaystyle (mathbf {b} -mathbf {c})neq mathbf {0} }$ , y por lo tanto permite ${displaystyle mathbf {b} neq mathbf {c} }$ .
Regla de producto:
Si $mathbf {a}$ y $mathbf {b}$ son funciones diferenciables de valor vectorial, luego el derivado (denotado por un primo ${}'$ ) de ${mathbf {a}}cdot {mathbf {b}}$ es dada por la regla ${displaystyle (mathbf {a} cdot mathbf {b})'=mathbf {a} 'cdot mathbf {b} +mathbf {a} cdot mathbf {b} '.}$

Aplicación a la ley de los cosenos

Triángulo con bordes vectoriales a y b, separado por ángulo Silencio.

Dados dos vectores ${displaystyle {color {red}mathbf {a} }}$ y ${displaystyle {color {blue}mathbf {b} }}$ separado por ángulo $theta$ (ver imagen derecha), forman un triángulo con un tercer lado ${displaystyle {color {orange}mathbf {c} }={color {red}mathbf {a} }-{color {blue}mathbf {b} }}$ . Vamos $a$ , $b$ y $c$ denota las longitudes de ${displaystyle {color {red}mathbf {a} }}$ , ${displaystyle {color {blue}mathbf {b} }}$ , y ${displaystyle {color {orange}mathbf {c} }}$ , respectivamente. El producto de puntos de esto con sí mismo es:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {color {orange}c} cdot mathbf {color {orange}c} &=(mathbf {color {red}a} -mathbf {color {blue}b})cdot (mathbf {color {red}a} -mathbf {color {blue}b})\&=mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {red}a} -mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} -mathbf {color {blue}b} cdot mathbf {color {red}a} +mathbf {color {blue}b} cdot mathbf {color {blue}b} \&={color {red}a}^{2}-mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} -mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} +{color {blue}b}^{2}\&={color {red}a}^{2}-2mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} +{color {blue}b}^{2}\{color {orange}c}^{2}&={color {red}a}^{2}+{color {blue}b}^{2}-2{color {red}a}{color {blue}b}cos mathbf {color {purple}theta } \end{aligned}}}

que es la ley de los cosenos.

Producto triple

Hay dos operaciones ternarias que involucran el producto escalar y el producto cruz.

El producto triple escalar de tres vectores se define como

{displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c})=mathbf {b} cdot (mathbf {c} times mathbf {a})=mathbf {c} cdot (mathbf {a} times mathbf {b}).}

Su valor es el determinante de la matriz cuyas columnas son las coordenadas cartesianas de los tres vectores. Es el volumen con signo del paralelepípedo definido por los tres vectores, y es isomorfo al caso especial tridimensional del producto exterior de tres vectores.

El producto triple vectorial está definido por

{displaystyle mathbf {a} times (mathbf {b} times mathbf {c})=(mathbf {a} cdot mathbf {c}),mathbf {b} -(mathbf {a} cdot mathbf {b}),mathbf {c}.}

Esta identidad, también conocida como fórmula de Lagrange, puede recordarse como "ACB menos ABC", teniendo en cuenta qué vectores están punteados. Esta fórmula tiene aplicaciones en la simplificación de cálculos vectoriales en física.

Física

En física, la magnitud vectorial es un escalar en el sentido físico (es decir, una cantidad física independiente del sistema de coordenadas), expresado como el producto de un valor numérico y una unidad física, no solo como un número. El producto escalar también es un escalar en este sentido, dado por la fórmula, independiente del sistema de coordenadas. Por ejemplo:

El trabajo mecánico es el producto de puntos de fuerza y vectores de desplazamiento,
El poder es el producto de punto de fuerza y velocidad.

Generalizaciones

Vectores complejos

Para vectores con entradas complejas, el uso de la definición dada del producto del punto conduciría a propiedades bastante diferentes. Por ejemplo, el producto de punto de un vector con sí mismo podría ser cero sin que el vector sea el vector cero (por ejemplo, esto sucedería con el vector ${displaystyle mathbf {a} =[1 i]}$ ). Esto a su vez tendría consecuencias para nociones como longitud y ángulo. Propiedades como la norma definitiva positiva se puede salvar a costa de renunciar a las propiedades simétricas y bilineales del producto del punto, a través de la definición alternativa

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =sum _{i}{{a_{i}},{overline {b_{i}}}},}

Donde ${displaystyle {overline {b_{i}}}}$ es el complejo conjugado de $b_{i}$ . Cuando los vectores están representados por vectores de columna, el producto de punto se puede expresar como un producto de matriz que implica una transposición conjugada, denotado con el superscript H:

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =mathbf {b} ^{mathsf {H}}mathbf {a}.}

En el caso de vectores con componentes reales, esta definición es la misma que en el caso real. El producto de punto de cualquier vector con sí mismo es un número real no negativo, y no es cero excepto el vector cero. Sin embargo, el complejo producto de puntos es sesquilinear en lugar de bilinear, ya que es conjugado lineal y no lineal en $mathbf {a}$ . El producto del punto no es simétrico, ya que

mathbf {a} cdot mathbf {b} ={overline {mathbf {b} cdot mathbf {a} }}.

