Producto (matemáticas)

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Forma matemática

En matemáticas, el producto es el resultado de una multiplicación, o de una expresión que identifica números o variables que se deben multiplicar, llamados factores. Por ejemplo, 30 es el producto de 6 y 5 (el resultado de una multiplicación) y $x\cdot (2+x)$ es el producto de $x$ y $(2+x)$ (indicando que los dos factores deben multiplicarse juntos).

El orden en que se multiplican los números reales o los complejos, no influye en el producto; esto se conoce como la ley conmutativa de la multiplicación. Cuando se multiplican matrices o miembros de varias otras álgebras asociativas, el producto generalmente sí depende del orden de los factores. La multiplicación de matrices, por ejemplo, no es conmutativa, al igual que la multiplicación en otras álgebras.

Hay muchos tipos diferentes de productos en matemáticas: además de poder multiplicar solo números, polinomios o matrices, también se pueden definir productos en muchas estructuras algebraicas diferentes.

Producto de dos números

El producto de dos números o la multiplicación entre dos números se puede definir para casos especiales comunes: números enteros, números naturales, fracciones, números reales, números complejos y cuaterniones.

Producto de una secuencia

El operador de producto para el producto de una secuencia es denotado por la letra griega capital pi ▪ (en analogía con el uso de la capital Sigma . como símbolo de sumación). Por ejemplo, la expresión ${displaystyle textstyle prod _{i=1}^{6}i^{2}}$ es otra forma de escribir ${displaystyle 1cdot 4cdot 9cdot 16cdot 25cdot 36}$ .

El producto de una secuencia que consta de un solo número es solo ese número; el producto de ningún factor se conoce como producto vacío y es igual a 1.

Anillos conmutativos

Los anillos conmutativos tienen una operación de producto.

Clases de residuos de números enteros

Clases de residuos en los anillos $Z/NZ$ se puede añadir:

{displaystyle (a+Nmathbb {Z})+(b+Nmathbb {Z})=a+b+Nmathbb {Z} }

y multiplicado:

{displaystyle (a+Nmathbb {Z})cdot (b+Nmathbb {Z})=acdot b+Nmathbb {Z} }

Convolución

La convolución de la onda cuadrada con sí misma da la función triangular

Dos funciones de los reales a sí mismo se pueden multiplicar de otra manera, llamada convolución.

<math alttext="{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(t)|,mathrm {d} t<infty qquad {mbox{and}}qquad int limits _{-infty }^{infty }|g(t)|,mathrm {d} t∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Silenciof()t)Silenciodt.JUEGO JUEGO y∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Silenciog()t)Silenciodt.JUEGO JUEGO ,{displaystyle int limits _{-infty }{infty }qquadintlimits _{-inftyqquad {mbox{y}qquad int limits _{-infty } {infty }{infty]<img alt="{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(t)|,mathrm {d} t<infty qquad {mbox{and}}qquad int limits _{-infty }^{infty }|g(t)|,mathrm {d} t

entonces la integral

{displaystyle (f*g)(t);:=int limits _{-infty }^{infty }f(tau)cdot g(t-tau),mathrm {d} tau }

está bien definido y se llama convolución.

Bajo la transformada de Fourier, la convolución se convierte en una multiplicación de funciones por puntos.

Anillos de polinomios

El producto de dos polinomios viene dado por lo siguiente:

{displaystyle left(sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}right)cdot left(sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}right)=sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}

con

c_k = sum_{i+j=k} a_i cdot b_j

Productos en álgebra lineal

Hay muchos tipos diferentes de productos en álgebra lineal. Algunos de estos tienen nombres similares que confunden (producto externo, producto exterior) con significados muy diferentes, mientras que otros tienen nombres muy diferentes (producto externo, producto tensorial, producto de Kronecker) y, sin embargo, transmiten esencialmente la misma idea. En las siguientes secciones se ofrece una breve descripción de estos.

Multiplicación escalar

Por la definición misma de un espacio vectorial, uno puede formar el producto de cualquier escalar con cualquier vector, dando un mapa ${displaystyle mathbb {R} times Vrightarrow V}$ .