El ángulo entre dos vectores complejos viene dado por

cos theta ={frac {operatorname {Re} (mathbf {a} cdot mathbf {b})}{left|mathbf {a} right|,left|mathbf {b} right|}}.

El producto escalar complejo conduce a las nociones de formas hermitianas y espacios de productos internos generales, que se utilizan ampliamente en matemáticas y física.

El producto de un vector complejo ${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} =mathbf {a} ^{mathsf {H}}mathbf {a} }$ , implicando la transposición conjugada de un vector de fila, también se conoce como el Norma cuadrada, ${textstyle mathbf {a} cdot mathbf {a} =|mathbf {a} |^{2}}$ , después de la norma Euclideana; es una generalización vectorial de la cuadrado absoluto de un escalar complejo (ver también: distancia euroclidiana cuadrada).

Producto interior

El producto interior generaliza el producto de punto a espacios vectoriales abstractos sobre un campo de escalares, siendo ya sea el campo de números reales $mathbb {R}$ o el campo de números complejos ${displaystyle mathbb {C} }$ . Por lo general se denota usando soportes angulares por $leftlangle mathbf {a} ,,mathbf {b} rightrangle$ .

El producto interno de dos vectores sobre el campo de los números complejos es, en general, un número complejo y es sesquilineal en lugar de bilineal. Un espacio de producto interno es un espacio vectorial normado, y el producto interno de un vector consigo mismo es real y definido positivo.

Funciones

El producto de puntos se define para vectores que tienen un número finito de entradas. Así estos vectores se pueden considerar como funciones discretas: una longitud- $n$ vector $u$ es, entonces, una función con dominio ${displaystyle {kin mathbb {N}:1leq kleq n}}$ , y $u_{i}$ es una notación para la imagen de $i$ por función/vector $u$ .

Esta noción se puede generalizar a funciones continuas: así como el producto interno en vectores utiliza una suma sobre los componentes correspondientes, el producto interno en funciones se define como una integral a lo largo de algún intervalo $[a,b]$ :

leftlangle u,vrightrangle =int _{a}^{b}u(x)v(x)dx

Generalizado además de funciones complejas $psi (x)$ y $chi (x)$ , por analogía con el complejo producto interno arriba, da

leftlangle psichi rightrangle =int _{a}^{b}psi (x){overline {chi (x)}}dx.

Función de peso

Los productos internos pueden tener una función de peso (es decir, una función que pesa cada término del producto interno con un valor). Explícitamente, el producto interior de las funciones $u(x)$ y $v(x)$ con respecto a la función de peso $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r()x)■0{displaystyle r(x)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90e9d1f2e8bdc710f70488daeacd79779eccf53" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.449ex; height:2.843ex;"/>$ es

{displaystyle leftlangle u,vrightrangle =int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)dx.}

Diádicas y matrices

Un producto de doble punto para matrices es el producto interior Frobenius, que es análogo al producto de puntos en vectores. Se define como la suma de los productos de los componentes correspondientes de dos matrices $mathbf {A}$ y $mathbf {B}$ del mismo tamaño:

{displaystyle mathbf {A}:mathbf {B} =sum _{i}sum _{j}A_{ij}{overline {B_{ij}}}=operatorname {tr} (mathbf {B} ^{mathsf {H}}mathbf {A})=operatorname {tr} (mathbf {A} mathbf {B} ^{mathsf {H}}).}

{displaystyle mathbf {A}:mathbf {B} =sum _{i}sum _{j}A_{ij}B_{ij}=operatorname {tr} (mathbf {B} ^{mathsf {T}}mathbf {A})=operatorname {tr} (mathbf {A} mathbf {B} ^{mathsf {T}})=operatorname {tr} (mathbf {A} ^{mathsf {T}}mathbf {B})=operatorname {tr} (mathbf {B} mathbf {A} ^{mathsf {T}}).}

(Para matrices reales)

Al escribir una matriz como diádica, podemos definir un producto de doble punto diferente (ver Dyadics § Producto de diádica y diádica), sin embargo, no es un producto interno.

Tensores

El producto interior entre un tensor de orden $n$ y un tensor de orden $m$ es un tensor de orden ${displaystyle n+m-2}$ , ver la contracción Tensor para detalles.

Cálculo

Algoritmos

El sencillo algoritmo para calcular un producto punto flotante de vectores puede sufrir una cancelación catastrófica. Para evitar esto, se utilizan enfoques como el algoritmo de suma de Kahan.

Bibliotecas

Se incluye una función de producto escalar en:

BLAS nivel 1 real SDOT, DDOT; complejo CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC ZDOTC = X^H * Y
JuliaA' * B
MatlabA' * Boconj(transpose(A)) * Bosum(conj(A).* B)
Python (paquete NumPy) comonumpy.dot(A, B)onumpy.inner(A, B)
GNU Octave comosum(conj(X).* Y, dim)
Intel oneAPI Kernel de matemáticas Biblioteca real p?dot dot = sub(x)'*sub(y); complex p?dotc dotc = conjg(sub(x)')*sub(y)

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