Producto escalar

Un producto escalar es un mapa bilineal:

{displaystyle cdot:Vtimes Vrightarrow mathbb {R} }

con las siguientes condiciones, que $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">v⋅ ⋅ v■0{displaystyle vcdot v confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9840a937a5b6c93d024b94c2018e51025a20ecf8" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.195ex; height:2.176ex;"/>$ para todos ${displaystyle 0not =vin V}$ .

Del producto del cuero cabelludo, se puede definir una norma dejando ${displaystyle |v|:={sqrt {vcdot v}}}$ .

El producto escalar también permite definir un ángulo entre dos vectores:

{displaystyle cos angle (v,w)={frac {vcdot w}{|v|cdot |w|}}}

In $n$ -dimensional Espacio euclidiano, el producto escalar estándar (llamado producto de punto) es dado por:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}alpha _{i}e_{i}right)cdot left(sum _{i=1}^{n}beta _{i}e_{i}right)=sum _{i=1}^{n}alpha _{i},beta _{i}}

Producto vectorial en espacio tridimensional

El producto vectorial de dos vectores en 3 dimensiones es un vector perpendicular a los dos factores, con una longitud igual al área del paralelogramo que abarcan los dos factores.

El producto vectorial también se puede expresar como el determinante formal:

{displaystyle mathbf {utimes v} ={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} \u_{1}&u_{2}&u_{3}\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}

Composición de mapeos lineales

Un mapeo lineal se puede definir como una función f entre dos espacios vectoriales V y W con un campo subyacente F, satisfactorio

{displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),forall x_{1},x_{2}in V,forall t_{1},t_{2}in mathbb {F}.}

Si solo se consideran espacios vectoriales de dimensión finita, entonces

{displaystyle f(mathbf {v})=fleft(v_{i}mathbf {b_{V}} ^{i}right)=v_{i}fleft(mathbf {b_{V}} ^{i}right)={f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{W}} ^{j},}

donde b_V y b_W indican las bases de V y W, y v_i denota el componente de v en b_Vⁱ, y se aplica la convención de suma de Einstein.

Ahora consideramos la composición de dos mapeos lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Deje que la aplicación lineal f asigne V a W, y deje que la aplicación lineal g asigne W a U. Entonces uno puede obtener

{displaystyle gcirc f(mathbf {v})=gleft({f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{W}} ^{j}right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{U}} ^{k}.}

O en forma de matriz:

g circ f(mathbf{v}) = mathbf{G} mathbf{F} mathbf{v},

en el que el elemento i-fila, j-columna de F, denotado por F_ij, es f^j_i, y G_ij=g^j_i.

La composición de más de dos asignaciones lineales se puede representar de manera similar mediante una cadena de multiplicación de matrices.

Producto de dos matrices

Dadas dos matrices

{displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1ldots s;j=1ldots r}in mathbb {R} ^{stimes r}}

{displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1ldots r;k=1ldots t}in mathbb {R} ^{rtimes t}}

su producto está dado por

{displaystyle Bcdot A=left(sum _{j=1}^{r}a_{i,j}cdot b_{j,k}right)_{i=1ldots s;k=1ldots t};in mathbb {R} ^{stimes t}}

Composición de funciones lineales como producto de matrices

Existe una relación entre la composición de las funciones lineales y el producto de dos matrices. Para ver esto, deje r = dim(U), s = dim(V) y t = dim(W) ser las dimensiones (finita) de los espacios vectores U, V y W. Let ${displaystyle {mathcal {U}}={u_{1},ldotsu_{r}}}$ ser una base de U, ${displaystyle {mathcal {V}}={v_{1},ldotsv_{s}}}$ ser una base de V y ${displaystyle {mathcal {W}}={w_{1},ldotsw_{t}}}$ ser una base de W. En términos de esta base, dejemos ${displaystyle A=M_{mathcal {V}}^{mathcal {U}}(f)in mathbb {R} ^{stimes r}}$ ser la matriz que representa f: U → V y ${displaystyle B=M_{mathcal {W}}^{mathcal {V}}(g)in mathbb {R} ^{rtimes t}}$ ser la matriz representando g: V → W. Entonces

{displaystyle Bcdot A=M_{mathcal {W}}^{mathcal {U}}(gcirc f)in mathbb {R} ^{stimes t}}

es la matriz que representa ${displaystyle gcirc f:Urightarrow W}$ .

En otras palabras: el producto de matrices es la descripción en coordenadas de la composición de funciones lineales.

Producto tensorial de espacios vectoriales

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W, el producto tensorial de ellos se puede definir como un (2,0)-tensor que satisface:

{displaystyle Votimes W(v,m)=V(v)W(w),forall vin V^{*},forall win W^{*},}

donde V^* y W^* indican los espacios duales de V y W.

Para espacios vectoriales de dimensión infinita, también se tiene:

Producto de tensor de los espacios de Hilbert
Producto de tensor topológico.

El producto tensorial, el producto externo y el producto de Kronecker transmiten la misma idea general. Las diferencias entre estos son que el producto de Kronecker es solo un producto tensorial de matrices, con respecto a una base previamente fijada, mientras que el producto tensorial se suele dar en su definición intrínseca. El producto exterior es simplemente el producto de Kronecker, limitado a vectores (en lugar de matrices).

La clase de todos los objetos con un producto tensorial

En general, cuando uno tiene dos objetos matemáticos que se pueden combinar de una manera que se comporta como un producto tensorial de álgebra lineal, entonces esto se puede entender más generalmente como el producto interno de una categoría monoide. Es decir, la categoría monoide captura precisamente el significado de un producto tensorial; captura exactamente la noción de por qué los productos tensoriales se comportan de la forma en que lo hacen. Más precisamente, una categoría monoide es la clase de todas las cosas (de un tipo dado) que tienen un producto tensorial.

Otros productos en álgebra lineal

Otros tipos de productos en álgebra lineal incluyen:

Hadamard product
Producto Kronecker
El producto de tensores:
- Producto de cuña o producto exterior
- Producto interior
- Producto exterior
- Producto de tensor

Producto cartesiano

En la teoría de conjuntos, un producto cartesiano es una operación matemática que devuelve un conjunto (o conjunto de productos) a partir de varios conjuntos. Es decir, para los conjuntos A y B, el producto cartesiano A × B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b)—donde a ∈ A y b ∈ B.

La clase de todas las cosas (de un tipo dado) que tienen productos cartesianos se denomina categoría cartesiana. Muchas de estas son categorías cerradas cartesianas. Los conjuntos son un ejemplo de tales objetos.

Producto vacío

El producto vacío de los números y la mayoría de las estructuras algebraicas tiene el valor de 1 (el elemento de identidad de la multiplicación), al igual que la suma vacía tiene el valor de 0 (el elemento de identidad de la suma). Sin embargo, el concepto de producto vacío es más general y requiere un tratamiento especial en lógica, teoría de conjuntos, programación de computadoras y teoría de categorías.

Productos sobre otras estructuras algebraicas

Los productos sobre otros tipos de estructuras algebraicas incluyen:

el producto cartesiano de conjuntos
el producto directo de grupos, y también el producto semidirecto, producto de punto y producto de corona
el producto libre de grupos
el producto de anillos
el producto de ideales
el producto de los espacios topológicos
el producto Wick de variables aleatorias
la tapa, taza, Massey y el producto inclinado en la topología algebraica
el producto destrozado y la suma de cuña (a veces llamado el producto de cuña) en homotopy

Algunos de los productos anteriores son ejemplos de la noción general de un producto interno en una categoría monoide; el resto son descriptibles por la noción general de un producto en la teoría de categorías.

Productos en teoría de categorías

Todos los ejemplos anteriores son casos especiales o ejemplos de la noción general de un producto. Para conocer el tratamiento general del concepto de producto, consulte producto (teoría de categorías), que describe cómo combinar dos objetos de algún tipo para crear un objeto, posiblemente de un tipo diferente. Pero también, en teoría de categorías, uno tiene:

el producto de fibra o retroceso,
la categoría de producto, una categoría que es el producto de las categorías.
el ultraproducto, en teoría modelo.
el producto interno de una categoría monoidal, que captura la esencia de un producto tensor.

Otros productos

El producto integral de una función (como un equivalente continuo al producto de una secuencia o como la versión multiplicativa de la integral normal/estándar/additivo. El producto integral también se conoce como "producto continuo" o "multiplical".
Multiplicación compleja, teoría de curvas elípticas.

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